2023年湖南省邵阳市隆回县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省邵阳市隆回县中考数学二模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省邵阳市隆回县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中小于0的数是(    )
A. 0.1 B. |−2| C. − 5 D. 3
2. 如图，直线a//b，c是截线，∠1的度数是(    )
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 125°
3. 下列图形中一定是轴对称图形的是(    )
A. 梯形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 平行四边形
4. 隆回县将大力实施“三高四新”战略，加快建设“三宜三融三区”现代化新隆回；到2026年，全县地区生产总值将突破400亿元，400亿用科学记数法可以表示为(    )
A. 0.4×1011 B. 4×1011 C. 40×109 D. 4×1010
5. 下列计算正确的是(    )
A. x0=1 B. (x+y)2=x2+y2
C. x6÷x2=x4 D. x2⋅x3=x6
6. 在△ABC中，已知∠A=55°，∠B=35°，则这个三角形是(    )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
7. 一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是(    )
A. 8，6 B. 7，6 C. 7，8 D. 8，7
8. 若mn=ab，则下列比例式中不正确的是(    )
A. am=nb B. an=mb C. ma=nb D. ma=bn
9. 下列说法正确的是(    )
A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 直径所对的圆周角是直角
C. 内错角相等 D. 相等的角是对顶角
10. 若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax−b与反比例函数y=cx在同一坐标系内的大致图象为(    )
A.
B.
C.
D.


二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 分解因式：ax2−ay2=          ．
12. 式子 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是          ．
13. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是____．
14. 已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=5和BD=8，那么菱形ABCD的面积为______ ．
15. 如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=60°，那么圆周角∠C= ______ ．


16. 如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，AD=2，BD=4，DE=3，则BC= ______ ．


17. 已知 x+1+(y−4)2=0，那么xy= ______ ．
18. 观察下列数据：−2,52,−103,174,−265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第25个数据是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：(−12)−2+|2− 3|+4cos30°−( 5−1)0+tan45°．
20. (本小题8.0分)
先化简a+2a2−4−2a+4a2−4a+4÷a2+2aa−2，再在2、−2、0、− 5中选择一个合适的a的值代入求值．
21. (本小题8.0分)
如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．
(1)求证：∠1=∠CAD；
(2)若AE=EC=2，求CD的长和⊙O的半径．

22. (本小题8.0分)
某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共800件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用420元购买甲种物品的件数恰好与用360元购买乙种物品的件数相同．
(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
(2)经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这800件物品，需筹集资金多少元？
23. (本小题8.0分)
某校为了解九年级男生“坐位体前屈”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试(满分15分，成绩均记为整数分)，并按测试成绩(单位：分)分成四类：A类(12≤m≤15)，B类(9≤m≤11)，C类(6≤m≤8)，D类(m≤5)绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：

(1)请求出本次一共抽取了多少学生，并补全条形统计图．
(2)请求出C类和D类所占的百分比.并求扇形统计图中C类所对的圆心角的度数．
(3)若该校九年级男生有600名，估计该校九年级男生“坐位体前屈”项目成绩为D类的有多少名？
24. (本小题8.0分)
如图，大海中某灯塔P周围18海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行16海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向.如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由.(参考数据： 3≈1.73)

25. (本小题8.0分)
已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．
(1)如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
(2)若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=m，BP=n，当EP平分∠AEC时，求m：n的值．


26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A(−1,1)，B(2,2).过点B作BC//x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．
(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；
(2)若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为72，求出点M的坐标；
(3)连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：∵0.1>0,|−2|=2>0,− 5<0, 3>0，
∴小于0的数是：− 5；
故选：C．
根据负数小于0，即可得出结果．
本题考查实数比较大小．熟练掌握负数小于0，是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：∵a//b，
∴∠1=55°．
故选：C．
根据两直线平行，内错角相等，即可得出结论．
本题考查平行线的性质．熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：A、不一定是，故错误；
B、不一定是，故错误；
C、是轴对称图形，对称轴是等腰三角形的底边所在的直线，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：C．
如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，依据定义即可作出判断．
本题主要考查了轴对称图形的定义，确定轴对称图形的关键的正确确定图形的对称轴．

4.【答案】D 
【解析】解：400亿=40000000000=4×1010；
故选：D．
根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：a×10n，1≤|a|<10，n为整数是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：A.x0=1，x=0时，无意义，故此项不符合题意；
B.(x+y)2=x2+2xy+y2，故此项不符合题意；
C.x6÷x2=x6−2=x4，故此项符合题意；
D.x2⋅x3=x2+3=x5，故此项不符合题意．
故选：C．
根据公式：a0=1(a≠0)、(x±y)2=x2±2xy+y2，am÷an=am−n，am⋅an=am+n，进行逐一计算判断即可．
本题考查了零指数幂、同底数幂的乘、除法公式，完全平方公式，掌握公式是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：∵∠A=55°，∠B=35°，
∴180°−35°−55°=90°，
所以三角形是一个直角三角形．
故选：B．
三角形的内角和是180度，利用180度减去已知的两个角的度数即可求出第三个角的度数，即可判断三角形的种类．
本题考查了直角三角形的特征及三角形内角和的应用．

7.【答案】D 
【解析】解：把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8，
8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；
最中间的数是7，
则这组数据的中位数是7．
故选D．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

8.【答案】C 
【解析】解：A、由am=nb得，mn=ab，故本选项错误；
B、由an=mb得，mn=ab，故本选项错误；
C、由ma=nb得，mb=an，故本选项正确；
D、由ma=bn得，mn=ab，故本选项错误．
故选：C．
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，需熟记．

9.【答案】B 
【解析】解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意；
B、直径所对的圆周角是直角，说法正确，符合题意；
C、两直线平行，内错角才相等，故原说法错误，不符合题意；
D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如：同角的余角相等，故原说法错误，不符合题意．
故选：B．
根据圆周角定理，内错角和对顶角的定义，进行判断即可．
本题考查圆周角定理，内错角和对顶角．熟练掌握相关知识点是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∴−b<0
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴直线y=ax−b经过第一，三，四象限，反比例函数y=cx图象分布在第二、四象限，
故选：D．
由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．

11.【答案】a(x+y)(x−y) 
【解析】
【分析】
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：ax2−ay2
=a(x2−y2)
=a(x+y)(x−y)．
故答案为：a(x+y)(x−y)．  
12.【答案】x≥3 
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：x−3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．  
13.【答案】6 
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】
解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6．
答：这个多边形的边数是6．
故答案为：6．  
14.【答案】20 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴S=12AC⋅BD=12×5×8=20．
故答案为：20．
直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积公式是解题的关键．

15.【答案】30° 
【解析】解：∵圆心角∠AOB=60°，
∴∠C=12∠AOB=12×60°=30°．
故答案为：30°．
根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解．
本题考查的是了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

16.【答案】9 
【解析】解：∵AD=2，BD=4，
∴AB=AD+BD=2+4=6，
∴AD：AB=1：3，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，
∵DE=3，
∴BC=9，
故答案为：9．
由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，可得DEBC=ADAB=13，由此即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．

17.【答案】1 
【解析】解： x+1+(y−4)2=0，
∴x+1=0，y−4=0，
解得：x=−1，y=4，
故xy=(−1)4=1．
故答案为：1．
直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出x，y的值进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．

18.【答案】−62625 
【解析】解：由规律可知，第25个数是负数，分母为25，分子为252+1，
所以第25个数为−252+125=−62625，
故答案为：−62625．
将数据改写为：−12+11，22+12，−32+13，42+14，−52+15，……看出规律：第奇数个数是负数，偶数个数是正数，第几个数分母就是几，分子是分母的平方加1，由规律可写出第25个数．
本题考查数字规律问题，将原数据进行改写，找出符号和数字的规律是关键．

19.【答案】解：(−12)−2+|2− 3|+4cos30°−( 5−1)0+tan45°
=(−2)2+(2− 3)+4× 32−1+1
=4+2− 3+2 3
=6+ 3． 
【解析】原式分别根据负整数指数幂，零指数幂、绝对值的代数意义以及特殊角三角函数值代简各项后再进行加减即可．
本题主要考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，绝对值以及特殊角三角函数值，正确掌握相关知识是解答本题的关键．

20.【答案】解：a+2a2−4−2a+4a2−4a+4÷a2+2aa−2
=a+2(a+2)(a−2)−2(a+2)(a−2)2⋅a−2a(a+2)
=1a−2−2a(a−2)
=a−2a(a−2)
=1a，
要使分式有意义，必须a2−4≠0且a≠0，
所以a不能为2，−2，0，
取a=− 5，
当a=− 5时，原式=1− 5=− 55． 
【解析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的减法法则进行计算，根据分式有意义的条件求出a不能为2，−2，0，取a=− 5，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

21.【答案】解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAD+∠CAD=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠1=∠BDO，
∴∠1=∠CAD．
(2)∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CAD∽△CDE，
∴CDCA=CECD，
∴CD2=CA⋅CE，
∵AE=EC=2，
∴AC=AE+EC=4，
∴CD=2 2，
设⊙O的半径为x，
则OA=OD=x，
在Rt△AOC中，OA2+AC2=OC2，
∴x2+42=(2 2+x)2，
解得x= 2，
∴⊙O的半径为 2． 
【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，推得∠ADO+∠BDO=90°，根据切线的性质可得OA⊥AC，推得∠OAD+∠CAD=90°，根据等边对等角可得∠OAD=∠ODA，即可求得；
(2)根据相似三角形的判定和性质可得CD2=CA⋅CE，根据AE=EC=2，AC=4，即可求得CD=2 2，设⊙O的半径为x，根据勾股定理可得OA2+AC2=OC2，即可求得．
本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设每件乙种物品价格是x元，则每件甲种物品价格(x+10)元．
根据题意得，420x+10=360x，
解得：x=60．
经检验，x=60是原方程的解，也符合题意，
所以x+10=60+10=70(元)，
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；
(2)设甲种物品件数为y件，则乙种物品件数为3y件，
根据题意得，y+3y=800，
解得y=200，
即甲种物品件数为200件，则乙种物品件数为600件，此时需筹集资金：
70×200+60×600=50000(元)．
答：需筹集资金50000元． 
【解析】(1)设每件乙种物品价格是x元，则每件甲种物品价格(x+10)元，根据用420元购买甲种物品的件数恰好与用360元购买乙种物品的件数相同，列出方程进行求解即可；
(2)甲种物品件数为y件，根据题意，列出一元一次方程，进行求解即可．
本题考查分式方程和一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．

23.【答案】解：(1)由题意可得，
抽取的学生数为：10÷20%=50(人)，
C类的人数为：50−(10+22+3)=15(人)
补全的统计图如下图所示，

(2)C类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%=30%，

D类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%=6%，
扇形统计图中C类所对的圆心角是：360°×30%=108°，
(3)估计该校九年级男生“坐位体前屈”项目成绩为D类的有600×350=360(名)． 
【解析】(1)A类的有10人，占调查人数的20%，可求出调查人数，用总人数减去其它类别的人数，求出C类的人数，从而补全条形统计图；
(2)分别求出C、D两类所占的百分比，进而求出D类所对应的圆心角的度数；
(3)用九年级男生的总人数乘以D类所占的百分比即可．
此题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量之间的关系是正确解答的关键．

24.【答案】解：没有触礁的危险．理由如下：
作PC⊥AB于C，如图：

由题可知：∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=16，
设PC=x海里，在Rt△PBC中，
∵∠PBC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴BC=PC=x海里，
在Rt△PAC中，
∵tan∠PAC=PCPA，
∴AC=PCtan∠PAC，即16+x=x 33，
解得：x=8( 3+1)≈21.84，
故PC≈21.84，
∵21.84>18，
∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险． 
【解析】作PC⊥AB于C，设PC=x，根据等腰直角三角形的判定和性质可得BC=PC，根据正切的定义可得AC=PCtan∠PAC，求解即可得到PC的值，即可判断．
本题考查了解直角三角形—方位角，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB=BC，BP=BF，
∴AP=CF，
在△APE和△CFE中，
AP=CF∠P=∠FPE=EF，
∴△APE≌△CFE(SAS)，
∴EA=EC；
(2)①△ACE是直角三角形，
理由：
∵P为AB的中点，
∴PA=PB，
又∵PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，
又∵∠DAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a−b，BG=a−(2a−2b)=2b−a，
∵PE//CF，
∴PEBC=PGGB，即nm=m−n2n−m，
解得，m= 2n；
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG= 22AG= 22×(2 2n−2n)=(2− 2)n，又BG=2n−m=(2− 2)n，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE//CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．
∴m：n= 2：1． 
【解析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△APE≌△CFE，根据全等三角形的性质证明结论；
(2)①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答；
②根据PE//CF，得到PEBC=PGGB，代入m、n的值计算求出m：n．
本题考查的是正方形的性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握相关的性质定理和判定定理、正确作出辅助线是解题的关键．

26.【答案】解：(1)把A(−1,1)，B(2,2)代入y=ax2+bx得：1=a−b2=4a+2b，解得a=23b=−13,
故抛物线的函数表达式为y=23x2−13x，
∵BC//x轴，
设C(x0,2)．
∴23x02−13x0=2，解得：x0=−32或x0=2，
∵x0<0，
∴C(−32,2)；

(2)设△BCM边BC上的高为h，
∵BC=72，
∴S△BCM=12×72⋅h=72，
∴h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，
∴M的纵坐标为0或4，令y=23x2−13x=0，
解得：x1=0，x2=12，
∴M1(0,0)，M2(12,0)，令y=23x2−13x=4，
解得：x3=1+ 974，x4=1− 974
，∴M3(1+ 974,4)，M4(1− 974,4)，
综上所述：M点的坐标为：(0,0)，(12,0)，(1+ 974,4)，(1− 974,4)；

(3)∵A(−1,1)，B(2,2)，C(−32,2)，D(0,2)，
∴OB=2 2，OA= 2，OC=52，
∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=34，
①如图1，

当△AOC∽△BON时，AOBO=OCON，∠AOC=∠BON，
∴ON=2OC=5，
过N作NE⊥x轴于E，
∵∠COD=45°−∠AOC=45°−∠BON=∠NOE，
在Rt△NOE中，tan∠NOE=tan∠COD=34，
∴OE=4，NE=3，
∴N(4,3)同理可得N(3,4)；
②如图2，

当△AOC∽△OBN时，AOOB=OCBN，∠AOC=∠OBN，
∴BN=2OC=5，
过B作BF⊥x轴，过N作x轴的平行线交BF于F，
∴NF⊥BF，
∵∠COD=45°−∠AOC=45°−∠OBN=∠NBF，
∴tan∠NBF=tan∠COD=34，
∴BF=4，NF=3，
∴N(−1,−2)，同理N(−2,−1)，
综上所述：使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标是(4,3)，(3,4)，(−1,−2)，(−2,−1)． 
【解析】(1)把A(−1,1)，B(2,2)代入y=ax2+bx求得抛物线的函数表达式为y=23x2−13x，由于BC//x轴，设C(x0,2).于是得到方程23x02−13x0=2，即可得到结论；
(2)设△BCM边BC上的高为h，根据已知条件得到h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，于是得到M的纵坐标为0或4，令y=23x2−13x=0，或令y=23x2−13x=4，解方程即可得到结论；
(3)解直角三角形得到OB=2 2，OA= 2，OC=52，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=34①如图1，当△AOC∽△BON时，求得ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，根据三角函数的定义得到OE=4，NE=3，于是得到结果；②如图2，根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5，过B作BF⊥x轴，过N作x轴的平行线交BF于F，解直角三角形得到BF=4，NF=3于是得到结论．
本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．