高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理一课一练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第六章　6.3　6.3.1

A组·素养自测
一、选择题
1.16的二项展开式中，第4项是(　C　)
A．Cx12 B．Cx10
C．－Cx10 D．Cx8
[解析]　展开式的通项为Tr＋1＝C·x16－r·r＝(－1)r·C·x16－2r，所以第4项为T4＝(－1)3×Cx10＝－Cx10.故选C．
2．二项式5的展开式中含x4项的系数为(　A　)
A．160 B．－160
C．80 D．－800
[解析]　5展开式的通项为Tk＋1＝Cx2(5－k)(－4)kx－k＝C(－4)kx10－3k，令10－3k＝4，得k＝2，
所以含x4项的系数为C(－4)2＝160.故选A．
3．(x＋2y－3z)5的展开式中所有不含y的项的系数之和为(　A　)
A．－32 B．－16
C．10 D．64
[解析]　(x＋2y－3z)5展开式的通项为Tr＋1＝C(x－3z)5－r(2y)r.
令r＝0，所有不含y的项为(x－3z)5展开式中的所有项．
令x＝z＝1，得所有不含y的项的系数之和为(－2)5＝－32.故选A．
4．(2022·河南名校高二联考)(1＋x)6展开式中，含x3项的系数为(　C　)
A．45 B．30
C．75 D．60
[解析]　(1＋x)6展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，则T3＝Cx2＝15x2，T5＝Cx4＝15x4，因此(1＋x)6展开式中含x3项的系数是2×15＋3×15＝75.故选C．
5．(多选)若二项式6展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为(　AB　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[解析]　二项式6展开式的通项Tr＋1＝C·x6－rr＝Cx6－rmr.
令6－r＝0，得r＝4，常数项Cm4＝15，则m4＝1，得m＝±1.故选AB．
二、填空题
6．6的展开式中常数项是_240__.(用数字作答)
[解析]　6展开式的通项Tr＋1＝Cx2(6－r)x－r·2r＝2r·Cx12－3r.令12－3r＝0，得r＝4.故展开式中的常数项为C·24＝240.
7．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为_5__.
[解析]　由二项式的通项公式得Tr＋1＝C3n－rxn－r，若展开式中含有常数项，则n－r＝0，即n＝r，所以n最小值为5.
8．(2022·河北衡水)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝_24__.
[解析]　由(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4知，其展开式通项为Tk＋1＝C·24－k·(x－1)4－k，所以a2为当k＝2时项的系数．又T2＋1＝C·22·(x－1)2＝24(x－1)2，所以a2＝24.
三、解答题
9．(1)求(2x＋y)4的展开式；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解析]　(1)原式＝C(2x)4y0＋C(2x)3y1＋C(2x)2y2＋C(2x)1y3＋C(2x)0y4＝16x4＋32x3y＋24x2y2＋8xy3＋y4.
(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
10．(1)求9192被100除所得的余数；
(2)用二项式定理证明：1110－1能被100整除．
[解析]　(1)9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，又余数为正，∴可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，∴9192被100除所得的余数为81.
(2)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1
＝(1010＋C·109＋C·108＋…＋C·10＋1)－1
＝1010＋C·109＋C·108＋…＋102
＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)，
∴1110－1能被100整除．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　D　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
[解析]　(1＋x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，令r＝1，2得，T2＝Cx，T3＝Cx2，因此题中表达式的展开式中含x2的项的系数为C＋aC＝5，解之得a＝－1.
2．(多选)对于6的展开式，下列说法正确的有(　BC　)
A．有理项有3项
B．第4项的系数为－160
C．常数项为－160
D．各项系数之和为36
[解析]　∵Tr＋1＝C·26－r·(－1)r·x3－r
∴展开式共有7项全部为有理项，A错误；第4项的系数为－C·8＝－160，B正确；令3－r＝0，得r＝3.∴常数项为－160，C正确；令x＝1，得各项系数和为1，D错误．故选BC．
注：排除A选项后，再排除D选项，可得B、C正确．
3．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝(　B　)
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析]　二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C1n－r·(3x)r＝C·3r·xr.依题意得
C·35＝C·36，
即
＝3×(n≥6)，
得n＝7.
4．(2022·昆明高二检测)4的展开式中，常数项为(　D　)
A．1 B．3
C．4 D．13
[解析]　由于4表示4个因式的乘积，
故展开式中的常数项可能有以下几种情况：①所有的因式都取1；②有2个因式取，一个因式取1，一个因式取；
故展开式中的常数项为1＋C×C＝13.
二、填空题
5．8的展开式中的常数项是_7__.
[解析]　8的展开式的通项为Tk＋1＝C8－k·k＝(－1)k·8－k·Cx8－k－k＝(－1)k8－k·Cx8－k(0≤k≤8，k∈N)．
令8－k＝0，得k＝6，故常数项为T7＝(－1)6×8－6×C＝7，
所以8的展开式中的常数项为7.
6．若7的展开式中，x3的系数是42，则m的值为_±__.
[解析]　7的展开式的通项为Tk＋1＝Cx7－k(－m)kk＝C(－m)kx7－2k(0≤k≤7，k∈N)，
当7－2k＝3时，解得k＝2，
所以x3的系数为C(－m)2.
因为x3的系数为42，
所以C(－m)2＝42，解得m＝±.
7．(－)9的展开式中，含x的有理项共有_2__项．
[解析]　(－)9的展开式的通项为Tk＋1＝C()9－k·(－1)k()k＝(－1)kCx(0≤k≤9，k∈N)，
要求含x的有理项，只需使∈Z，即4＋∈Z，所以k＝3或9.
当k＝3时，＝4，T4＝(－1)3×Cx4＝－84x4；
当k＝9时，＝3，T10＝(－1)9×Cx3＝－x3.
故(－)9的展开式中含x的有理项共有2项．
三、解答题
8．在二项式n的展开式中，第1项和第3项的系数和等于第2项系数绝对值的2倍．
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中系数最大的项．
[解析]　(1)C＋C＝2·C，∴n2－9n＋8＝0，
∵n≥2，∴n＝8.
(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T5＝C()4·4＝.
(3)研究系数绝对值即可，
解得2≤r≤3，
∵r∈N，∴r＝2或3.
∵r＝3时，系数为负．
∴系数最大的项为T3＝7x.
9．已知n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
[解析]　依题意，前三项系数的绝对值分别是1，C×，C×2，且2C×＝1＋C×2，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1舍去)．
Tr＋1＝C·()8－r·r＝r·C·x·x－＝(－1)r··x.
(1)证明：若Tr＋1为常数项，则＝0，即3r＝16.
∵r∈N，∴展开式中没有常数项．
(2)解：若Tr＋1为有理项，则为整数．
∵0≤r≤8，r∈N，∴对r的值从0到8逐一试算，得r＝0或4或8，即展开式中的有理项共有三项，分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.