第6章数据的分析知识点梳理（湘教版七下）

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第六章 数据的分析
一、知识点讲解：

1.平均数：
（1）算术平均数：一组数据中，有n个数据，则它们的算术平均数为
.
（2）加权平均数：
若在一组数字中，出现次，出现次，…，出现次，那么

叫做、、…、的加权平均数。其中，、、…、分别是、、…、的权.

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。

2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
4.平均数中位数众数的区别与联系
相同点
平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。
不同点
它们之间的区别，主要表现在以下方面。
1）定义不同
平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
2）求法不同
平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。
中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。
众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。
3）个数不同
在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。
4）代表不同
平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。
众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。
这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。
5）特点不同
平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。
中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。
众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。
6）作用不同
平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。
中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反映的是数据的变化范围。
6.方差：设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，…，我们用它们的平均数，即用

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。　
当一组数据比较小时可以用公式计算。

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
标准差：方差的算术平方根，即



并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.
7.极差、方差和标准差的区别与联系：
联系：极差、方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。
区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。
标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。
8.数据的收集与整理的步骤：
1.收集数据    2.整理数据    3.描述数据   4.分析数据   5.撰写调查报告   6.交流 
9.平均数、方差的三个运算性质
如果一组数据x1，x2，x3，……，xn的平均数是，方差是s2。
那么（1）一组新数据x1+b，x2+b，x3+b，……，xn+b的平均数是+b，方差是s2。
（2） 一组新数据ax1，ax2，ax3，……，axn的平均数是a，方差是a2s2.
（3）一组新数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，……，axn+b的平均数是a+b，方差是a2s2.
二、典型例题：
1．5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：mm）：，，，，，则这组数据的极差为（ ）．
A．4 mm B．3 mm C．5 mm 　D．0 mm
2．小伟五次数学考试成绩分别为：86分，78分，80分，85分，92分，李老师想了解小伟数学学习变化情况，则李老师最关注小伟数学成绩的（　　）．
Ａ．平均数 Ｂ．众数 Ｃ．中位数 Ｄ．方差
3. 一组数据的方差一定是（ ）．
A．正数 B．任意实数 C．负数 D．非负数
包装机
甲
乙
丙
方差(克2)
1.70
2.29
7.22
4．金华火腿闻名遐迩.某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机，同时分装质量为500克的火腿心片.现从它们分装的火腿心片中各随机抽取10盒，经称量并计算得到质量的方差如表所示,你认为包装质量最稳定的切割包装机是（ ）.
A.甲 B.乙
C.丙 D.不能确定
5．某地统计部门公布最近5年国民消费指数增长率分别为8.5%，9.2%，9.9%，10.2%，3.8%，业内人士评论说：“这五年消费指数增长率之间相当平稳”，从统计角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的哪个数据比较小（ ）.
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
6．在一次射击测试中，甲、乙、丙、丁的平均环数均相同，而方差分别为8.7，6.5，9.1，7.7，则这四人中，射击成绩最稳定的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．一次数学测试后，随机抽取九年级二班5名学生的成绩如下：78，85，91，98，98．关于这组数据的错误说法是（　　）．
Ａ．极差是20 Ｂ．众数是98 Ｃ．中位数是91 Ｄ．平均数是91
8．若一组数据2，4，，6，8的平均数是6，则这组数据的方差是（ ）.
A． B．8 C． D．40
9．我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达8848m，在它周围2km的附近，耸立的几座著名山峰的高度如下表：
山峰名
珠穆
朗玛
洛子峰
卓穷峰
马卡
鲁峰
章子峰
努子峰
普莫
里峰
海拔高度
8848m
8516m
7589m
8463m
7543m
7855m
7145m
则这七座山峰海拔高度的极差为 m．
10．一组数据5，5，5，5，5的方差是 ．
11．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量．其平均数、方差计算结果如下：机床甲：10，=0.02；机床乙：10，= 0．0 6，由此可知：_________（“甲”或“乙”）机床性能好．
12．甲、乙两种产品进行对比实验，得知乙产品性能比甲产品性能更稳定，那么分析计算它们的方差，的大小关系是 ．
13．一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是 ．
14．已知数据a，b，c的方差是1，则4a，4b，4c的方差是 ．
15．甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中各抽取10袋，测得其实际质量分别如下表：（单位：克）
甲
203
204
202
196
199
201
205
197
202
199
乙
201
200
208
206
210
209
200
193
194
194
（1）分别计算出两个样本的平均数与方差；
（2）从计算结果看，哪台包装机的10袋糖果的平均质量更接近200g？哪台包装机包装的10袋糖果质量比较稳定？



16．李明、王林两人参加奥赛班集训的11次测验成绩如下表：（单位：分）

测 验 成 绩
李明
99
100
100
95
93
90
98
100
93
90
98
王林
98
99
96
94
95
92
92
98
96
99
97
（1）他们两人的平均成绩各是多少分？
（2）他们两人的极差和方差各是多少？
（3）现要从中选一人参加比赛，历届比赛的成绩表明，成绩在98分以上才能进入决赛，你认为应选谁参加这次比赛呢，为什么？
（4）试分析两位同学的成绩特点，并对他们以后的学习各提出一条建议．





17.某校为选拔参加2007年全国初中数学竞赛的选手，进行了集体培训．在集训期间进行了10次测试，假设其中两位同学的测试成绩如下表所示：

（1）根据图表中所示的信息填写下表：

（2）这两位同学的测试成绩各有什么特点（从不同的角度分别说出一条即可）?
（3）为了使参赛选手取得好成绩，应选谁参加比赛？为什么？