【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：6.1.2空间向量的数量积 讲义

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6.1.2空间向量的数量积
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课程标准
重难点
掌握空间向量数量积运算
重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质.
难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题.
知识精讲

知识点01 空间两个向量的夹角
1. 夹角
定义
a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作OA=a，OB=b,∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a,b的夹角。
图示
 
表示
　〈a,b〉.
范围
[0,π]
2.空间两个向量的关系
（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 　相反;
（3）若〈a,b〉=π2,则向量a,b　互相垂直，记作a⊥b
【即学即练1】在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）．

A．AB与A′C′
B．AB与C′A′
C．AB与A′D′
D．AB与B′A′
【答案】A
【分析】根据AB=A′B′以及正方体的性质求出各组向量的夹角可得答案.
【详解】对于A，因为AB=A′B′，所以AB与A′C′的夹角为45∘，故A正确；
对于B，因为AB=A′B′，所以AB与C′A′的夹角为135∘，故B不正确；
对于C，因为AB=A′B′，所以AB与A′D′的夹角为90∘，故C不正确；
对于D，因为AB=A′B′，所以AB与B′A′的夹角为180∘，故D不正确.
故选：A
【即学即练2】在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是( )

A．AB与A′C′      B．AB与C′A′      C．AB与A′D′      D．AB与B′A′
【答案】A
【详解】对A，夹角为45°，正确；对B，夹角为135°，错误；
对C，夹角为90°，对D，夹角为180°，错误.
故选：A
知识点02 空间两个向量的数量积
1. 空间向量的数量积的定义
定义
已知两个非零向量a,b,则　|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作    a·b    .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
规定
零向量与任意向量的数量积为　0   

2.空间向量数量积的运算律
交换律
a·b=     b·a    
结合律
(λa)·b=⑩     λ(a·b)    ,λ∈R
分配律
a·(b+c)=     a·b+a·c  

3.空间向量数量积的性质
①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔     a·b=0    ;
②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=a2
③若θ为a,b的夹角，则cosθ=a·b|a||b|
④|a·b|≤|a||b|
4.与数量积有关的2个易错点
①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=ac⟹b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.
【即学即练3】如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a,AD=b,AA1=c，则a⋅2b−3c的值为（    ）

A．1 B．0 C．−1 D．−2
【答案】B
【分析】利用空间向量的运算法则即可求解.
【详解】由正方体的性质可得，AB⊥AD,AB⊥AA1，故AB⋅AD=0,AB⋅AA1=0,∵AB=a,AD=b,AA1=c，∴a⋅2b−3c=a⋅2b−a⋅3c=0.
故选：B
【即学即练4】(多选)正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，体对角线AC1与BD1，相交于点О，则（    ）
A．AB⋅A1C1=1 B．AB⋅AC1=2 C．AB⋅AO=12 D．BC⋅DA1=1
【答案】AC
【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.
【详解】方法一：AB⋅A1C1=AB⋅AB+AD=AB2=1，故A正确；
AB⋅AC1=AB⋅AB+AD+AA1=AB2=1，故B错误；
AB⋅AO=AB⋅12AC1=12，故C正确；
BC⋅DA1=BC⋅BB1+CB=−BC2=−1，故D错误；
方法二：
AB⋅A1C1=A1B1⋅A1C1=A1B1A1C1cosA1B1,A1C1=1×2×22=1，故A正确；
由正方体的性质可知，AC1=3，BC1=2，
AB⋅AC1=ABAC1cosAB,AC1=ABAC1⋅ABAC1=1×3×13=1，故B错误；
AB⋅AO=AB⋅12AC1=12，故C正确；
BC⋅DA1=AD⋅DA1=1×2×−22=−1，故D错误.
故选：AC．
知识点03 向量的投影
（1）向量在向量上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量OA=a，OB=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量.

②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=OA1b


（2）向量在平面上的投影向量
①定义：设向量m=CD，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量C1D1.我们将上述由向量m得到向量C1D1的变换称为向量m向平面α投影，向量C1D1称为向量 m 在平面α上的投影向量.
②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即m∙n=C1D1∙n
【即学即练5】四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为（    ）
A．DA B．BC C．BD D．AP
【答案】B
【分析】过点B和点分别作直线的垂线，由垂足确定BP在向量AD上的投影向量.
【详解】四棱锥P−ABCD如图所示，

底面ABCD是矩形，∴BA⊥AD，
PD⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，∴PD⊥AD，
过向量BP的始点B作直线AD的垂线，垂足为点A，过向量BP的终点P作直线AD的垂线，垂足为点D，BP在向量AD上的投影向量为AD，由底面ABCD是矩形,AD=BC，
故选：B
【即学即练6】已知a=4，e为空间单位向量，a,e=120∘，则a在e方向上投影的模为_______．
【答案】2
【分析】利用向量投影的概念可求得结果.
【详解】由题意可知，a在e方向上投影的模为a⋅cosa,e⋅e=4cos120∘=2
故答案为：2.
能力拓展

◆考点01 数量积的概念
【典例1】设a，b，c都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ）
A． a+b+c=a+b+c
B． a+b⋅c=a⋅c+b⋅c
C． a⋅b⋅c=b⋅c⋅a
D． a+b⋅a+c=|a|2+b+c⋅a+b⋅c
【答案】C
【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可．
【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若a，c不共线且a→,b→，b→,c→不垂直，则(a→⋅b→)⋅c→=a→b→cosa→,b→⋅c→≠(b→⋅c→)⋅a→=b→c→cosb→,c→⋅a→，故C不一定正确．
故选：C.
【典例2】对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是（    ）
A．若a//b且b//c，则a//c B．a⋅b+c=a⋅b+a⋅c
C．若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b=c D．a⋅bc=ab⋅c
【答案】B
【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD．
【详解】若b=0，则由a//b且b//c，不能得出a//c，A错；
由数量积对向量加法的分配律知B正确；
若a⋅b=a⋅c，则a⋅(b−c)=0，当a⊥(b−c)时就成立，不一定有b=c，C错；
a⋅bc是与c平行的向量，ab⋅c是与a平行的向量，它们一般不相等，D错．
故选：B．
【典例3】（多选）设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ）
A．a2=a2 B．a⋅ba⋅a=ba
C．a⋅b2=a2⋅b2 D．a−b2=a2−2a⋅b+b2
【答案】AD
【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；
【详解】解：对于A：a2=a⋅a=a⋅acos0=a2，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即ba无意义，故B错误；
对于C：a⋅b2=a⋅bcosa,b2=a2⋅b2cos2a,b，故C错误；
对于D：a−b2=a−b⋅a−b=a2−2a⋅b+b2，故D正确；
故选：AD
◆考点02 数量积的运算
【典例4】（多选）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下选项正确的是（    ）

A．SA+SB+SC+SD=0 B．(SA−SC)⋅(SB−SD)=0
C．SA−SB+SC−SD=0 D．SA·SB=SC·SD
【答案】CD
【分析】利用空间向量的线性运算对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】如图，分别取AB,CD的中点E,F，EF的中点O
对于A，SA+SB+SC+SD=2SE+2SF=2SE+SF=4SO≠0，故A错误；
对于B，(SA−SC)⋅(SB−SD)=CA⋅DB=0，而不是0，故B错误；
对于C，SA−SB+SC−SD=BA+DC=0，故C正确；
对于D，∵SA⋅SB=2×2×cos∠ASB=4cos∠ASB，SC⋅SD=2×2×cos∠CSD=4cos∠CSD，又∠ASB=∠CSD，所以SA⋅SB=SC⋅SD，故D正确.
故选：CD


【典例5】已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=1，AA1=2，P是长方体表面上一点，则PA⋅PC1的取值范围是（    ）
A．−12,0 B．−34,0 C．−12,1 D．−34,1
【答案】B
【分析】取AC1中点O，将所求数量积转化为PO2−OA2，根据PO的取值范围可求得结果.
【详解】取AC1中点O，

则PA⋅PC1=PO+OA⋅PO+OC1=PO+OA⋅PO−OA=PO2−OA2，
∵当P为侧面ABB1A1中点时，POmin=12；PO的最大值为体对角线的一半1，
又OA=12AC1=121+1+2=1，∴PO2−OA2∈−34,0，
即PA⋅PC1的取值范围为−34,0.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围.
【典例6】如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：

(1)·；
(2)·；
(3)(＋)·(＋)．
【解析】(1)正四面体的棱长为1，则||＝||＝1．△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：
·＝||||cos〈，〉＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝．
(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，所以EFAC，于是·＝||||cos〈，〉
＝||·||cos〈，〉＝×1×1×cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－．
(3)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)
＝2＋·－2·＋·＋2－2·＝1＋－2×＋＋1－2×＝1．
◆考点03 利用空间向量的数量积求夹角
【典例7】（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________

【答案】
【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，
则，，
.
又，，
所以

而，
，
所以.
故答案为：.
【典例8】（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
解：（1），
又，
同理可得，
则．
（2）因为，
所以，
因为，
所以．
则异面直线与所成角的余弦值为．
◆考点04 利用空间向量的数量积求长度（距离）
【典例9】平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC′的长为（    ）
A．10 B．85 C．61 D．70
【答案】B
【分析】由AC′=AB+AD+AA′，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．
【详解】如图，

AB2=16，AD2=9，AA′2=25，AB⋅AD=4×3×cos90°=0，
AB⋅AA′=4×5×cos60°=10，AD⋅AA′=3×5×cos60°=152．
∵ AC′=AB+AD+AA′，
∴ AC′2=AB2+AD2+AA′2+2AB⋅AD+2AB⋅AA′+2AD⋅AA′
=16+9+25+2×0+2×10+2×152=85，
∴ |AC′|=85，
即AC′的长为85.
故选：B．
【典例10】在四面体ABCD中，AB，AC，AD的长度分别为1，2，3，且∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°，M，N分别为AB，CD中点，则MN的长度为______.
【答案】152
【分析】根据几何体的结构特征，将向量MN表示成AB，AC，AD，再根据其长度和夹角用空间向量计算MN的长.
【详解】根据题意画出几何体如下图所示，

则MN=MA+AN=−12AB+12AC+AD=12−AB+AC+AD
又因为AB，AC，AD的长度分别为1，2，3，且∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°，
所以，MN2=14−AB+AC+AD2=14AB2+AC2+AD2−2ABACcos60∘−2ABADcos60∘+2ACADcos60∘=1412+22+32−2×1×2×12−2×1×3×12+2×2×3×12=154得MN=154=152即MN的长度为152.故答案为：152.
【典例11】如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN．

(1)用向量OA,OB,OC表示OP；
(2)求|OP|．
【答案】(1)OP=14OA+14OB+14OC
(2)|OP|=64
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）先计算OP2=14OA+14OB+14OC2，再开方即可求解
【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=34AN．
所以OP=OA+AP=OA+34AN=OA+34(ON−OA)=14OA+34ON=14OA+34×23OM
=14OA+12×12(OB+OC)=14OA+14OB+14OC．
（2）因为四面体OABC是正四面体，则|OA|=|OB|=|OC|=1，OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC=1×1×12=12，OP2=14OA+14OB+14OC2=116(OA+OB+OC)2=116(OA2+OB2+OC2+2OA⋅OB+2OB⋅OC+2OA⋅OC)=1161+1+1+2×12+2×12+2×12=616，
所以|OP|=64．
【典例12】如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．

【答案】
【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋，
所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.
∴||＝，即E，F间的距离为.
【典例13】如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．

【答案】2
【解析】∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.
◆考点05投影向量
【典例14】如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．

(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅AB；
(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
【答案】(1)PC在平面ABC上的投影向量为AC，PC⋅AB=a2；
(2)PC在AB上的投影向量为AB，PC⋅AB=a2.
【分析】（1）根据PA⊥平面ABC可得PC在平面ABC上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得PC在AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得PC⋅AB的值.
【详解】（1）因为PA⊥平面ABC，所以PC在平面ABC上的投影向量为AC，
因为PA⊥平面ABC，AB⊂面ABC，可得PA⊥AB，所以PA⋅AB=0，
因为CB⊥AB，所以BC⋅AB=0，
所以PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB=PA⋅AB+AB⋅AB+BC⋅AB
=0+a2+0=a2.
（2）由（1）知：PC⋅AB=a2，AB=a，
所以PC在AB上的投影向量为：
PC⋅cosPC,AB⋅ABAB=PC⋅PC⋅ABPC⋅AB⋅ABAB=PC⋅ABAB⋅ABAB=a2a⋅ABa=AB，
由数量积的几何意义可得：PC⋅AB=AB⋅AB=a2.

【典例15】如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点.

（1）求DD1,BC，D1C1,CA的大小；
（2）求向量AE在向量DC方向上的投影的数量.
【答案】（1）DD1,BC=90°，D1C1,CA=135°；（2）1
【分析】（1）由DD1⊥BC，可得DD1,BC，由D1C1//DC，可得D1C1,CA；
（2）由空间向量投影的定义找出AE在向量DC方向上的投影即可求解
【详解】（1）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为DD1⊥BC，所以DD1,BC=90°，
因为D1C1//DC，所以D1C1,CA=DC,CA=135°；
（2）连接EC，因为DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥CE，又因为AD⊥DC，
所以AE在向量DC方向上的投影为DC，因为DC=1，所以向量AE在向量DC方向上的投影的数量为1


【典例16】如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱B1C1上的动点，则向量AE在向量AC方向上的投影数量的取值范围为______．

【答案】22,2
【分析】设B1E=λB1C1(0≤λ≤1)，利用向量数量积的定义及运算法则可得AE⋅AC=1+λ，知向量AE在向量AC方向上投影数量为1+λ2，进而求得其取值范围.
【详解】由已知E为棱B1C1上的动点，设B1E=λB1C1(0≤λ≤1)，
因为AE=AB1+B1E=AB1+λB1C1=AB+BB1+λB1C1，
所以AE⋅AC=(AB+BB1+λB1C1)⋅AC=AB⋅AC+BB1⋅AC+λB1C1⋅AC
=1×2×cos45°+λ×1×2×cos45°=1+λ，
所以向量AE在向量AC方向上投影数量为1+λ2，
又0≤λ≤1，∴1≤1+λ≤2，
∴22≤1+λ2≤2，
所以向量AE在向量AC方向上投影的数量的取值范围为22,2.
故答案为：22,2.
分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知a,b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么a+3b等于（    ）
A．7 B．10 C．13 D．4
【答案】C
【分析】结合向量夹角，先求解a+3b2， 再求解a+3b.
【详解】a+3b=(a+3b)2=a2+9b2+6a⋅b=13．
故选：C.
2．已知空间向量a,b,c两两夹角均为60∘，其模均为1，则a+b−2c=（    ）
A．2 B．3 C．2 D．5
【答案】B
【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果.
【详解】a+b−2c= (a+b−2c)2 =a2+b2+4c2+2a⋅b−4a⋅c−4b⋅c=1+1+4+2×1×1×12−4×1×1×12−4×1×1×12=3.
故选：B
3．若非零向量a，b满足a=b，(2a−b)⋅b=0 ，则a与b的夹角为（    ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】设a与b的夹角为θ，则由(2a−b)⋅b=0，a=b，可得cosθ=12，从而可求得a与b的夹角
【详解】设a与b的夹角为θ，因为(2a−b)⋅b=0，所以2a⋅b=b2，所以2abcosθ=b2，
因为非零向量a，b满足a=b，所以cosθ=12，因为θ∈[0,π]，所以θ=π3，即θ=60°，
故选：B
4．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，有下列命题：
①(AA1+AD+AB)2=3|AB|2；②A1C⋅(A1B1−A1A)=0；③AD1与A1B的夹角为60°．
其中正确的命题有（    ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【分析】根据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可
【详解】解：对于①，
(AA1+AD+AB)2=(AA1)2+(AD)2+(AB)2+2AA1⋅AD+2AA1⋅AB+2AD⋅AB=3AB2,所以①正确；
对于②，A1C⋅(A1B1−A1A)=(AB+AD−AA1)⋅(AB−A1A) =AB2−A1A2=0，
所以②正确；
对于③，因为A1B∥D1C,AD1,AC,D1C分别为面的对角线，
所以∠AD1C=60°,所以AD1与A1B的夹角为120°，所以③错误
故选：B

【点睛】此题考查空间向量垂直和异面直线所成的角，属于基础题
5．已知a=1，cosα，sinα，b=−1，sinα，cosα,则向量a+b与a−b的夹角是（    ）
A．90° B．60° C．30° D．0°
【答案】A
【分析】根据向量a，b的坐标即可求出a2=b2,从而得出a+b⋅a−b=0,这样即可得出a+b与a−b的夹角．
【详解】解：a2=1+cos2α+sin2α=2，b2=1+sin2α+cos2α=2，
∴a+b⋅a−b=a2−b2=0,
∴a+b⊥a−b,
∴a+b与a−b的夹角为90°．
故选A．
【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标运算,向量垂直的充要条件,向量夹角的定义,考查了计算能力,属于基础题．

二、多选题
6．三棱锥O−ABC中，OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=OC，下列命题为真命题的是（    ）

A．OA+OB+OC2=3OA2 B．BC⋅(CA−CO)=0
C．OA+OB和CA的夹角为60° D．三棱锥O−ABC的体积为16AB⋅AC⋅BC
【答案】ABC
【分析】根据空间向量数量积的运算性质，结合棱锥体积公式逐一判断即可.
【详解】A：OA+OB+OC2=OA2+OB2+OC2+2OA⋅OB+2OC⋅OA+2OB⋅OC，
因为OA,OB,OC两两垂直，所以OA⋅OB=OC⋅OA=OB⋅OC=0，
而OA=OB=OC，所以OA+OB+OC2=3OA2，本命题是真命题；
B：BC⋅(CA−CO)=(BO+OC)⋅OA=BO⋅OA+OC⋅OA，
因为OA,OB,OC两两垂直，所以OA⋅OB=OC⋅OA=0，
因此BC⋅(CA−CO)=0，本命题是真命题；
C：(OA+OB)⋅CA=(OA+OB)⋅(CO+OA)=OA⋅CO+OA2+OB⋅CO+OB⋅OA，
因为OA,OB,OC两两垂直，所以OA⋅OB=OC⋅OA=OB⋅OC=0，
所以(OA+OB)⋅CA=OA2=OA2，
OA+OB=(OA+OB)2=OA2+OB2+2OA⋅OB，
因为OA,OB互相垂直，所以OA⋅OB=0，而OA=OB，
所以OA+OB=2OA，
CA=CO+OA=(CO+OA)2=CO2+OA2+2CO⋅OA，
因为OA,OC互相垂直，所以OA⋅OC=0，而OA=OC，
所以CA=2OA，设OA+OB和CA的夹角为θ，
因为cosθ=(OA+OB)⋅CAOA+OB⋅CA=OA2(2OA)⋅(2OA)=12，所以θ=60°
因此本命题是真命题；
D：AB⋅AC=(AO+OB)⋅(AO+OC)=AO2+AO⋅OC+OB⋅AO+OB⋅OC，
因为OA,OB,OC两两垂直，所以OA⋅OB=OC⋅OA=OB⋅OC=0，
所以AB⋅AC=AO2，
BC=BO+OC=(BO+OC)2=BO2+OC2+2BO⋅OC，
因为OB,OC互相垂直，所以OA⋅OC=0，而OA=OB=OC，所以BC=2OA，
16AB⋅AC⋅BC=16OA2⋅BC=16⋅OA2⋅2⋅OA=26OA3，
因为OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=OC，
所以三棱锥O−ABC的体积为：13⋅12⋅OA⋅OB⋅OC=16OA3，
因此本命题是假命题，
故选：ABC
7．已知ABCD−A1B1C1D1为正方体，则下列说法正确的有（    ）
A．(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2；
B．A1C⃑·(A1B1⃑−A1A⃑)=0；
C．A1B与AD1的夹角为60°；
D．在面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
【答案】ABD
【分析】画出图形，利用向量的运算结合正方体的性质逐项判断.
【详解】如图所示：

A. 由向量的加法运算得A1A+A1D1+A1B1=A1C，因为 A1C=3A1B1，所以(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2，故正确；
B. 正方体的性质易知A1C⊥AB1，所以A1C•(A1B1−A1A)=A1C⋅AB1=0，故正确；
C. 因为△A1BC1是等边三角形，且 AD1//BC1，所以∠A1BC1=60∘，则A1B与AD1的夹角为120°，故错误；
D. 由正方体的性质得过A1,D的面对角线与直线A1D所成的角都为60°，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确；
故选：ABD

三、填空题
8．已知空间向量a,b满足|a|=2,b∣=1，且a与b的夹角为π3，则a⋅b=__________．
【答案】1
【分析】利用空间数量积的定义，直接求解即可.
【详解】由空间向量数量积的定义，a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cos=2×1×cosπ3=1.
故答案为：1
9．已知线段AB的长度为62，AB→与直线l的正方向的夹角为120°，则AB→在l上的射影的长度为______.
【答案】32
【分析】先求出AB在直线l的正方向的投影向量，再求其长度即可得解.
【详解】设与直线l的正方向一致的单位向量为e，
于是得AB在直线l的正方向的投影向量为(|AB|cos120∘)⋅e=−32e，则|−32e|=32，
所以AB在l上的射影的长度为32.
故答案为：32.
10．若向量a=(2,−1,2),b=(−4,2,m)，且a与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为_______．
【答案】m