(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义1.1.2 整式（2份打包，学生版+教师版）

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第1.1章 数与式
1.1.2 整式

初中要求
1了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）；
2理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算
3能推导平方差公式和完全平方公式.
高中要求
1 掌握指数幂运算；
2 掌握立方和差公式，三数和平方公式.

1.整式
数与字母的积的代数式叫单项式，单独一个字母或数字也是单项式；
几个单项式的和叫做多项式；
单项式和多项式统称整式.
2.整数指数幂
正整数指数幂：；
整数指数幂：；
负整数指数幂：.
整数指数幂的运算性质：(1)；(2) ；(3)；
(4) ；(5)(以上都不为，都为整数).
(高中会学习到分数指数幂)
3.乘法公式
平方差公式 ；
完全平方公式 ；
立方和公式 ；
立方差公式 ；
三数和平方公式 .
(后三个公式可尝试证明)
【题型1】指数幂运算
【典题1】 计算
解析 ，，
， ，
，，
原式.

变式练习
1.求值：(　　)
． ． ．
答案
解析 ．故选：．
2. 已知，则　 　.
答案
解析 .
3.已知，则 .
答案
解析 .
4.若，且，则的值是　 　．
答案
解析 有，
又有，
联立得到.

【题型2】 乘法公式运用
【典题1】计算：
(1) ；
(2)；
(3) ；
(4).
解析 (1)原式；
(2)原式；
或原式；
(3)原式；
(4)原式.

【典题2】 证明 能被整除.
证明

能被整除.

【典题3】已知两个正方体，其棱长之总和为，体积之和为，求两个正方体的棱长.
解析 设两个正方体的棱长为，
依题意得，
，
解得，
由，或，即两个正方体的棱长分别为和.


变式练习
1.若是一个完全平方式，则 ( )
A、 B、 C、 D、
答案
2.若，则的值为 ( )
A.13 B.26 C.28 D.37
答案
解析 依题意得，则，故选.
3.计算： .
答案
解析 原式.
4.计算： .
答案
解析 原式.
5.计算： .
答案
解析 原式.
6.可取任何实数，，当 ， 时，取到最小值 .
答案 ，时，取到最小值1
解析

当，即，时，取到最小值1.
7.已知，求的值.
答案
解析




.
8. 已知（x+y）2=1，（x-y）2=49，求x2+y2与xy的值．
答案 x2+y2=25， xy=-12
解析 ∵（x+y）2=x2+y2+2xy=1①，（x-y）2=x2+y2-2xy=49②，
∴①+②得：2（x2+y2）=50，即x2+y2=25；
①-②得：4xy=-48，即xy=-12．
9.先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2-6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0
∴（m+n）2+（n-3）2=0
∴m+n=0，n-3=0
∴m=-3，n=3
问题（1）若x2+2y2-2xy+4y+4=0，求xy的值．
（2）已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b-41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
答案（1）（2）5≤c＜9
解析 （1）x2+2y2-2xy+4y+4=x2-2xy+y2+y2+4y+4=（x-y）2+（y+2）2=0，
∴x-y=0，y+2=0，
解得x=-2，y=-2，
；
（2）∵a2+b2=10a+8b-41，
∴a2-10a+25+b2-8b+16=0，
即（a-5）2+（b-4）2=0，
a-5=0，b-4=0，
解得a=5，b=4，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9．

1.若，则等于(　　)
A． B． C． D．
答案
解析 ，则．故选：．
2.不论为何实数，的值 ( )
A.总是正数 B.总是负数
C.可以是零 D.可以是正数也可以是负数
答案 无数
解析 ，故选
3.计算：　 　．
答案
解析 原式.
4.如果，，那么　 　．
解析 由，得，则．
，.
5.已知，则 .
答案
解析 .
6.计算： .
答案
解析 原式.
7.已知，则 .
答案
解析

.
8.计算：
答案
解析 原式.
9.试说明不论取何值，代数式的值总是正数.
解析 ，
所以不论取何值，代数式的值总是正数.
10.已知，求的值．
答案
解析



.
11.已知，，求的值.
答案
解析
.
12. 用简便方法计算：
（1）1002-200×99+992
（2）2018×2020-20192
答案 （1）1 （1）-1
解析（1）1002-200×99+992=1002-2×100×（100-1）+（100-1）2
=[100-（100-1）]2=12=1；
（2）2018×2020-20192=（2019-1）（2019+1）-20192=20192-1-20192=-1．
13.(1) 已知，求下列各式的值.
① ② ③
(2) 已知，求的值．
答案 (1) ；② ；③ ；
解析 (1) ① ；
② ；
③ ；





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