2022-2023学年吉林省长春八十九中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省长春八十九中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春八十九中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一元二次方程x2−9=0的根为(    )
A. x=3 B. x=−3
C. x1=3，x2=−3 D. x1=0，x2=9
2. 一个布袋中放着9个黑球和3个红球，除了颜色以外没有任何其他区别.则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是(    )
A. 34 B. 14 C. 23 D. 13
3. 一元二次方程x2−2x−5=0根的情况为(    )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
4. 河堤横断面如图所示，堤高BC=10米，迎水坡AB的坡比为1：2，则AC的长是(    )
A. 5米
B. 10米
C. 15米
D. 20米
5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是(    )
A. 150(1−x)=96 B. 150(1−x2)=96
C. 150(1−x)2=96 D. 150(1−2x)=96
6. 如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE.现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=(    )
A. 50m
B. 48m
C. 45m
D. 35m


7. 如图，AD/​/BE/​/CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为(    )
A. 12.5
B. 12
C. 8
D. 4
8. 已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(    )
A. 函数有最小值1，有最大值3
B. 函数有最小值−1，有最大值3
C. 函数有最小值−1，有最大值0
D. 函数有最小值−1，无最大值


二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 函数y= x+4中，自变量x的取值范围是______．
10. 计算：tan245°+1=______．
11. 抛物线y=−(x+2)2−3的顶点坐标是______．
12. 已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，则a=______．
13. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为__________．


14. 如图.已知BD是∠ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点且AE=AB.若AB=6，BD=4，DE=5，则BC的长______ ．


三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
15. 解方程：x2−4x−2=0．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
计算： 12− 18+3 13+ 8．
17. (本小题6.0分)
为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．
(1)求该广场绿化区域的面积；
(2)求广场中间小路的宽．





18. (本小题7.0分)
有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，3；乙袋中有2个球，分别标有数字1，4，这5个球除所标数字不同外其余均相同.从甲、乙两袋中各随机摸出1个球.用画树状图(或列表)的方法，求摸出的两个球上数字之和是4的概率．
19. (本小题7.0分)
如图，在5×6的方格中，点A、B是两个格点，请按要求作图．

(1)在图1中，以AB为边作矩形ABEF(要求E、F两点均是格点)；
(2)在图2中，点C、D是两个格点，请在图中找出一个格点P，使△PAB和△PCD相似(找出一个即可)．
20. (本小题7.0分)
如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米，求这棵树的高度为多少米.(结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)

21. (本小题8.0分)
已知抛物线y=ax2+bx−1，经过A(1,2)，B(−3,2)．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式，并直接写出开口方向及对称轴．
22. (本小题9.0分)
体验：如图1，在四边形ABCD中，AB/​/CD，∠B=90°，点M在BC边上，当∠AMD=90°时，可知△ABM ______ △MCD(不要求证明)．
探究：如图2，在四边形ABCD中，点M在BC上，当∠B=∠C=∠AMD时，求证：△ABM∽△MCD．
拓展：如图3，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DME=45°，BC=8 2，CE=6，求DE的长．


23. (本小题10.0分)
如图1，在三角形ABC中，角ACB=90度，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．
(1)若三角形BPQ与三角形ABC相似，求t的值；
(2)直接写出三角形BPQ是等腰三角形时t的值；
(3)如图2，连接AQ、CP，若AQ垂直CP，求t的值．

24. (本小题12.0分)
已知函数y=x2−mx+m−1,(x≥0)x2−mx+m,(x0，
∴开口方向向上，对称轴为x=−1． 
【解析】(1)直接将A(1,2)，B(−3,2)代入y=ax2+bx−1得到二元一次方程组，再求得a、b即可；
(2)根据抛物线的平移规律“上加下减”以及二次函数图象的性质解答即可．
本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图象的平移、二次函数图象的性质等知识点，掌握二次函数图象的平移规律和二次函数图象的特征是解答本题的关键．

22.【答案】∽ 
【解析】解：体验：∵∠AMD=90°，
∴∠AMB+∠DMC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠DMC，
∵AB/​/CD，∠B=90°，
∴∠C=∠B=90°，
∴△ABM∽△MCD，
故答案为：∽；
探究：∵∠AMC=∠BAM+∠B，∠AMC=∠AMD+∠CMD，
∴∠BAM+∠B=∠AMD+∠CMD．
∵∠B=∠AMD，
∴∠BAM=∠CMD，
∵∠B=∠C，
∴△ABM∽△MCD；
拓展：同探究的方法得出，△BDM∽△CME，
∴BDCM=BMCE，
∵点M是边BC的中点，
∴BM=CM=4 2，
∵CE=6，
∴BD4 2=4 26，
解得，BD=163，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=90°，
∴AC=BC= 22BC=8，
∴AD=AB−BD=8−163=83，AE=AC−CE=2，
在Rt△ADE中，DE= AD2+AE2= (83)2+22=103．
体验：根据同角的余角相等得到∠BAM=∠DMC，根据平行线的性质得到∠C=∠B=90°，根据两角相等的两个三角形相似证明结论；
探究：根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明；
拓展：根据相似三角形的性质求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解本题的关键是判断出△ABP∽△PCD．

23.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB= AC2+BC2=10cm；
分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，BPBA=BQBC，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴5t10=8−4t8，解得，t=1，
②当△BPQ∽△BCA时，BPBC=BQBA，
∴5t8=8−4t10，解得，t=3241；
∴t=1或3241时，△BPQ∽△BCA；

(2)分三种情况：
①当PB=PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，
则BH=12BQ=4−2t，PB=5t，
∴PH//AC，
∴PBAB=BHBC，即5t10=4−2t8
解得：t=23，
②当PB=BQ时，即5t=8−4t，
解得：t=89，
③当BQ=PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，
则BG=12PB=52t，BQ=8−4t，
∵△BGQ∽△ACB，
∴BGBC=BQAB，
即52t8=8−4t10，
解得：t=6457．
综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：23或89或6457．

(3)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：
则PB=5t，PM=3t，MC=8−4t，
∵AQ⊥CP，
∴∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴ACCM=CQMP，
∴68−4t=4t3t，解得t=78，
∴满足条件的t的值为78． 
【解析】(1)分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
(2)分三种情况：①当PB=PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，则BH=12BQ=4−2t，PB=5t，根据平行线分线段成比例定理得到PBAB=BHBC，即5t10=4−2t8解得t=23，②当PB=BQ时，即5t=8−4t，解得t=89，③当BQ=PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则BG=12PB=52t，BQ=8−4t，通过△BGQ∽△ACB，得到比例式BGBC=BQAB，解得：t=6465．
(3)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8−4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．

24.【答案】解：(1)①当m=2时，则y=x2−2x+1(x≥0)x2−2x+2(x