第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（五大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）

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第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：定义法
题型二：坐标法
题型三：基底法
题型四：几何意义法
题型五：极化恒等式
【知识点梳理】
知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：
1、定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
2、坐标法
第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步： 将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
3、基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
4、几何意义法
第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步： 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
知识点二．极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：



（1）
（2）
（1） （2）两式相加得：

2、极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
（2）三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M

知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
【典例例题】
题型一：定义法
【例1】（2023·广西·高一校联考阶段练习）已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【对点训练1】（2023·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期中）已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
题型二：坐标法
【例2】（2023·江苏南通·高一校考期末）如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______.
  
【对点训练2】（2023·上海闵行·高一闵行中学校考期末）已知平面向量，其中，则的取值范围是__________.
【对点训练3】（2023·北京通州·高一统考期中）在正方形中，，P为边的中点，Q为边的中点，M为边（包括端点）上的动点，则的取值范围是_________．
【对点训练4】（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）已知向量，，当取得最大值时，______．
题型三：基底法
【例3】（2023·福建三明·高一三明一中校考期中）已知以为圆心的单位圆上有两个定点、及两个动点、，且，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【对点训练5】（2023·全国·高一专题练习）已知的外心为，且满足，（其中，则的最大值为（    ）
A．2 B． C． D．5
题型四：几何意义法
【例4】（2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考期中）向量，，若与的夹角为，则的最大值为（    ）
A．2 B． C．4 D．
【对点训练6】（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（    ）
A． B．2 C． D．1
题型五：极化恒等式
【例5】（2023·浙江·高一校联考期中）已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【对点训练7】（2023·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中）已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

【真题演练】
1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．（2020·海南·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
3．（2023·天津·统考高考真题）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
4．（2022·天津·统考高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________
5．（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
6．（2020·天津·统考高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

7．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
8．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
9．（2020·浙江·统考高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京·高一中关村中学校考期中）已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京大兴·高一统考期中）已知是边长为的等边三角形，是边上的动点，是边的中点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高一专题练习）若，是两个互相垂直的单位向量，且向量满足，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．以上答案均不对
5．（2023·全国·高一专题练习）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·福建泉州·高一校联考阶段练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
7．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·江苏·高一专题练习）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·河北唐山·高一校联考期中）在正方形中，，点满足，则下列说法正确的是（    ）
A．当时，
B．当时，
C．存在，使得
D．的最小值为2
10．（2023·江苏连云港·高一校考期中）如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则（    ）
  
A．
B．实数的值为
C．
D．若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为
11．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）设非零向量，满足，则下列说法正确的有（    ）
A．与的夹角为 B．
C．有最大值 D．
12．（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，例如，如果交点为的两条相交直线与圆相交于与，则），如下图，已知圆的半径为3，点是圆内的定点，且，弦、均过点，则下列说法正确的是（   ）
  
A．· B．·的取值范围是
C．当AC⊥BD时，·为定值 D．AC⊥BD时，·的最大值为28
三、填空题
13．（2023·重庆·高一重庆一中校考期中）已知平面向量满足，则的最大值为__________.
14．（2023·广西·高一校联考阶段练习）已知正方形的边长为2，为对角线的交点，动点在线段上，点关于点的对称点为点，则的最大值为______．
15．（2023·上海徐汇·高一位育中学校考期中）已知平面向最，，对任意实数，都有，成立．若，则的最大值是______．
16．（2023·北京·高一中关村中学校考期中）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是______.
17．（2023·山东日照·高一统考期中）已知非零向量，，对任意实数，恒成立，则的取值范围是____________．