【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：9.1.1变量的相关性 讲义

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第九章 统计
9.1.1变量的相关性

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课程标准
重难点
1.通过实例，能够理解两个变量的线性相关关系以及
正相关、负相关.
2.利用给出的数据会画两个变量的散点图，通过散点
图能够判断出两个变量的相关性.
3.了解两个随机变量间的相关系数r，会利用公式求
相关系数r，并能利用相关系数r判断两个随机变量间线性相关程度的强弱.
重点：借助概率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征；
难点：正态分布的均值、标准差、方差及其含义．


知识精讲

知识点01 变量的相关关系
1.相关关系的概念∶我们所研究的很多问题中，两个变量之间经常存在着相互影响、相互依赖的关系．这些关系常见的有两类∶函数关系和相关关系．
[概念辨析]相关关系与函数关系的异同∶
异同点
关系
函数关系
相关关系
相同点
两者均是两个变量之间的关系
不同的
是一种确定性关系
是一种非确定性关系
是一种因果关系
不一定是因果关系，也可能是伴随关系
是一种理想的关系
是更为一般的情况
2.散点图
（1）概念∶一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据（简称为成对数据），如下表所示：
序号i
1
2
3
...
n
变量x
x1
x2
x3
...
xn
变量y
y1
y2
y3
...
yn
则在平面直角坐标系xOy中描出点（xi，yi），i=1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图.
（2）作用∶散点图展示了样本点散布的位置．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论.
注意：
（1）散点图具有直观、简明的特点，我们可以根据散点图来判断两个变量有没有相关关系；
（2）通过散点图不但可以判断测量值的大小、变动范围与整体趋势，还可以通过观察剔
除异常数值，提高估计相关程度的准确性；
（3）当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时，可在实际作图时，将
横坐标与纵坐标取不同的单位长度，使画出的散点图形象、美观.
3.正相关与负相关
（1）从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称
这两个变量正相关，散点图如图（甲）所示；
（2）从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，称这
两个变量负相关，散点图如图（乙）所示.


4. 线性相关与非线性相关∶
（1）线性相关∶如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，称这两个变量线性相关
（2）非线性相关∶如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，就称这两个变量非线性相关或曲线相关.【即学即练1】下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（）
A. 瑞雪兆丰年B.上梁不正下梁歪C. 吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
【解析】D .选项A，B，C中描述的变量间都具有相关关系，而选项D是迷信说法，没有科学依据.
【即学即练2】（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）下列关于散点图的说法中，正确的是（    ）
A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图 B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系
C．从散点图中可以看出两个量的因果关系 D．从散点图中无法看出数据的分布情况
【答案】B
【分析】根据散点图的概念判断即可.
【详解】散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，故A错误；
散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误；
散点图中能看出数据的分布情况，故D错误.
故选：B
知识点02 相关系数
1.定义：统计学里，一般用r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2=i=1nxiyi−nxy(i=1nxi2−nx2)(i=1nyi2−ny2)来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数（简称为相关系数）.
2.性质：
可以证明，相关系数r具有以下性质∶
（1） |r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r