数学九年级上册21.2.1 配方法教学课件ppt

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21.2.1 配方法
第二十一章 一元二次方程
第2课时 配方法
人教版九年级数学上册
学习目标
1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）
完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2
回顾旧知
问题.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+ = ( x + )2
（2）x2-6x+ = ( x- )2
（3）x2+8x+ = ( x+ )2
（4）
x2- x+ = ( x- )2
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
想一想：x2+px+( )2=(x+ )2
★配方的方法
合作探究
怎样解方程: x2+6x+4=0 (1)
问题 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
用配方法解方程
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
★方程配方的方法
像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
★配方法的定义
★配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
★配方法解方程的基本步骤
例1：解下列方程：
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
即
方程的二次项系数不是1时，为便于配方，可以将方程各项的系数除以二次项系数．
练一练：用配方法解下列方程. （1）x2+10x+9=0；
解：移项, x2+10x=-9 配方, x2+10x+25=16 (x+5) 2=16 x+5=±4方程的两个根为 x1=-1，x2=-9
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
即
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
①当p>0时,则 ,方程的两个根为②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
规律总结
例2：试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－6k＋12 的值必定大于零.
解：k2－6k＋12=k2－6k＋9＋3
=（k－3）2＋3
因为（k－3）2≥0，所以（k－2）2＋3≥3.
所以k2－6k＋12的值必定大于零.
例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
练一练：当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17 ∵(a+1)2≥0, ∴当a=-1时，原式有最小值为17.
归纳总结
★配方法的应用
1.求最值或证明代数式的值为恒正（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
例4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？ 
解：设道路的宽为xm, 根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=1,x2=60（不合题意，舍去） .
答：道路的宽为1m.
1.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的是(　　)A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝52.用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是(　　)A．(x＋4)2＝－9 B． (x＋4)2＝－7C．(x＋4)2＝25 D． (x＋4)2＝7
A
D
3.解下列方程：
（1）4x2-6x-3=0； （2） 3x2+6x-9=0.
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3, x2=1.
4.应用配方法求最值.(1) 2x2 - 4x+5的最小值；(2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 所以当x =1时，有最小值，为3. （2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 所以当x =2时,有最大值，为-4.
5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步骤
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
侵权必究