2022-2023学年广东省惠州市惠东县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省惠州市惠东县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省惠州市惠东县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式是最简二次根式的是(    )
A. 4 B. 15 C. 5 D. 8
2. 下列四组线段中，可以组成直角三角形的是(    )
A. 4，5，6 B. 1， 3，2 C. 5，6，7 D. 1， 2，3
3. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，则下列结论一定成立的是(    )
A. OA=OC
B. AB=OB
C. AC=BD
D. AC⊥BD
4. 一次函数y=−5x+5的图象经过的象限是(    )
A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、二、四 D. 一、三、四
5. 已知一组数据分别为3，8，4，5，x.这组数据的众数是8，则这组数据的中位数是(    )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
6. 关于函数y=−2x+1，下列结论正确的是(    )
A. 图象经过点(−2,1) B. y随x的增大而增大
C. 图象与y轴交点为(0,1) D. 图象不经过第一象限
7. 如图所示，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分)，得到长为c的正方形，则下列等式成立的是(    )
A. a+b=c
B. a2+b2=c2
C. c2=(a+b)(a−b)
D. c2=(a+b)2−4ab
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2 3，则EF的长度为(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2 3
9. 若一组数据a1，a2，…，an的平均数为10，方差为4，那么数据3a1−2，3a2−2，…，3an−2的平均数和方差分别是(    )
A. 30，12 B. 28，10 C. 28，36 D. 28，34
10. 如图是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第(n−2)个数是(用含n的代数式表示)(    )
A. n2−1 B. n2−2 C. n2−3 D. n2−4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式 1−x在实数范围有意义，则x的取值范围是______ ．
12. 把一次函数y=−2x+1的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为______ ．
13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=12，BD=16，则这个菱形的周长为______．


14. 如图，直线y=x+b与y=kx的图象交于点M(−5,5)，则不等式x+b>kx的解集为______ ．


15. 如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一点，且AE=2，BE=4，点P是边AD上的动点(P与A，D不重合)，则PE+PC的最小值是______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算： 8−2 12+(2− 3)(2+ 3)．
17. (本小题8.0分)
21世纪已经进入了中国太空时代，2021年到2022年，我国会通过11次航天发射完成空间站建设，空间站由“天和”核心舱、“问天”和“梦天”两个实验舱，我国空间站的建成将为开展太空实验及更广泛的国际合作提供精彩舞台．校团委以此为契机，组织了“中国梦⋅航天情”系列活动．下面是八年级甲，乙两个班各项目的成绩(单位：分)：
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜；
(2)如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲乙两班谁将获胜．
项目班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
85
91
88
乙
90
84
87

18. (本小题8.0分)
已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,−5)，且与正比例函数y=12x的图象相交于点B(2,a)，
(1)求点B的坐标；
(2)求一次函数解析式．
19. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，点E在线段BD上，且EA=EB.已知BD=16，AD=12，AC=15．
(1)求线段DE的长；
(2)求证：∠BAC=90°．

20. (本小题9.0分)
已知：四边形ABCD是平行四边形，点E为BC边上一点，且AB=AE．
求证：
(1)∠B=∠DAE；
(2)AC=DE．

21. (本小题9.0分)
如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若BF=16，DF=8，求菱形ABCD的面积．

22. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y=x，直线l2的解析式为y=−12x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
(1)求出点A、点B的坐标；
(2)求△COB的面积；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得△POC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．

23. (本小题12.0分)
如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足|OA−15|+ OC−9=0，点N在OC上，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴上的点D处，且OD=3．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BN的解析式；
(3)坐标平面内是否存在一点P，使以B、N，D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、 4=2，故A不符合题意；
B、 15= 55，故B不符合题意；
C、 5是最简二次根式，故C符合题意；
D、 8=2 2，故D不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：A.42+52=41≠62，不能组成直角三角形，不符合题意；
B.12+( 3)2=4=22，能组成直角三角形，符合题意；
C.52+62=61≠72，不能组成直角三角形，不符合题意；
D.12+( 2)2=3≠32，不能组成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可．
本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC，AB=CD，AD//BC，AB//CD；
故选：A．
根据平行四边形的性质可直接进行排除选项．
本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：∵−5<0，
∴一次函数y=−5x+5的图象一定经过第二、四象限，
又∵5>0，
∴一次函数y=−5x+5的图象与y轴交于正半轴，
∴一次函数y=−5x+5的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
根据一次函数y=kx+b(k≠0)中的k、b判定该函数图象所经过的象限．
本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k>0，b<0函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．

5.【答案】C 
【解析】解：∵这组数据有一个众数是8，
∴x=8，
将这组数据从小到大排序3，4，5，8，8，中间位置的数为5，
∴中位数为5，
故选：C．
根据众数、中位数的定义解答即可．
本题主要考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，可能会求得错误答案，众数是一组数据中出现次数最多的数据．熟知每个概念是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：A、当x=−2时，y=5.所以图象不过(−2,1)，故错误；
B、∵−2<0，
∴y随x的增大而减小，故错误；
C、常数项b=1，y轴的交点常数项或(0,1)，故正确；
D、∵−2<0，1>0，
∴图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故错误；
故选：C．
A、把点的坐标代入关系式，检验是否成立；
B、根据系数的性质判断，或画出草图判断；
C、根据y轴的交点常数项或(0,b)判断；
D、可根据函数图象判断或比例系数和常数项，判断经过的象限和不经过的象限．
本题主要考查了一次函数的性质以及一次函数与方程、不等式的关系．常采用数形结合的方法求解．

7.【答案】B 
【解析】解：由图可得剩下正方形面积为：(a+b)2−4×12ab，
根据正方形面积公式，剩下正方形面积也可以表示为：c2，
∴(a+b)2−4×12ab=c2，化简得a2+b2=c2，
故选：B．

用两种方法表示剩下正方形的面积，列出等式，化简即可得到答案．
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是用两种方法表示剩下正方形的面积．

8.【答案】C 
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC．
∵BC=2 3，
∴AB=4 3．
∵点D为AB的中点，
∴CD=12AB=2 3．
∵E，F分别为AC，AD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF=12CD= 3．
故选：C．
仔细分析题意，并观察图形，利用直角三角形的性质及中位线的定义和性质进行解答；首先根据直角三角形的性质可得AB的长度，据此则不难求出CD的长度；接下来根据三角形中位线的定义可得EF是△ACD的中位线，再结合中位线的性质即可求得EF的长度．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：数据a1，a2，……，an的平均数为10，
那么数据3a1−2，3a2−2，…，3an−2的平均数为3×10−2=28，
数据a1，a2，……，an，方差为4，
那么数据3a1−2，3a2−2，…，3an−2的方差为4×32=36．
故选：C．
根据平均数的概念、方差的性质解答．
本题考查的是平均数和方差，掌握当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，当数据都乘上一个数(或除一个数)时，方差乘(或除)这个数的平方倍是关键．

10.【答案】B 
【解析】解：前(n−1)行的数据的个数为2+4+6+…+2(n−1)=n(n−1)，
所以，第n(n是整数，且n≥3)行从左到右数第(n−2)个数的被开方数是n(n−1)+n−2=n2−2，
所以，第n(n是整数，且n≥3)行从左到右数第(n−2)个数是 n2−2．
故选：B．
观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n−1行的数据的个数，再加上n−2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．
本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前(n−1)行的数据的个数是解题的关键．

11.【答案】x≤1 
【解析】解：由题意得：1−x≥0，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
根据二次根式有意义的条件可得1−2≥0，再解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是关键．

12.【答案】y=−2x+5 
【解析】解：将一次函数y=−2x+1的图象沿y轴向上平移4个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=−2x+1+4=−2x+5，
故答案为：y=−2x+5．
根据函数图象上下平移的规律可求得答案．
本题主要考查函数图象的平移，掌握函数图象平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

13.【答案】40 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=12AC=12×12=6，OB=12BD=12×16=8，AC⊥BD，
∴AB= OA2+OB2= 62+82=10．
∴此菱形的边长为10，
∴周长为40．
故答案为：40．
由四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相平分且垂直，即可得OA=12AC=12×12=6，OB=12BD=12×16=8，AC⊥BD，又由勾股定理，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握菱形的对角线互相平分且垂直定理的应用是解此题的关键．

14.【答案】x>−5 
【解析】解：由图象可知，不等式x+b>kx的解集是x>−5．
故答案为：x>−5．
不等式x+b>kx的解集是一次函数y=x+b落在y=kx的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

15.【答案】10 
【解析】解：作点E关于AD的对称点E′，连接CE′，PE′，则PE′=PE，

∴PE+PC=PE′+PC≥CE′，
∴PE+PC的最小值为CE′的长；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠CBA=90°，
∵AE=2，BE=4
∴AB=AE+BE=6，AB=BC=6
∵点E关于AD对称E′
∴AE=AE′=2，E′B=8
在Rt△BCE′中，
CE′= BC2+E′B2= 62+82=10，
∴PE+PC的最小值是10．
故答案为：10．
由“将军饮马”类型，动点P在AD移动，先作点E关于AD的对称点E′，连接CE′，CE′的长就是PE+PC最小值，正方形ABCD的边长BC=AB=AE+BE，在△BCE′中由勾股定理得EC′长度，从而得到PE+PC的最小值．
本题考查轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，能用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键．

16.【答案】解： 8−2 12+(2− 3)(2+ 3)
=2 2− 2+4−3
= 2+1． 
【解析】先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键注意平方差公式的应用．

17.【答案】解：(1)甲班的平均分为：(85+91+88)÷3=88(分)，
乙班的平均分为：(90+84+87)÷3=87(分)，
∵88>87，
∴甲班将获胜；
(2)由题意可得，
甲班的平均分为：85×5+91×3+88×25+3+2=87.4(分)，
乙班的平均分为：90×5+84×3+87×25+3+2=87.6(分)，
∵87.4<87.6，
∴乙班将获胜． 
【解析】(1)根据表格中的数据和平均数的计算方法可以解答本题；
(2)根据加权平均数的计算方法可以解答本题．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．

18.【答案】解：(1)把点(2,a)代入正比例函数的解析式y=12x得a=12×2=1，
∴B点坐标为(2,1)；

(2)把点(−1,−5)、(2,1)代入y=kx+b，
得−k+b=−52k+b=1，
解得k=2b=−3，
所以一次函数的解析式为y=2x−3． 
【解析】(1)直接把点(2,a)代入正比例函数的解析式y=12x可求出a；
(2)由于a=1，则一次函数y=kx+b的图象经过点(−1,−5)和(2,1)，然后利用待定系数法求解析式．
本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则交点坐标同时满足两个解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．

19.【答案】(1)解：设BE=AE=x，
∵BD=16，
∴ED=BD−BE=16−x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，
∴x2=122+(16−x)2，
解得：x=12.5，
∴DE=16−x=3.5，
∴DE的长为3.5；
(2)证明：在Rt△ABD中，AD=12，BD=16，
∴AB= BD2+AD2= 162+122=20，
在Rt△ADC中，AC=15，AD=12，
∴CD= AC2−AD2= 152−122=9，
∴BC=BD+CD=25，
∵AB2+AC2=202+152=625，BC2=252=625，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°． 
【解析】(1)设BE=AE=x，则ED=16−x，根据垂直定义可得∠ADE=∠ADC=90°，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算可求出x的长，从而求出DE的长；
(2)先在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用勾股定理分别求出AB，CD的长，从而求出BC的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．

20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∴∠B=∠DAE．
(2)证明：由(1)得∠B=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，
∴∠B=∠ADC，AB=DC，
∴∠ADC=∠DAE，DC=AE，
在△ADC和△DAE中，
DC=AE∠ADC=∠DAEAD=DA，
△ADC≌△DAE(SAS)，
∴AC=DE． 
【解析】(1)由平行四边形的性质得BC//AD，则∠AEB=∠DAE，由AB=AE，得∠AEB=∠B，则∠B=∠DAE；
(2)由∠B=∠DAE，∠B=∠ADC，得∠ADC=∠DAE，再推导DC=AE，即可证明△ADC≌△DAE，得AC=DE．
此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，此题可考虑多种解题方法．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=BC=CD=AB，
∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC，
即EF=BC，
∴EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∵BF=16，
∴CF=BF−BC=16−CD，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF=8，∠F=90°，
在Rt△CFD中，由勾股定理得：DF2+CF2=CD2，
即82+(16−CD)2=CD2，
解得：CD=10，
∴BC=CD=10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD=BC⋅AE=10×8=80． 
【解析】(1)先证四边形AEFD是平行四边形，再证∠AEF=90°，然后由矩形的判定即可得出结论；
(2)由矩形的性质得AE=DF=8，∠F=90°，然后在Rt△CFD中，由勾股定理得82+(16−CD)2=CD2，求出CD=10，即可解决问题．
本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．

22.【答案】解：(1)对于直线l2的解析式为y=−12x+3，令x=0，得到y=3，
∴B(0,3)，
令y=0，得到x=6，
∴A(6,0)．
∴点A是坐标为(6,0)，点B的坐标为(0,3)；

(2)联立y=x，y=−12x+3并解得：x=2，
∴点C(2,2)，
∴S△COB=12OB⋅xC=12×3×2=3；

(3)存在．
∵点C(2,2)，
∴OC= 22+22=2 2，∠AOC=45°，
设P(x,0)，
①当PC=OC=2 2时，如图，

∵点C(2,2)，
∴PC2=22+(x−2)2，
∴(2 2)2=22+(x−2)2，
∴x=0或4，
∵x=0时，与点O重合，故舍去，
∴点P(4,0)；
②当CP=OP时，如图，

∵CP=OP，∠AOC=45°，
∴∠OCP=45°，
∴∠OPC=90°，
∴点C(2,2)，
∴OP=2，
∴点P(2,0)；
③当OC=OP=2 2时，如图，

点P(2 2,0)或(−2 2,0)，
综上所述：点P坐标为(4,0)或(2,0)或(2 2,0)或(−2 2,0)． 
【解析】(1)根据坐标轴点的特征求解即可．
(2)联立式y=x，y=−12x+3得点C(2,2)，根据三角形的面积公式即可求解．
(3)分PC=OC、CP=OP、OC=OP三种情况，分别利用等腰三角形的性质求解即可．
本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．

23.【答案】解：(1)∵|OA−15|+ OC−9=0，
∴OA=15，OC=9，
∴OA=BC=15，AB=OC=9，
∴B(15,9)；
(2)由折叠可知，BD=BC=15，∠BCO=∠BDN=90°，CN=DN，
设CN=m，则DN=m，ON=9−m，
在Rt△ABD中，∠BAO=90°，
由勾股定理可知，AD=12，
∴OD=3，
在Rt△ODN中，由勾股定理可知，(9−m)2+32=m2，
解得m=5，
∴ON=4，
∴N(0,4)，
设直线BN的解析式为：y=kx+b，
∴15k+b=9b=4，
∴k=13b=4，
∴直线BN的解析式为：y=13x+4．
(3)存在，理由如下：
由上可知，B(15,0)，N(0,4)，D(3,0)，
若以点B、N，D、P为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下三种情况：
①当BD为平行四边形的对角线时，xB+xD=xP+xN，yB+yD=yP+yN，
解得xP=18，yP=5，
∴P(18,5)．
②当ND为平行四边形的对角线时，xN+xD=xB+xP，yN+yD=yB+yP，
解得xP=−12，yP=−5，
∴P(−12,−5)．
③当BN为平行四边形的对角线时，xB+xN=xP+xD，yB+yN=yP+yD，
解得xP=12，yP=13，
∴P(12,13)．
综上，符合题意的点P的坐标为(18,5)或(−12,−5)或(12,13)． 
【解析】(1)由非负数的性质可求得OA、OC的长，则可求得B点坐标；
(2)由折叠可知，BD=BC=15，∠BCO=∠BDN=90°，CN=DN，由勾股定理可分别求得AD，DN和ON的长，可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；
(3)根据平行四边形的性质，可分类讨论：当BD是平行四边形的对角线时，当ND是平行四边形的对角线时，当BN是平行四边形的对角线时分别求解即可．
本题是一次函数综合题，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(3)中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果．