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2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中不能表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
2. 抛物线y=3(x−2)2+1的顶点坐标是( )
A. (2,1) B. (−2,1) C. (−2,−1) D. (1,2)
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 0.5 B. 7 C. 13 D. 8
4. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )
A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数
5. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1， 2， 3
6. 下列说法不正确的是( )
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 一个角是直角的四边形是矩形
7. 银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低为1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程( )
A. 2.25%(1−2x)=1.21% B. 1.21%(1+2x)=2.25%
C. 1.21%(1+x)2=2.25% D. 2.25%(1−x)2=1.21%
8. 如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3)，则CE的长是( )
A. 3 B. 2 2 C. 10 D. 4
9. 如图，函数y=ax+4和y=2x的图象相交于点A(m,3)，则不等式ax+4<2x的解集为( )
A. x<32 B. x<3 C. x>32 D. x>3
10. 某二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有( )
①abc>0；
②a−b+c<0；
③a=−1b；
④8a+c>0．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 从甲、乙两班分别任抽30名学生进行英语口语测验，两个班测试成绩的方差是s甲2=12，s乙2=8.8，则______ 班学生的成绩比较整齐．
12. 将抛物线y=2(x+3)2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．
13. 一次函数y=(3m−2)x+m的函数值y随自变量x的值增大而减小，则m的取值范围是______ ．
14. 已知关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的一个根是x=1，则另一个根是______ ．
15. 已知点A(2,5)，B(4,5)是抛物线y=4x2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线______ ．
16. 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠CAE=15°，那么∠BOE的度数为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−12)2− 6 2+ 12+| 3−2|．
18. (本小题6.0分)
解下列方程：
(1)3x2=12；
(2)3x2+2x=5；
19. (本小题6.0分)
“绿水青山就是金山银山”，某市市民积极参与义务植树活动.小致同学为了了解自己小区300户家庭在4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随机抽取了其中30户家庭，收集的数据如下(单位：棵)：
1；1；2；3；2；3；2；3；3；4；3；3；4；3；3；5；3；4；3；4；4；5；4；5；3；4；3；4；5；6
(1)对以上数据进行整理、描述和分析：
①绘制如图的统计图，请补充完整；
②这30户家庭4月份义务植树数量的平均数是______ ，众数是______ ，中位数是______ ；
(2)“互联网+全民义务植树”是新时代全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，小致同学所调查的这30户家庭中有8户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计，该小区采用这种形式的家庭有______ 户.
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=kx+b(k≠0)经过点A(4,0)，与直线l2：y=12x相交于点M(m,1)．
(1)求直线l1的函数解析式；
(2)直线l1与y轴相交于点B，点C为x轴上一点，若△ABC的面积为6，求点C的坐标．
21. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k2+k+1=0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1x2−x1−x2=3，求k的值．
22. (本小题9.0分)
如图所示，平行四边形ABCD，对角线BD平分∠ABC；
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)已知AE⊥BC于E，若CE=2BE=4，求BD．
23. (本小题9.0分)
为使学生感受数学魅力，享受学习数学的乐趣，某中学开展了首届校园数学节活动，并计划购买甲、乙两种礼品奖励在此次数学活动中表现优秀的学生．已知购买1件甲和礼品和2件乙种礼品共需72元，购买2件甲种礼品和1件乙种礼品共需63元．
(1)每件甲、乙礼品的价格各是多少元？
(2)根据需要，该学校准备购买甲、乙两种礼品共100件，设购买a件甲种礼品，所需总费用为w元，求w与a的函数关系式，并直接写出a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若要求购买的甲种礼品的数量不超过乙种礼品数量的3倍，求所需总费用的最小值．
24. (本小题10.0分)
如图1，已知：四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，点E为边BC上一个动点(不含端点)，点B关于直线AE的对称点为点F，点H为线段DF的中点．
(1)求证：AH⊥DF；
(2)如图2，作CG⊥AE，垂足为G，当AB=2，CG= 2时，求∠BAE的度数；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接GH，并延长交CD于点M，求线段CM的长．
25. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，我们把纵坐标是横坐标3倍的点称为“开心点”，例如：点(−1,−3)，(2,6)，( 5,3 5)，…都是“开心点”.又如：抛物线y=x2−4上存在两个“开心点”(−1,−3)，(4,12)．
(1)在下列函数中：①y=3x−1，②y=2x2，③y=x2+4，存在“开心点”的函数有：______ ；(填序号)
(2)若抛物线y=x2−2mx+m2上存在唯一一个“开心点”点H，求点H的坐标；
(3)若抛物线y=−x2+(2n+4)x−n2+6n+2上存在两个“开心点”A(x1,y1)和B(x2,y2)(其中x1
1.【答案】C
【解析】解：A图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
B图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
C图形中，一个x值对应多个y值，不符合函数的定义，故符合题意；
D图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
故选：C．
设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，C选项中一个x值对应多个y值，与函数的概念不一致，由此即可求解．
本题考查函数的定义，理解函数的定义，将图形与函数的定义结合是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵y=3(x−2)2+1，
∴抛物线顶点坐标为(2,1)，
故选：A．
直接由抛物线解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．
3.【答案】B
【解析】解：A、 0.5= 12= 22，不符合题意；
B、 7是最简二次根式，符合题意；
C、 13= 33，不符合题意；
D、 8=2 2，不符合题意．
故选：B．
利用最简二次根式的定义：根号中不含分母，分母中不含根号，被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，按从小到大排列后，第5个人的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
5.【答案】A
【解析】解：12+22≠32，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形；
32+42=52，故选项B中的三条线段能构成直角三角形；
52+122=132，故选项C中的三条线段能构成直角三角形；
12+( 2)2=( 3)2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形；
故选：A．
根据各个选项中的数据，利用勾股定理的逆定理，可以判断是否能构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练运用这些判定是本题的关键．
由菱形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定可求解．
【解答】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意，
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：经过一次降息，是2.25%(1−x)，
经过两次降息，是2.25%(1−x)2，
则有方程2.25%(1−x)2=1.21%．
故选：D．
等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%．
考查了列一元二次方程解应用题的问题，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
根据勾股定理求得OD= 10，然后根据矩形的性质得出CE=OD= 10．
【解答】
解：∵四边形COED是矩形，
∴CE=OD，
∵点D的坐标是(1,3)，
∴OD= 12+32= 10，
∴CE= 10，
故选：C．
9.【答案】C
【解析】解：∵函数y=2x过点A(m,3)，
∴2m=3，
解得：m=32，
∴A(32,3)，
∴不等式ax+4<2x的解集为x>32．
故选：C．
首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式ax+4<2x解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
10.【答案】B
【解析】解：∵函数的对称轴在y轴右侧，
∴ab<0，
∵图象交于y轴的负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确；
∵函数的对称轴为x=1，函数和x轴的一个交点是(3,0)，则另外一个交点为(−1,0)，
∴当x=−1时，y=a−b+c=0，故②错误；
∵函数的对称轴为x=−b2a=1，
∴a=−12b，故③错误；
由②③得，b=−2a，a−b+c=0，故3a+c=0，而a>0，即5a>0，故8a+c>0，故④正确；
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换等．
11.【答案】乙
【解析】解：由于s甲2=12>8.8=S乙2，
所以乙的方差较小，波动也较小，即乙班学生的成绩比较整齐．
故答案为：乙．
根据方差的意义判断哪个班的成绩比较稳定即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12.【答案】y=2(x+2)2−1
【解析】解：将抛物线y=2(x+3)2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度可得：y=2(x+3−1)2+4−5，即y=2(x+2)2−1，
故答案为y=2(x+2)2−1．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
13.【答案】m<23
【解析】解：∵一次函数y=(3m−2)x+m的函数值y随x的增大而减小，
∴3m−2<0，
∴m的取值范围为m<23，
故答案为：m<23．
根据一次函数的性质计算即可．
本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小是解题的关键．
14.【答案】x=−3
【解析】解：设关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的另一个根为x2，
则依题意得：1×x2=−3，
解得x2=−3．
故答案是：x=−3．
通过根与系数的关系x1⋅x2=−3求得方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q，反过来可得p=−(x1+x2)，q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
15.【答案】x=3
【解析】解：∵A(2,5)，B(4,5)横坐标不同，纵坐标相同，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x=12×(2+4)=3．
二次函数图象上两个点若关于对称轴对称，那么这两个点横坐标不同，纵坐标相同．利用抛物线的这个性质即可解答．
本题考查二次函数的性质、图象上点的坐标特征．本题不需要利用待定系数法求出抛物线的表达式，直接根据两点坐标的特征可直接写出对称轴．
16.【答案】75°
【解析】解：在矩形ABCD中，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∵∠EAO=15°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴△BOA为等边三角形，
∴BA=BO，
∵∠BAE=45°，∠ABC=90°，
∴△BAE为等腰直角三角形，
∴BA=BE．
∴BE=BO，∠EBO=30°，
∴∠BOE=∠BEO=75°．
故答案为：75°．
根据矩形的性质可得△BOA为等边三角形，得出BA=BO，又因为△BAE为等腰直角三角形，BA=BE，由此关系可求出∠BOE的度数．
本题考查矩形的性质，合理利用题中所给条件，结合图形的性质，得出角度之间的关系是解决本题的关键．
17.【答案】解：原式=14− 6× 2 2× 2+2 3+2− 3
=14−2 32+2 3+2− 3
=14− 3+2 3+2− 3
=(14+2)+(− 3+2 3− 3)
=94．
【解析】原式利用乘方的意义，分母有理化，二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了二次根式的混合运算，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)3x2=12，
x2=4，
x1=2，x2=−2；
(2)3x2+2x=5，
3x2+2x−5=0，
(x−1)(3x+5)=0，
x−1=0或3x+5=0，
x1=1，x2=−53．
【解析】(1)解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答；
(2)解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19.【答案】3.4 3 3 80
【解析】解：(1)①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，
补全图形如下：
②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是130×(1×2+2×3+3×12+4×8+5×4+6×1)=3.4(棵)，众数为3棵，中位数为3+32=3，
故答案为：3.4、3，3；
(2)估计该小区采用这种形式的家庭有300×830=80户，
故答案为：80．
(1)①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数、众数和中位数的定义求解可得；
(2)用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得．
本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握众数、平均数的定义及样本估计总体思想的运用．
20.【答案】解：(1)∵点M(m,1)在直线l2：y=12x上，
∴1=12m，
解得：m=2，
∴M(2,1)，
∵M(2,1)，A(4,0)在y=kx+b(k≠0)上，
∴2k+b=14k+b=0，
解得：k=−12b=2，
∴直线l1的函数解析式为y=−12x+2；
(2)当x=0时，y=2，
∴B(0,2)，
设C(x,0)，
∵S△ABC=6，
∴12|4−x|×2=6，
解得：x=10或−2，
∴点C的坐标为(−2,0)，(10,0)．
【解析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)先求点B的坐标，设C(x,0)，根据三角形面积公式构建方程求解即可．
本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式并且求出点C坐标是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2kx+k2+k+1=0有两个实数根，
∴Δ=(−2k)2−4(k2+k+1)≥0，
整理得：−4k−4≥0，
解得：k≤−1；
(2)∵一元二次方程为x2−2kx+k2+k+1=0，
∴x1x2=k2+k+1，x1+x2=2k，
∵x1x2−x1−x2=3，
∴x1x2−(x1+x2)=3，
∴k2+k+1−2k=3，
整理得：k2−k−2=0，
解得：k1=−1，k2=2，
∵k≤−1，
∴k=−1．
【解析】(1)利用根的判别式列得不等式，解不等式即可；
(2)利用根与系数的关系求得x1x2的值和(x1+x2)的值，然后根据已知条件列得关于k的方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，(2)中将x1x2−x1−x2=3变形为x1x2−(x1+x2)=3是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：连接AC，如图所示：
∵CE=2BE=4，
∴BE=2，
∴BC=BE+CE=6，
由(1)得：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=6，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴AE= AB2−BE2= 62−22=4 2，
∴AC= AE2+CE2= (4 2)2+42=4 3，
∵菱形ABCD的面积=12AC×BD=BC×AE，
∴BD=2BC×AEAC=2×6×4 24 3=4 6．
【解析】(1)证明∠ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得出AB=BC=6，再由勾股定理求出AE、AC的长，然后由菱形面积公式求解即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每件甲礼品的价格各是x元，每件乙礼品的价格各是y元，
根据题意得：x+2y=722x+y=63，
解得x=18y=27，
答：每件甲礼品的价格是18元，每件乙礼品的价格是27元．
(2)根据题意得：w=18a+27(100−a)=−9a+2700(0
∴a≤3(100−a)，
解得a≤75，
在w=−9a+2700中，−9<0，
∴w随a的增大而减小，
∴a=75时，w最小，最小值为−9×75+2700=2025(元)．
答：所需总费用的最小值是2025元．
【解析】(1)设每件甲礼品的价格是x元，每件乙礼品的价格是y元，可得：x+2y=722x+y=63，即可解得答案；
(2)根据甲的费用+乙的费用=总费用，列出函数关系式即可；
(3)由购买的甲种礼品的数量不超过乙种礼品数量的3倍，可得a≤75，根据一次函数性质即可答案．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
24.【答案】(1)证明：如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵点B关于直线AE的对称点为点F，
∴AB=AF，
∴AD=AF，
∵点H为DF中点，
∴DH=FH，
∴点A、点H都在DF的垂直平分线上，
∴AH⊥DF；
(2)解：如图2中，连接AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，∠BAC=60°，
∵CG⊥AE，CG= 2，
∴AG= AC2−CG2= 22−( 2 )2= 2
∴AG=CG= 2，
∴∠CAG=45°，
∴∠BAE=∠BAC−∠CAG=60°−45°=15°；
(3)解：如图3中，
由翻折可知，∠BAE=∠EAF=15°，
∴∠BAF=30°，
∵∠BAD=120°，
∴∠FAD=90°，
∵AD=AB=AF=2，
∴DF=2 2，
∵DH=HF，
∴AH=12DF= 2，∠FAH=∠DAH=45°，AH⊥DF，
∵AG= 2，
∴AH=AG= 2，
∵∠EAF=15°，
∴∠GAH=60°，
∴∠AHG=60°，
∵∠AHD=90°，
∴∠DHM=90°−60°=30°，
∵∠ADC=60°，∠ADH=45°，
∴∠HDM=60°−45°=15°
过点H作HQ⊥DM交DM的延长线于Q，在DM上取一点T，使得DT=TH，连接HT(见左边图)，
∵∠QMH=∠D+∠MHD=45°，
∴HQ=QM，
设HQ=QM=m，
∵TH=TD，
∴∠D=∠THD=15°，
∴∠HTQ=∠D+∠THD=30°，
∴TH=DT=2m，QT= 3m，
∵HQ2+DQ2=DH2，
∴m2+(2m+ 3m)2=2，
∴m= 3−12，
∴DQ= 3+12，QM= 3−12，
∴DM=DQ−QM=1，
∴CM=CD−DM=2−1=1．
【解析】(1)首先依据对称与菱形的性质推导出AD=AF，结合点H为DF中点，得到DH=FH，点A、点H都在DF的垂直平分线上，得到AH⊥DF；
(2)如图2中，连接AC.证明△ACG是等腰直角三角形，可得结论．
(3)如图3中，证明∠DHM=30°，∠HDM=15°过点H作HQ⊥DM交DM的延长线于Q，在DM上取一点T，使得DT=DH，连接HT(见左边图)，求出DM，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30°角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】②
【解析】解：(1)把y=3x代入
①y=3x−1得到3x=3x−1无解，故不存在“开心点”；
②y=2x2得到3x=2x2，解得：x=0或x=32，故存在“开心点”；
③y=x2+4得到3x=x2+4，Δ<0，方程无解，故不存在“开心点”；
故答案为：②．
(2)令y=3x，则y=3xy=x2−2mx+m2，
整理得x2−(2m+3)x+m2=0，
∵存在唯一一个“开心点”，
∴Δ=(2m+3)2−4m2=0，即12m+9=0，
∴m=−34，
∴x2−32x+916=0，
解得x=34，
∴H(34,94)；
(3)由题意可得，−x2+(2n+4)x−n2+6n+2=3x，即x2−(2n+1)x+n2−6n−2=0，
∴x1+x2=2n+1，x1x2=n2−6n−2，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(2n+1)2−2(n2−6n−2)，
∵t=x12+x22=23，
∴(2n+1)2−2(n2−6n−2)=23，整理得，2n2+16n−18=0，
解得n=−9或n=1，
∵Δ=(2n+1)2−4(n2−6n−2)2=28n+9>0，
∴n>−928，
∴n=1，
∴x2−3x−7=0，
解得x=3− 372或x=3+ 372
∴A(3− 372,9−3 372)，B(3+ 372,9+3 372).
(1)利用“开心点”的定义得到y=3x，代入解方程判断即可；
(2)令y=3x，则联立得到方程组y=3xy=x2−2mx+m2，用根的判别式得到x的值，继而得到点的坐标；
(3)用根与系数的关系和根的判别式求出n的值，代入求出点的坐标．
本题考查新定义的有关计算，一元二次方程与二次函数的关系，掌握根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．
2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中不能表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
2. 抛物线y=3(x−2)2+1的顶点坐标是( )
A. (2,1) B. (−2,1) C. (−2,−1) D. (1,2)
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 0.5 B. 7 C. 13 D. 8
4. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )
A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数
5. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1， 2， 3
6. 下列说法不正确的是( )
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 一个角是直角的四边形是矩形
7. 银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低为1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程( )
A. 2.25%(1−2x)=1.21% B. 1.21%(1+2x)=2.25%
C. 1.21%(1+x)2=2.25% D. 2.25%(1−x)2=1.21%
8. 如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3)，则CE的长是( )
A. 3 B. 2 2 C. 10 D. 4
9. 如图，函数y=ax+4和y=2x的图象相交于点A(m,3)，则不等式ax+4<2x的解集为( )
A. x<32 B. x<3 C. x>32 D. x>3
10. 某二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有( )
①abc>0；
②a−b+c<0；
③a=−1b；
④8a+c>0．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 从甲、乙两班分别任抽30名学生进行英语口语测验，两个班测试成绩的方差是s甲2=12，s乙2=8.8，则______ 班学生的成绩比较整齐．
12. 将抛物线y=2(x+3)2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．
13. 一次函数y=(3m−2)x+m的函数值y随自变量x的值增大而减小，则m的取值范围是______ ．
14. 已知关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的一个根是x=1，则另一个根是______ ．
15. 已知点A(2,5)，B(4,5)是抛物线y=4x2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线______ ．
16. 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠CAE=15°，那么∠BOE的度数为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−12)2− 6 2+ 12+| 3−2|．
18. (本小题6.0分)
解下列方程：
(1)3x2=12；
(2)3x2+2x=5；
19. (本小题6.0分)
“绿水青山就是金山银山”，某市市民积极参与义务植树活动.小致同学为了了解自己小区300户家庭在4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随机抽取了其中30户家庭，收集的数据如下(单位：棵)：
1；1；2；3；2；3；2；3；3；4；3；3；4；3；3；5；3；4；3；4；4；5；4；5；3；4；3；4；5；6
(1)对以上数据进行整理、描述和分析：
①绘制如图的统计图，请补充完整；
②这30户家庭4月份义务植树数量的平均数是______ ，众数是______ ，中位数是______ ；
(2)“互联网+全民义务植树”是新时代全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，小致同学所调查的这30户家庭中有8户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计，该小区采用这种形式的家庭有______ 户.
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=kx+b(k≠0)经过点A(4,0)，与直线l2：y=12x相交于点M(m,1)．
(1)求直线l1的函数解析式；
(2)直线l1与y轴相交于点B，点C为x轴上一点，若△ABC的面积为6，求点C的坐标．
21. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k2+k+1=0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1x2−x1−x2=3，求k的值．
22. (本小题9.0分)
如图所示，平行四边形ABCD，对角线BD平分∠ABC；
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)已知AE⊥BC于E，若CE=2BE=4，求BD．
23. (本小题9.0分)
为使学生感受数学魅力，享受学习数学的乐趣，某中学开展了首届校园数学节活动，并计划购买甲、乙两种礼品奖励在此次数学活动中表现优秀的学生．已知购买1件甲和礼品和2件乙种礼品共需72元，购买2件甲种礼品和1件乙种礼品共需63元．
(1)每件甲、乙礼品的价格各是多少元？
(2)根据需要，该学校准备购买甲、乙两种礼品共100件，设购买a件甲种礼品，所需总费用为w元，求w与a的函数关系式，并直接写出a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若要求购买的甲种礼品的数量不超过乙种礼品数量的3倍，求所需总费用的最小值．
24. (本小题10.0分)
如图1，已知：四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，点E为边BC上一个动点(不含端点)，点B关于直线AE的对称点为点F，点H为线段DF的中点．
(1)求证：AH⊥DF；
(2)如图2，作CG⊥AE，垂足为G，当AB=2，CG= 2时，求∠BAE的度数；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接GH，并延长交CD于点M，求线段CM的长．
25. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，我们把纵坐标是横坐标3倍的点称为“开心点”，例如：点(−1,−3)，(2,6)，( 5,3 5)，…都是“开心点”.又如：抛物线y=x2−4上存在两个“开心点”(−1,−3)，(4,12)．
(1)在下列函数中：①y=3x−1，②y=2x2，③y=x2+4，存在“开心点”的函数有：______ ；(填序号)
(2)若抛物线y=x2−2mx+m2上存在唯一一个“开心点”点H，求点H的坐标；
(3)若抛物线y=−x2+(2n+4)x−n2+6n+2上存在两个“开心点”A(x1,y1)和B(x2,y2)(其中x1
1.【答案】C
【解析】解：A图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
B图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
C图形中，一个x值对应多个y值，不符合函数的定义，故符合题意；
D图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故不符合题意；
故选：C．
设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，C选项中一个x值对应多个y值，与函数的概念不一致，由此即可求解．
本题考查函数的定义，理解函数的定义，将图形与函数的定义结合是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵y=3(x−2)2+1，
∴抛物线顶点坐标为(2,1)，
故选：A．
直接由抛物线解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．
3.【答案】B
【解析】解：A、 0.5= 12= 22，不符合题意；
B、 7是最简二次根式，符合题意；
C、 13= 33，不符合题意；
D、 8=2 2，不符合题意．
故选：B．
利用最简二次根式的定义：根号中不含分母，分母中不含根号，被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，按从小到大排列后，第5个人的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
5.【答案】A
【解析】解：12+22≠32，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形；
32+42=52，故选项B中的三条线段能构成直角三角形；
52+122=132，故选项C中的三条线段能构成直角三角形；
12+( 2)2=( 3)2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形；
故选：A．
根据各个选项中的数据，利用勾股定理的逆定理，可以判断是否能构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练运用这些判定是本题的关键．
由菱形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定可求解．
【解答】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；
D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意，
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：经过一次降息，是2.25%(1−x)，
经过两次降息，是2.25%(1−x)2，
则有方程2.25%(1−x)2=1.21%．
故选：D．
等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%．
考查了列一元二次方程解应用题的问题，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
根据勾股定理求得OD= 10，然后根据矩形的性质得出CE=OD= 10．
【解答】
解：∵四边形COED是矩形，
∴CE=OD，
∵点D的坐标是(1,3)，
∴OD= 12+32= 10，
∴CE= 10，
故选：C．
9.【答案】C
【解析】解：∵函数y=2x过点A(m,3)，
∴2m=3，
解得：m=32，
∴A(32,3)，
∴不等式ax+4<2x的解集为x>32．
故选：C．
首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式ax+4<2x解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
10.【答案】B
【解析】解：∵函数的对称轴在y轴右侧，
∴ab<0，
∵图象交于y轴的负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确；
∵函数的对称轴为x=1，函数和x轴的一个交点是(3,0)，则另外一个交点为(−1,0)，
∴当x=−1时，y=a−b+c=0，故②错误；
∵函数的对称轴为x=−b2a=1，
∴a=−12b，故③错误；
由②③得，b=−2a，a−b+c=0，故3a+c=0，而a>0，即5a>0，故8a+c>0，故④正确；
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换等．
11.【答案】乙
【解析】解：由于s甲2=12>8.8=S乙2，
所以乙的方差较小，波动也较小，即乙班学生的成绩比较整齐．
故答案为：乙．
根据方差的意义判断哪个班的成绩比较稳定即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12.【答案】y=2(x+2)2−1
【解析】解：将抛物线y=2(x+3)2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度可得：y=2(x+3−1)2+4−5，即y=2(x+2)2−1，
故答案为y=2(x+2)2−1．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
13.【答案】m<23
【解析】解：∵一次函数y=(3m−2)x+m的函数值y随x的增大而减小，
∴3m−2<0，
∴m的取值范围为m<23，
故答案为：m<23．
根据一次函数的性质计算即可．
本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小是解题的关键．
14.【答案】x=−3
【解析】解：设关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的另一个根为x2，
则依题意得：1×x2=−3，
解得x2=−3．
故答案是：x=−3．
通过根与系数的关系x1⋅x2=−3求得方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q，反过来可得p=−(x1+x2)，q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
15.【答案】x=3
【解析】解：∵A(2,5)，B(4,5)横坐标不同，纵坐标相同，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x=12×(2+4)=3．
二次函数图象上两个点若关于对称轴对称，那么这两个点横坐标不同，纵坐标相同．利用抛物线的这个性质即可解答．
本题考查二次函数的性质、图象上点的坐标特征．本题不需要利用待定系数法求出抛物线的表达式，直接根据两点坐标的特征可直接写出对称轴．
16.【答案】75°
【解析】解：在矩形ABCD中，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∵∠EAO=15°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴△BOA为等边三角形，
∴BA=BO，
∵∠BAE=45°，∠ABC=90°，
∴△BAE为等腰直角三角形，
∴BA=BE．
∴BE=BO，∠EBO=30°，
∴∠BOE=∠BEO=75°．
故答案为：75°．
根据矩形的性质可得△BOA为等边三角形，得出BA=BO，又因为△BAE为等腰直角三角形，BA=BE，由此关系可求出∠BOE的度数．
本题考查矩形的性质，合理利用题中所给条件，结合图形的性质，得出角度之间的关系是解决本题的关键．
17.【答案】解：原式=14− 6× 2 2× 2+2 3+2− 3
=14−2 32+2 3+2− 3
=14− 3+2 3+2− 3
=(14+2)+(− 3+2 3− 3)
=94．
【解析】原式利用乘方的意义，分母有理化，二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了二次根式的混合运算，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)3x2=12，
x2=4，
x1=2，x2=−2；
(2)3x2+2x=5，
3x2+2x−5=0，
(x−1)(3x+5)=0，
x−1=0或3x+5=0，
x1=1，x2=−53．
【解析】(1)解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答；
(2)解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19.【答案】3.4 3 3 80
【解析】解：(1)①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，
补全图形如下：
②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是130×(1×2+2×3+3×12+4×8+5×4+6×1)=3.4(棵)，众数为3棵，中位数为3+32=3，
故答案为：3.4、3，3；
(2)估计该小区采用这种形式的家庭有300×830=80户，
故答案为：80．
(1)①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数、众数和中位数的定义求解可得；
(2)用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得．
本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握众数、平均数的定义及样本估计总体思想的运用．
20.【答案】解：(1)∵点M(m,1)在直线l2：y=12x上，
∴1=12m，
解得：m=2，
∴M(2,1)，
∵M(2,1)，A(4,0)在y=kx+b(k≠0)上，
∴2k+b=14k+b=0，
解得：k=−12b=2，
∴直线l1的函数解析式为y=−12x+2；
(2)当x=0时，y=2，
∴B(0,2)，
设C(x,0)，
∵S△ABC=6，
∴12|4−x|×2=6，
解得：x=10或−2，
∴点C的坐标为(−2,0)，(10,0)．
【解析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)先求点B的坐标，设C(x,0)，根据三角形面积公式构建方程求解即可．
本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式并且求出点C坐标是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2kx+k2+k+1=0有两个实数根，
∴Δ=(−2k)2−4(k2+k+1)≥0，
整理得：−4k−4≥0，
解得：k≤−1；
(2)∵一元二次方程为x2−2kx+k2+k+1=0，
∴x1x2=k2+k+1，x1+x2=2k，
∵x1x2−x1−x2=3，
∴x1x2−(x1+x2)=3，
∴k2+k+1−2k=3，
整理得：k2−k−2=0，
解得：k1=−1，k2=2，
∵k≤−1，
∴k=−1．
【解析】(1)利用根的判别式列得不等式，解不等式即可；
(2)利用根与系数的关系求得x1x2的值和(x1+x2)的值，然后根据已知条件列得关于k的方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，(2)中将x1x2−x1−x2=3变形为x1x2−(x1+x2)=3是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：连接AC，如图所示：
∵CE=2BE=4，
∴BE=2，
∴BC=BE+CE=6，
由(1)得：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=6，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴AE= AB2−BE2= 62−22=4 2，
∴AC= AE2+CE2= (4 2)2+42=4 3，
∵菱形ABCD的面积=12AC×BD=BC×AE，
∴BD=2BC×AEAC=2×6×4 24 3=4 6．
【解析】(1)证明∠ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得出AB=BC=6，再由勾股定理求出AE、AC的长，然后由菱形面积公式求解即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每件甲礼品的价格各是x元，每件乙礼品的价格各是y元，
根据题意得：x+2y=722x+y=63，
解得x=18y=27，
答：每件甲礼品的价格是18元，每件乙礼品的价格是27元．
(2)根据题意得：w=18a+27(100−a)=−9a+2700(0
∴a≤3(100−a)，
解得a≤75，
在w=−9a+2700中，−9<0，
∴w随a的增大而减小，
∴a=75时，w最小，最小值为−9×75+2700=2025(元)．
答：所需总费用的最小值是2025元．
【解析】(1)设每件甲礼品的价格是x元，每件乙礼品的价格是y元，可得：x+2y=722x+y=63，即可解得答案；
(2)根据甲的费用+乙的费用=总费用，列出函数关系式即可；
(3)由购买的甲种礼品的数量不超过乙种礼品数量的3倍，可得a≤75，根据一次函数性质即可答案．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
24.【答案】(1)证明：如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵点B关于直线AE的对称点为点F，
∴AB=AF，
∴AD=AF，
∵点H为DF中点，
∴DH=FH，
∴点A、点H都在DF的垂直平分线上，
∴AH⊥DF；
(2)解：如图2中，连接AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，∠BAC=60°，
∵CG⊥AE，CG= 2，
∴AG= AC2−CG2= 22−( 2 )2= 2
∴AG=CG= 2，
∴∠CAG=45°，
∴∠BAE=∠BAC−∠CAG=60°−45°=15°；
(3)解：如图3中，
由翻折可知，∠BAE=∠EAF=15°，
∴∠BAF=30°，
∵∠BAD=120°，
∴∠FAD=90°，
∵AD=AB=AF=2，
∴DF=2 2，
∵DH=HF，
∴AH=12DF= 2，∠FAH=∠DAH=45°，AH⊥DF，
∵AG= 2，
∴AH=AG= 2，
∵∠EAF=15°，
∴∠GAH=60°，
∴∠AHG=60°，
∵∠AHD=90°，
∴∠DHM=90°−60°=30°，
∵∠ADC=60°，∠ADH=45°，
∴∠HDM=60°−45°=15°
过点H作HQ⊥DM交DM的延长线于Q，在DM上取一点T，使得DT=TH，连接HT(见左边图)，
∵∠QMH=∠D+∠MHD=45°，
∴HQ=QM，
设HQ=QM=m，
∵TH=TD，
∴∠D=∠THD=15°，
∴∠HTQ=∠D+∠THD=30°，
∴TH=DT=2m，QT= 3m，
∵HQ2+DQ2=DH2，
∴m2+(2m+ 3m)2=2，
∴m= 3−12，
∴DQ= 3+12，QM= 3−12，
∴DM=DQ−QM=1，
∴CM=CD−DM=2−1=1．
【解析】(1)首先依据对称与菱形的性质推导出AD=AF，结合点H为DF中点，得到DH=FH，点A、点H都在DF的垂直平分线上，得到AH⊥DF；
(2)如图2中，连接AC.证明△ACG是等腰直角三角形，可得结论．
(3)如图3中，证明∠DHM=30°，∠HDM=15°过点H作HQ⊥DM交DM的延长线于Q，在DM上取一点T，使得DT=DH，连接HT(见左边图)，求出DM，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30°角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】②
【解析】解：(1)把y=3x代入
①y=3x−1得到3x=3x−1无解，故不存在“开心点”；
②y=2x2得到3x=2x2，解得：x=0或x=32，故存在“开心点”；
③y=x2+4得到3x=x2+4，Δ<0，方程无解，故不存在“开心点”；
故答案为：②．
(2)令y=3x，则y=3xy=x2−2mx+m2，
整理得x2−(2m+3)x+m2=0，
∵存在唯一一个“开心点”，
∴Δ=(2m+3)2−4m2=0，即12m+9=0，
∴m=−34，
∴x2−32x+916=0，
解得x=34，
∴H(34,94)；
(3)由题意可得，−x2+(2n+4)x−n2+6n+2=3x，即x2−(2n+1)x+n2−6n−2=0，
∴x1+x2=2n+1，x1x2=n2−6n−2，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(2n+1)2−2(n2−6n−2)，
∵t=x12+x22=23，
∴(2n+1)2−2(n2−6n−2)=23，整理得，2n2+16n−18=0，
解得n=−9或n=1，
∵Δ=(2n+1)2−4(n2−6n−2)2=28n+9>0，
∴n>−928，
∴n=1，
∴x2−3x−7=0，
解得x=3− 372或x=3+ 372
∴A(3− 372,9−3 372)，B(3+ 372,9+3 372).
(1)利用“开心点”的定义得到y=3x，代入解方程判断即可；
(2)令y=3x，则联立得到方程组y=3xy=x2−2mx+m2，用根的判别式得到x的值，继而得到点的坐标；
(3)用根与系数的关系和根的判别式求出n的值，代入求出点的坐标．
本题考查新定义的有关计算，一元二次方程与二次函数的关系，掌握根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．
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