2023年江苏省泰州市兴化市中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省泰州市兴化市中考数学三模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省泰州市兴化市中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下各数是有理数的是(    )
A. 2 B. 5 C. 27 D. π
2. 在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是(    )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是(    )
A. 3a−2a=1 B. a3⋅a5=a8 C. a8÷2a2=2a4 D. (3ab)2=6a2b2
4. 下列说法正确的是(    )
A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题
5. 费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面的数据是部分获奖者获奖时的年龄(单位：岁)：29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是(    )
A. 35，35 B. 34，33 C. 34，35 D. 35，34
6. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，连接BD，分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交线段AB，BD于点G，H.连接CH，则四边形BCHG的周长为(    )
A. 212
B. 11
C. 2310
D. 232
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 若分式xx+1有意义，x的取值范围是______ ．
8. 近年来，我国研发的北斗芯片实现了22纳米制程的突破，22纳米等于0.000000022米.用科学记数法表示0.000000022是______ ．
9. 因式分解：ab2−4ab+4a=             ．
10. 不等式组x−1≥02x−3 11. 已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为______．
12. 将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点.则∠FEG= ______ ．

13. 设m、n是方程x2−x−2023=0的两个实数根，则m2−2m−n= ______ ．
14. 以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表
摄氏温度值/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值/°F
32
50
68
86
104
122
根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是______ ．
15. 如图，已知扇形AOB，∠AOB=120°，半径OA=4，点E在弧AB上一动点(E与A、B不重合)，过点E作EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连接CD，则△CDE面积的最大值为______ ．


16. 已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=1，含30°角的Rt△DEF三个顶点分在Rt△ABC的三边上，且直角顶点D在斜边AC上，则CD的长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算： 8−4cos45°+(−12)−2−|3−π|0；
(2)解方程组3x−2y=−10x+y=10．
18. (本小题8.0分)
冬季来临，某商场预购进一批毛衣．用9600元先购进一批毛衣，面市后因供不应求，商场决定又用16800元再次购进这批毛衣，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价便宜了10元．该商场第一次购进这批毛衣的数量是多少？
19. (本小题8.0分)
为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A、B、C三类分别装袋投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲、乙各投放了一袋垃圾．
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
(2)求甲乙投放的垃圾恰好是同类垃圾的概率(要求画出树状图)．
20. (本小题8.0分)
初三年级261位学生参加100米跑和推铅球两项体育测试，某班35位学生的100米跑成绩、推铅球成绩与两项总成绩在全年级中的排名情况如图1和图2所示，甲，乙，丙为该班三位学生．

从这次体育测试成绩看：
(1)在甲、乙两人中；总成绩名次靠前的学生是______ ．
(2)在100米跑和推铅球两个项目中：丙同学的成绩名次更靠前的项目是______ ，你选择的理由是什么？
21. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF．
(1)求证：△AEC≌△AEF．
(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．

22. (本小题10.0分)
如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A、C之间的距离).经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化(包含20°和160°)，AD=40cm．
(1)当∠ADC=120°时，求此时BD的长；
(2)当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm？(sin80°=0.98,cos80°=0.17,tan80°=5.67 )

23. (本小题10.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为BC的中点，连接AD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)延长ED交AB的延长线于点F，若BF=2，DF=4，求⊙O的半径和DE的长．

24. (本小题10.0分)
已知一次函数y1=3x−3的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A(a,3)，B(−1,b)．
(1)求a，b的值和反比例函数的表达式；
(2)点P(h,y1)，Q(h,y2)分别在该一次函数和反比例函数图象上.请在坐标系中画出y1和y2的图象，并根据图象直接写出，当y1>y2时h的取值范围；
(3)若点C在函数y1的图象上，横坐标为n，点C先向右平移1个单位，再向下移1个单位，得点D，点D恰好落在函数y2的图象上，求n的值．

25. (本小题12.0分)
(1)【尝试与感悟】如图1，在▱ABCD中，用圆规和无刻度的直尺在AD上求作一点E，使得点E为AD的中点；

(2)如图2，在▱ABCD中，E为AD的中点，连接EC，点D与点D′关于EC对称，连接AD′并延长交BC于点G，请判断BG与ED的数量关系，并加以证明．
(3)【迁移与应用】如图3，在菱形ABCD中，∠B=60°，点M为边AB上一动点(M与A、B不重合)，连接MC，将△BMC沿着MC所在的直线翻折，得到△B′MC；
①已知AB=4，若B′C⊥AB，求△B′MC与菱形ABCD重合部分的面积；
②设∠BCM=α，MB′与AD的交点为H，当点H在以点C为圆心，MC为半径的圆上，求α的值．
26. (本小题14.0分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2，若点P1(2,−1)，P2(−2,1)，P3(4,4)中恰有两点在抛物线上．
(1)求该抛物线相应的函数表达式．
(2)已知点A(0,1)，点B(m,0)为x轴上一动点，连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AC，连接BC，记点C到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．
①当m=− 3时，求出点C的坐标；
②当d1=d2时，求点C的坐标；
③将抛物线y=ax2沿着y轴向上平移c个单位得到y=ax2+c，过点C作x轴的垂线与抛物线y=ax2+c交于点D，若点D始终在点C的上方，求c的取值范围．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解： 2、 5、π不是整数也不是分数，不是有理数，27是分数，是有理数，
故选：C．
根据整数和分数统称为有理数判断即可．
本题考查了有理数的概念，解题关键是明确整数和分数统称为有理数．

2.【答案】C 
【解析】解：A.俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B.俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；
C.俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
D.俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：C．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

3.【答案】B 
【解析】解：3a−2a=a，故选项A错误，不符合题意；
a3⋅a5=a8，故选项B正确，符合题意；
a8÷2a2=12a6，故选项C错误，不符合题意；
(3ab)2=9a2b2，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
计算出各个选项中的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．
【解答】
解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意，
故选：A．  
5.【答案】D 
【解析】
【分析】
根据众数和中位数的定义即可得正确选项．
【解答】
解：∵35出现的次数最多，
∴这组数据的众数是35，
将这组数据按从小到大排列，排在中间的两个数分别为33，35，故这组数据的中位数为33+352=34．
故选：D．
【点评】
本题主要考查众数和中位数，掌握求众数和中位数的方法是解题关键．  
6.【答案】A 
【解析】解：由作法得：EF垂直平分BD，
则：BH=DH，HG⊥BD，
在矩形ABCD中，∠A=90°，CH=12BD，
∵AB=4，AD=3，
∴BD=5，
∴BH=2.5，
∵∠A=∠BHG，∠ABD=∠ABD，
∴△BGH～△BDA，
∴BHAB=HGAD=BGBD，即：2.54=GH3=BG5，
解得：GH=1.875，BG=3.125，
所以四边形BCHG的周长为：3.125+1.875+2.5+3=105，
故选：A．
根据三角形相似的性质求出GH，BG的长，再求四边形的周长．
本题考查了复杂作图，掌握相似三角形的性质是解题的关键．

7.【答案】x≠−1 
【解析】解：根据题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1，
故答案为：x≠−1．
根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x+1≠0，解得x的范围．
本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握要使得分式有意义，必须满足分母不等于0．

8.【答案】2.2×10−8 
【解析】解：0.000000022=2.2×10−8，
故答案为：2.2×10−8．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题关键在于找准小数点的位置．

9.【答案】a(b−2)2 
【解析】解：ab2−4ab+4a
=a(b2−4b+4)
=a(b−2)2，
故答案为：a(b−2)2．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

10.【答案】1≤x<3 
【解析】解：由x−1≥0得：x≥1，
由2x−3 则不等式组的解集为1≤x<3，
故答案为：1≤x<3．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

11.【答案】4π 
【解析】解：设扇形的弧长为l，由扇形面积公式可得，
12l×6=12π，
解得l=4π，
故答案为：4π．
根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．

12.【答案】30° 
【解析】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE=∠BEF=(8−2)×180°8=135°，
∴∠EBC=180°−∠ABE=180°−135°=45°，
∵∠DCE=∠CEG=(6−2)×180°6=120°，
∴∠BCE=180°−∠DCE=60°，
由三角形的内角和得：
∠BEC=180°−∠EBC−∠BCE=180°−45°−60°=75°，
∴∠FEG=360°−∠BEF−∠CEG−∠BEC
=360°−135°−120°−75°
=30°．
故答案为：30°．
根据多边形的内角和，分别得出∠ABE=∠BEF=135°，∠DCE=∠CEG=120°，再根据三角形的内角和算出∠BEC，得出∠FEG=360°−∠BEF−∠CEG−∠BEC即可．
本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．

13.【答案】2022 
【解析】解：∵m、n是方程x2−x−2023=0的两个实数根，
∴m2−m−2023=0，m+n=1，
∴m2−m=2023，
∴m2−2m−n=m2−m−m−n=2023−1=2022．
故答案为：2022．
由于m、n是方程x2−x−2023=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=1，并且m2−m−2023=0，然后把m2−2m−n可以变为m2−m−m−n，把前面的值代入即可求出结果．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

14.【答案】−40 
【解析】解：通过表格中数据可知华氏温度为y(℉)与摄氏温度为x(℃)之间满足一次函数关系，
设华氏温度为y(℉)与摄氏温度为x(℃)之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，
得b=3210k+b=50，
解得k=1.8b=32
即y=1.8x+32，
当y=x时，x=1.8x+32，
解得：x=−40．
因此当华氏−40度时，摄氏也是−40度．
故答案为：−40．
设摄氏温度为x(℃)与华氏温度为y(℉)之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解析式，当y=x时，代入解析式求出x的值就可以得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

15.【答案】3 3 
【解析】解：连接OE，取OE中点K，连接CK、DK，作EL⊥CD，KM⊥CD，垂足分别为L、M，
∵EC⊥OA，ED⊥OB，∠AOB=120°
∴KC=KD=KE=2，∠CED=60°，
∴∠KCE=∠KEC，∠KDE=∠KED，
∠CKD=∠CKO+∠OKD=2∠KEC+2∠KED=120°，
∴∠KDC=30°，
∴KM=12KD=1，
∴DM= DK2−KM2= 3，CD=2 3，
如图所示，EK+KM≥EL，当点L与M重合时，EL=EK+KM=3最大，此时三角形面积最大；最大面积为12×3×2 3=3 3．
故答案为：3 3．
连接OE，取OE中点K，连接CK、DK，作EL⊥CD，KM⊥CD，垂足分别为L、M，当点L与M重合时，EL=EK+KM=3最大，求出此时的面积即可．
本题考查了扇形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，解题关键是确定CD=2 3，当高最大时面积最大，利用勾股定理求解即可．

16.【答案】12或1 
【解析】解：如图，当∠EFD=30°时，以EF为直径作圆，则B、E、D、F四点共圆，连接BD，

则∠EBD=∠EFD=30°，
又∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，
∴∠BDC=90°，
∴DC=12BC=12，

如图，当∠FED=30°时，以EF为直径作圆，则B、E、D、F四点共圆，连接BD，
则∠EFD=60°

∴∠EBD=∠EFD=60°，
又∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴DC=BC=1，
故答案为：12或1．
分∠EFD=30°和∠FED=30°两种情况分类讨论，以EF为直径作圆，则B、E、D、F四点共圆，连接BD，则∠BDC为直角三角形或等边三角形解题即可．
本题考查同弧所对的圆周角相等，30°角的直角三角形的性质，等边三角形判定和性质，掌握四点共圆是解题的关键．

17.【答案】解：(1) 8−4cos45°+(−12)−2−|3−π|0
=2 2−4× 22+4−1
=2 2−2 2+4−1
=3；
(2)3x−2y=−10①x+y=10②，
①+②×2，得5x=10，
解得：x=2，
把x=2代入②，得2+y=10，
解得：y=8，
所以方程组的解是x=2y=8． 
【解析】(1)先根据算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
(2)①+②×2得出5x=10，求出x，再把x=2代入②求出y即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，解二元一次方程组等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解(2)的关键．

18.【答案】解：设该商场第一次购进这批毛衣的数量是x件，则第二次购进这批毛衣的数量是2x件，
依题意得：9600x−168002x=10，
解得：x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．
答：该商场第一次购进这批毛衣的数量是120件． 
【解析】设该商场第一次购进这批毛衣的数量是x件，则第二次购进这批毛衣的数量是2x件，利用单价=总价÷数量，结合第二批购进的单价比第一批便宜了10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

19.【答案】解：(1)∵垃圾要按A，B，C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类的概率为：13；
(2)如图所示：

由图可知，共有9种可能结果，其中甲投放的垃圾与乙投放的垃圾是同一类的结果有3种，
所以甲投放的垃圾与乙投放的垃圾是同一类的概率为39=13． 
【解析】(1)直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
(2)首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用树状图列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．

20.【答案】甲  推铅球 
【解析】解：(1)通过图象可知：甲的离纵轴更近，在甲、乙两人中，总成绩名次靠前的学生是甲，
故答案为：甲，
(2)丙同学的成绩名次更靠前的项目是推铅球，
过图2中代表丙的点作水平线，可知在图1中在丙之后的人数明显少于图2中在丙之后的人数，故丙同学的推铅球成绩更靠前．
故答案为：推铅球．

(1)图1中，甲、乙的点分布甲的离纵轴更近，因此总成绩的排名甲在前面，
(2)过图2中代表丙的点作水平线，在图1在丙之后的人数明显少于图2中在丙之后的人数，故丙同学的推铅球成绩更靠前．
考查统计图的意义和识图的能力，理解统计图中各个点所表示的实际意义，是解决问题的关键，两个统计图结合起来得出数量之间的关系是基本的方法．

21.【答案】(1)证明：射线AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠FAE，
在△AEC和△AEF中，
AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，
∴△AEC≌△AEF(SAS)；
(2)解：∵△AEC≌△AEF(SAS)，
∴∠C=∠F，
∵∠AEB=∠CAE+∠C=50°，
∴∠FAE+∠F=50°，
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，
∴∠BEF=80°，
∴∠BEF为80°． 
【解析】(1)由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，进而可证△AEC≌△AEF(SAS)；
(2)由△AEC≌△AEF(SAS)，可得∠C=∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠CAE+∠C=50°，则∠FAE+∠F=50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，计算求解即可．
本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

22.【答案】解：(1)如图，连接AC，与BD相交于点O．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，BD=2OD．
当∠ADC=120°时，∠ADO=60°．
∴OD=AD⋅cos∠ADO
=40×12
=20．
∴BD=40；
(2)∵四边形ABCD为菱形．
∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO
当∠ADC=20°时，∠ADO=10°，
则∠DAO=80°．
∴AO=AD⋅cos∠ADO
≈40×0.17
=6.8(cm)．
∴AC=13.6cm．
当∠ADC=160°时，∠ADO=80°．
∴AC=2AO
=2AD⋅sin∠ADO
≈2×40×0.98
=78.4(cm)．
∴增加的高度为：78.4−13.6=64.8(cm)，
答：这个千斤顶升高约64.8cm． 
【解析】(1)连接AC，与BD相交于点O.由菱形的性质可知AC⊥BD，再利用三角函数求解．
(2)利用三角函数分别求出当∠ADC从20变为160°两种情况下AC的值再相减即可．
本题考查了三角函数的实际应用和菱形性质，构造直角三角形是解决问题的关键．

23.【答案】(1)证明：连接OD，如图，
∵点D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OD=r，OF=r+2，
∵OD⊥DE，
∴OD2+DF2=OF2，
∴r2+42=(r+2)2，
解得：r=3．
∴⊙O的半径为3；
∴AF=AB+BF=6+2=8，OF=5．
∵OD//AC，
∴△FDO∽△FEA，
∴FDFE=FOFA，
∴44+DE=58，
∴DE=125． 
【解析】(1)连接OD，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质与垂直的定义得到OD⊥DE，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
(2)设⊙O的半径为r，则OD=r，OF=r+2，利用(1)的结论和勾股定理列出方程解答即可求得圆的半径；利用相似三角形的判定与性质，理财比例式即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，锤击点性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．

24.【答案】解：(1)解：∵一次函数y1=3x−3的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A(a,3)，B(−1,b)，
∴3=3a−3，b=−3−3，
∴a=2，b=−6，
∴A(2,3)，B(−1,−6)，
把A(2,3)代入反比例函数y2=mx，则3=m2，
∴m=6，
∴反比例函数的表达式是y2=6x；
(2)函数图象如图所示，点P(h,y1)，Q(h,y2)分别是两函数图象上的点．由图象可知，当y1>y2时h的取值范围是h>2或−1
(3)设点C的坐标为(n,3n−3)，则点D的坐标为(n+1,3n−4)，代入反比例函数解析式得，
3n−4=6n+1，
解得，n1=2,n2=−53，
经检验，是原方程的解．
∴n1=2,n2=−53， 
【解析】(1)把A(a,3)，B(−1,b)分别代入一次函数y1=3x−3中，即可求得a、b的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
(2)画出函数图象，根据交点坐标，结合图象即可求得；
(3)设点C的坐标为(n,3n−3)，则点D的坐标为(n+1,3n−4)，代入反比例函数解析式，可求n的值．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，数形结合是解题的关键．

25.【答案】解：(1)如图所示，点E为AD的中点；

(2)DE=GB，理由如下：
如图，连接DD′，

∵点D与点D′关于EC对称，
∴CE⊥DD′，DE=ED′，
∵DE=AE，
∴∠EAD′=∠ED′A，∠EDD′=∠ED′D，
∴∠ADD′=∠AD′E+∠ED′D=90°，
∴DD′⊥GA，
∴AG//EC，
∵AE//CG，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AE=CG，
∵AD=BC，
∴DE=GB；
(3)如图所示，翻折后三角形与AD交于G、H两点，作AK⊥BC，MI⊥BC，垂足为K、I两点，

在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，
∴AK=AB⋅sin60°=2 3，BK=AB⋅cos60°=2，MI=IB⋅tan60°= 3BI，AB=BC=4，
∵B′C⊥AB，
∴∠BCM=∠GCM=45°，
∴MI=IC= 3BI，
∴ 3BI+BI=4，
∴BI=2 3−2，MI=6−2 3，
∴△BMC的面积为12×4×(6−2 3)=12−4 3，
∴△B′MC的面积为12−4 3，
∵B′G=4−2 3，∠B′=60°，
∴HG= 3B′G=4 3−6，
∴△B′HG的面积为12×(4 3−6)×(4−2 3)=14 3−24，
∴重合部分面积为12−4 3−14 3+24=36−18 3；
②连接AC，作CP⊥AB，CN⊥AD，垂足为P、N两点，

在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴CD=BC，∠BCD=120°，∠BAC=∠DAC=60°，
∴CP=CN，BP=DN，
∵CM=CH，
∴Rt△MPC≌Rt△HNC(HL)，
∴MP=HN，
∴MB=HD，
∴△MBC≌△HDC(SSS)，
∴∠HCD=∠MCB=∠MCH=40°，
∴α=40°． 
【解析】(1)作AD的垂直平分线即可；
(2)连接DD′，证明四边形AGCE是平行四边形，再根据平行四边形的性质证明即可；
(3)①作AK⊥BC，MI⊥BC，垂足为K、I两点，求出△B′MC的面积为12−4 3，△B′HG的面积为14 3−24，相减即可；
②连接AC，作CP⊥AB，CN⊥AD，证明△MBC≌△HDC即可得出∠HCD=∠MCB=∠MCH=40°．
本题考查了垂直平分线的作法、菱形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形和直角三角形解决问题．

26.【答案】解：(1)把P1(2,−1)代入y=ax2得，
−1=4a，
解得a=−14，
所以y=−14x2，
把P2(−2,1)，P3(4,4)代入y=−14x2，不满足函数解析式，不符合题意；
把P2(−2,1)代入y=ax2得，
1=4a，
解得a=14，
所以y=14x2，
把P1(2,−1)代入y=14x2，不满足函数解析式，把P3(4,4)代入y=14x2，满足函数解析式；
所以抛物线解析式为y=14x2．
(2)①∵A(0,1)，当m=− 3时，
∴tan∠ABO= 33，AB= OA2+OB2=2，
∴∠ABO=30°，
∵线段AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC=2，
∴∠OBC=90°，
∴点C的坐标为(− 3,2)．

②作CG⊥OB，CH⊥OA，垂足分别为G、H，连接OC交AB于点I，

根据题意，CG=CH，CB=CA，
∴Rt△CBG≌Rt△CAH(HL)，
∠COG=∠COH=∠OCG=∠OCH=45°，OG=OH，
∴∠BCG=∠ACH=15°，BG=AH，
∴∠BCO=∠ACO=30°，BO=AO=1，
∴AB= 2，IB=IO= 22，
∴IC= 3IB= 62，OC= 6+ 22，
OG=CG= 22OC= 3+12，
∴点C的坐标为(− 3+12, 3+12)；
同理，如图所示，OG=CG= 22OC= 3−12，
∴点C的坐标为(− 3−12,− 3−12)；

综上，点C的坐标为(− 3−12,− 3−12)或(− 3+12, 3+12)；
③以AO为边，向左作等边三角形AOP，则点P的坐标为(− 32,12)，
作直线CP交直线AO于点R，

∵AP=AO，AC=AB，∠CAB=∠OAP=60°，
∴∠CAP=∠BAO，
∴△CAP≌△BAO(SAS)，
∴∠CPA=∠BOA=90°，
∴CP⊥PA，
∵∠OAP=60°，
∴AR=2AP=2，
∴点R的坐标为(0,−1)，
∴直线CP的解析式为y=− 3x−1，即点C的轨迹是直线CR，
联立两个函数解析式得，y=− 3x−1y=14x2+c，
化成一元二次方程得，14x2+ 3x+1+c=0，
当( 3)2−4×14(1+c)=0时，两个函数图象只有一个交点，此时，c=2；
所以，当c>2时，点D始终在点C的上方． 
【解析】(1)把其中一点代入解析式，再看是不是有两个点在抛物线是即可；
(2)①当m=− 3时，BC⊥AB，直接写出坐标即可；
②当d1=d2时，作CG⊥OB，CH⊥OA，垂足分别为G、H，连接OC交AB于点I，求出OC长即可求出坐标；
③以AO为边，向左作等边三角形AOP，证明CP⊥PA，求出直线CP的解析式，关键一次函数图象与二次函数只有一个交点求出取值范围即可．
本题考查了二次函数的综合，涉及全等三角形的判定与性质、解直角三角形、求二次函数解析式，解题关键是熟练掌握相关知识，利用二次函数的性质和全等三角形以及解直角三角形的知识解决问题．