八年级下学期数学试题

这是一份八年级下学期数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级（下）数学期末试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. ﹣3的绝对值是（　　）
A. ﹣3B. 3C. -D.
2. 已知是的函数，且当时，，那么该函数的解析式可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子的喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
4. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ）

A B. C. D.
5. 为庆祝神舟十六号载人飞船发射成功，学校计划开展航天知识竞赛活动．八年（1）班进行了几轮班内筛选，其中甲、乙、丙、丁四名同学的成绩统计如表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数




方差




如果要从中选择一名成绩较好且发挥相对稳定的同学代表班级参赛，那么最适合参赛的选手是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6. 如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（ ）

A. B. C. D.
7. 某汽车的变速箱有号齿轮受电脑程序控制，自动啮合传动，这些齿轮在工作中的程序是：
①如果号转动，那么号转，但是号停；
②如果号或者号转动，则号停；
③号和号可以同时转，不能同时停；
④号和号必有一个在转动．
若号齿轮转动，则同时转动三个齿轮是（ ）
A. 号、号和号B. 号、号和号
C. 号、号和号D. 号、号和号
8. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线：与轴交于点，与交于点．过点作轴的垂线，垂足为点．若，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题）
9. 在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=4，则DE=_______．

10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ________．
11. 如图，矩形的对角线和相交于点O，若，则_____________．

12. 在中学生田径运动会上，名男子跳高运动员的成绩（单位： ）如下：，，，，，，，则这些运动员成绩的中位数为______．
13. 如果正比例函数的图象经过第一、三象限，则实数k的值可以是_________．（只需写出一个符合条件的实数即可）
14. 在平面直角坐标系中，已知点，，，的坐标分别为，，，，，，，则四边形的面积为___．
15. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．

16. 在平面直角坐标系中，已知顶点，，对角线，相交于点，是边上的一个动点，连接，，有下列结论：①是菱形；②是等腰直角三角形；③点的坐标为；④的最小值为；其中正确的是___．(只填写序号)
三、解答题（本大题共9小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 如图，四边形是平行四边形，点，分别在边，上，且．求证：．

19. 先化简，再求值：，其中．
20. 已知一次函数的图象过点．

（1）求一次函数的解析式，并在图中画出该函数的图象；
（2）若点和在该一次函数图象上，试比较与的大小，并说明理由．
21. 如图，已知，，为射线上两点，且．

（1）求作菱形，使得点在射线上；要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在(1)的条件下，连接，若，，求的长．
22. 综合与实践：构图法求三角形的面积
问题提出
在中，，，三边的长分别为，，，求的面积．
素材1
某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式（为底 边，为对应的高）求解，那么高
的计算较为复杂，进一步观察发现 ，，，若把放到图的正方形网格中（每个小正方形的边长为），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”．


素材2
某园艺公司对一块三角形花圃进行改造，如图所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，将原花圃改造为六边形．

任务1
（1）请直接写出图中的三角形面积___．
任务2
（2）已知三边，，的长分别为， ，，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．
任务3
（3）若三角形花圃的边，，，求改造后的六边形花圃的面积．

23. 西瓜的生长需要适宜的温度．为促进西瓜生长、提高利润，某农业技术人员就温度对西瓜生长的影响进行研究，结果如下：
①当温度在度时，较适宜生长；
②西瓜生长速率与温度（）有如下关系：如图，当时，近似，用函数表示；

③按照经验，通过建造大棚，调节温度能改变西瓜的生长速率，使西瓜提前上市销售．提前上市的天数（天）与生长速率的关系，大致如表所示：
生长速率





提前上市的天数（天）





建造一个大棚需要个支架，上市前每个大棚每天的维护成本为元．已知，某建筑队共有名工人，雇佣该建筑队全部工人一天，刚好能完成建造大棚的任务．图为随机抽取该建筑队名工人日均搭建支架数量的统计图．

（1）当时，求关于的函数关系式；
（2）当温度为多少时，可以提前天上市；
（3）根据市场调查：每提前一天上市（都可一次售完），销售额可增加3000元．试问：农业技术人员应如何调节温度，才能使提前上市后增加的利润不低于84000元．（西瓜上市后大棚暂停使用）
24. 在平面直角坐标系中，对于点，，我们称直线：为点的关联直线．例如，点，的关联直线的解析式为．
（1）若点，，写出点的“关联直线”的解析式，并求与坐标轴围成的三角形面积；
（2）若点，在第一象限，其“关联直线”交轴于点，连接，过点作的垂线，交于点．当时，求点的坐标．
25. 如图，在正方形中，是中点，四边形沿着直线翻折得到四边形，连接交于点，交折痕于点．

（1）求证：；
（2）延长交于点，连接．请补全图形，并探究线段与的数量关系．

八年级（下）数学期末试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. ﹣3的绝对值是（　　）
A. ﹣3B. 3C. -D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2. 已知是的函数，且当时，，那么该函数的解析式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将，分别代入各选项，得出，即可求解．
【详解】解：A. 当时，，不合题意，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，，不合题意，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当时，，故该选项正确，符合题意；
D. 当时，，不合题意，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了求函数值，熟练掌握函数的定义是解题的关键．
3. 端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子的喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
【答案】D
【解析】
【分析】学校食堂调查的目的是得出最喜欢哪种口味的粽子的人数最多的人数最多，以便决策，再根据众数的意义，即可得出结果．
【详解】解：根据题意，可知：学校食堂调调查的目的是明确最喜欢哪种口味的粽子的人数最多，
∵众数是数据中出现次数最多的数，
∴最值得关注的是统计数据中的众数．
故选：D．
【点睛】本题考查了统计的有关知识，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
4. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出，，，即可求解．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5. 为庆祝神舟十六号载人飞船发射成功，学校计划开展航天知识竞赛活动．八年（1）班进行了几轮班内筛选，其中甲、乙、丙、丁四名同学的成绩统计如表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数




方差




如果要从中选择一名成绩较好且发挥相对稳定的同学代表班级参赛，那么最适合参赛的选手是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【详解】解：∵丙和丁的平均数比甲和乙的平均数小，
∴从甲和乙中选择一人参加比赛，
∵甲的方差最小，即成绩比较稳定，
∴选择甲参赛；
故选：A．
【点睛】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6. 如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】平行线距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离．
【详解】解：∵，
∴，
∴可以表示平行线与之间的距离,
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键．
7. 某汽车的变速箱有号齿轮受电脑程序控制，自动啮合传动，这些齿轮在工作中的程序是：
①如果号转动，那么号转，但是号停；
②如果号或者号转动，则号停；
③号和号可以同时转，不能同时停；
④号和号必有一个在转动．
若号齿轮转动，则同时转动的三个齿轮是（ ）
A. 号、号和号B. 号、号和号
C. 号、号和号D. 号、号和号
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分析判断即可求解．
【详解】解：由①可得号齿轮转动，那么号转，排除B选项
由②可得如果号或者号转动，则号停；排除A选项
由③可得号和号可以同时转，不能同时停；则号转，排除D选项，
由④可得号和号必有一个在转动，由①可得号不转，则号转，
∴号齿轮转动，则同时转动的三个齿轮是号、号和号
故选：C．
【点睛】本题考查了逻辑推理，理解题意是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线：与轴交于点，与交于点．过点作轴的垂线，垂足为点．若，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，画出图形，分别求得的坐标，然后根据已知条件，求得点的坐标，将点的坐标代入的解析式即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵直线与轴交于点，
当时，解得：，则，
联立，
解得：，
∴，则，
∴，
∵，轴，
∴，
∵则，
将点代入，
即，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了两直线围成的三角形面积，根据题意画出图形，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题）
9. 在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=4，则DE=_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的中位线的性质，三角形的中位线等于第三边的一半，可直接求解.
【详解】∵点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，BC=4，

∴DE=BC=×4=2，
故答案为：2.
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线的性质，比较简单，确定三角形的中位线是解题关键.
10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到实数x的取值范围．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式有意义，熟练掌握二次根号下非负是二次根式有意义的条件是解题的关键．
11. 如图，矩形的对角线和相交于点O，若，则_____________．

【答案】10
【解析】
【分析】根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握和运用矩形的性质是解决本题的关键．
12. 在中学生田径运动会上，名男子跳高运动员的成绩（单位： ）如下：，，，，，，，则这些运动员成绩的中位数为______．
【答案】
【解析】
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：将数据，，，，，，
从小到大排列为，，，，，，，
∴中位数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13. 如果正比例函数的图象经过第一、三象限，则实数k的值可以是_________．（只需写出一个符合条件的实数即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，可得，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，
∴，则则实数k的值可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
14. 在平面直角坐标系中，已知点，，，的坐标分别为，，，，，，，则四边形的面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得出四边形是矩形，进而即可求解．
【详解】解：∵点，，，的坐标分别为，，，，，，，
∴的纵坐标相同，的纵坐标相同，则轴，
又的横坐标相同，的横坐标相同，则轴，，则
∴四边形是平行四边，
又，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质与判定，根据题意得出四边形是矩形是解题的关键．
15. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．

【答案】12
【解析】
【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52=（x+1）2即可．
【详解】设这个水池深x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
答：这个水池深12尺．
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，对角线，相交于点，是边上的一个动点，连接，，有下列结论：①是菱形；②是等腰直角三角形；③点的坐标为；④的最小值为；其中正确的是___．(只填写序号)
【答案】①④
【解析】
【分析】根据题意，画出图形，根据中点坐标公式求得点的坐标即可判断③，进而勾股定理求得，即可判断①，根据勾股定理求得，进而可得是等边三角形，即可判断②，作点关于的对称点，根据轴对称的性质可得，进而勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，的顶点，，对角线，相交于点，
则点的坐标为故③正确，

∵
∴四边形是菱形，故①正确
∵，则
∴
∴是等边三角形，故②错误，
如图所示，作点关于的对称点，则，
∴
∴
∴，故④正确
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质与判定，等边三角形的判定，勾股定理求两点距离，轴对称的性质求线段和的最值问题，熟练掌握以上知识并画出图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的乘除以及加减运算法则进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的加减混合运算进行计算即可求解．
【小问1详解】


；
【小问2详解】



．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18. 如图，四边形是平行四边形，点，分别在边，上，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而根据已知条件得出，可得四边形是平行四边形，即可得证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵．
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌平行四边形的性质与判定握是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：

；
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
20. 已知一次函数的图象过点．

（1）求一次函数的解析式，并在图中画出该函数的图象；
（2）若点和在该一次函数图象上，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）一次函数的解析式为，图象见解析；
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式，然后根据两点确定一条直线，画出函数图象；
（2）根据一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：将点代入得，

解得：
∴一次函数解析式为，
当时，，
过点，，画出函数图象，如图所示，
【小问2详解】
，理由如下，
∵点和在图象上，
又∵，，
∴随的增大而增大，
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数的解析式，比较函数值的大小，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
21. 如图，已知，，为射线上两点，且．

（1）求作菱形，使得点在射线上；要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在(1)的条件下，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以B点为圆心，长为半径画圆，交于点C，再分别以C，A为圆心长为半径画，相交于D点，即可得出答案；
（2）根据已知条件得出是直角三角形，进而勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图，菱形为所求作的图形．
【小问2详解】
解：如图所示，

∵，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，且，
在中，．
【点睛】本题考查了作菱形，勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 综合与实践：构图法求三角形的面积
问题提出
在中，，，三边的长分别为，，，求的面积．
素材1
某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式（为底 边，为对应的高）求解，那么高
的计算较为复杂，进一步观察发现 ，，，若把放到图的正方形网格中（每个小正方形的边长为），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”．


素材2
某园艺公司对一块三角形花圃进行改造，如图所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，将原花圃改造为六边形．

任务1
（1）请直接写出图中的三角形面积___．
任务2
（2）已知三边，，的长分别为， ，，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．
任务3
（3）若三角形花圃的边，，，求改造后的六边形花圃的面积．

【答案】任务1：；任务2：；任务3：
【解析】
【分析】任务1，根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
任务2：根据网格的特点作出三边，，的长分别为， ，，然后根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
任务3，根据任务2的方法，将图形放置网格中求得，进而求得两个正方形的面积，即可求解．
【详解】任务1：如图所示，

，
故答案为：．
任务2：如图所示，三边，，的长分别为， ，

∴；
任务3：如图所示，，，，


∴改造后的六边形花圃的面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23. 西瓜的生长需要适宜的温度．为促进西瓜生长、提高利润，某农业技术人员就温度对西瓜生长的影响进行研究，结果如下：
①当温度在度时，较适宜生长；
②西瓜的生长速率与温度（）有如下关系：如图，当时，近似，用函数表示；

③按照经验，通过建造大棚，调节温度能改变西瓜的生长速率，使西瓜提前上市销售．提前上市的天数（天）与生长速率的关系，大致如表所示：
生长速率





提前上市的天数（天）





建造一个大棚需要个支架，上市前每个大棚每天的维护成本为元．已知，某建筑队共有名工人，雇佣该建筑队全部工人一天，刚好能完成建造大棚的任务．图为随机抽取该建筑队名工人日均搭建支架数量的统计图．

（1）当时，求关于的函数关系式；
（2）当温度为多少时，可以提前天上市；
（3）根据市场调查：每提前一天上市（都可一次售完），销售额可增加3000元．试问：农业技术人员应如何调节温度，才能使提前上市后增加的利润不低于84000元．（西瓜上市后大棚暂停使用）
【答案】（1）当时，设关于的函数关系式为
（2）或时，可以提前天上市；
（3）农业技术人员控制温度在，才能使提前上市后增加利润不低于84000元
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得表达式为，当时，代入即可求解；
（3）根据统计图以及题意求得共有15个大棚，根据上市前每个大棚每天的维护成本为元，每提前一天上市（都可一次售完），销售额可增加3000元，列出不等式，得出，进而代入，，得出的范围，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，设关于的函数关系式为，
将点，代入
∴
解得：
∴当时，设关于函数关系式为
【小问2详解】
解：根据表格数据，每增加，生长速率增加，符合一次函数，设表达式为
将点，代入得，
，
解得：，
∴表达式为，
当时，，解得，
由（1）可得
当时，，解得：，
当时，，解得：，
答：或时，可以提前天上市；
【小问3详解】
解：根据统计图可知，名工人共搭建个，
则平均每人每天搭建个支架，
∵建造一个大棚需要个支架，名工人搭建一天，完成任务，
∴个大棚，
∵上市前每个大棚每天的维护成本为元，每提前一天上市（都可一次售完），销售额可增加3000元，
∴，
解得：，
当时，，
，
当时，
解得：，
∴，
当时，，
，
，
解得：，
综上所述，，
答：农业技术人员控制温度在，才能使提前上市后增加的利润不低于84000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，统计图，一元一次不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，对于点，，我们称直线：为点的关联直线．例如，点，的关联直线的解析式为．
（1）若点，，写出点的“关联直线”的解析式，并求与坐标轴围成的三角形面积；
（2）若点，在第一象限，其“关联直线”交轴于点，连接，过点作的垂线，交于点．当时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据新定义写出直线解析式，进而求得直线与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）根据题意点，在第一象限，其“关联直线”为，求得，过点作轴于点，过点作于点，证明，即可得出的坐标，代入直线解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：点，，则点的“关联直线”的解析式为,
当时，，当时，，则点的“关联直线”过，，
∴与坐标轴围成的三角形面积为；
【小问2详解】
解：点，在第一象限，其“关联直线”为，
， “关联直线”交轴于点，当时，，则，
∵点，在第一象限，则，如图所示，
过点作轴于点，过点作于点，

则，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
代入，即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的性质与判定，理解题意，得出直线解析式是解题的关键．
25. 如图，在正方形中，是的中点，四边形沿着直线翻折得到四边形，连接交于点，交折痕于点．

（1）求证：；
（2）延长交于点，连接．请补全图形，并探究线段与的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，得出，，根据折叠的性质得出，进而即可证明；
（2）延长交于点，连接，设交于点，证明，得出，根据，得出，则，证明，可得，设，正方形的边长为，在中，，勾股定理求得，在中，勾股定理求得，进而等面积法求得，进而求得，根据，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：如图所示，延长交于点，连接，设交于点，

∵四边形是正方形，
则
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
则，
在中，
，
∴，
∴，
设，正方形的边长为，
∵是的中点，则，，
根据折叠可得，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．