2022-2023学年重庆市铜梁中学、江津中学等七校联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市铜梁中学、江津中学等七校联考高一（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市铜梁中学、江津中学等七校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数(1−i)2的虚部为(    )
A. −2 B. 2 C. −2i D. 2i
2. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断错误的是(    )
A. 若m⊂α，n⊂α，m⋂n=A，m//β，n//β，则α//β
B. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
C. 若m//α，n⊂α，则m//n
D. 若α⊥β，α⋂β=m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β
3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是(    )
A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的
C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同
4. 在△ABC中，点E为△ABC的重心，则EC=(    )
A. 13AB−23AC B. −13AB+23AC C. −13AB−23AC D. 13AB+23AC
5. 将函数f(x)=sinx图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将得到的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法中错误的是(    )
A. 最小正周期为π B. 对称中心为(−π6+kπ2,0)(k∈Z)
C. 一条对称轴为x=7π12 D. 在(0,π6)上单调递增
6. 已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积为6π，则这个圆台的体积为(    )
A. 7 3π3 B. 2 3π C. 7 3π6 D. 2 3π3
7. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么直线AB，CD所成角为(    )
A. 0
B. π4
C. π3
D. π2
8. 如图，已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列命题正确的是(    )

A. 正方体外接球的半径为 3
B. 点P在线段AB上运动，则四面体P−A1C1D的体积不变
C. 与所有12条棱都相切的球的体积为2 2π3
D. M是正方体的内切球的球面上任意一点，则AM长的最小值是 3−12
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图统计图表，下列说法中正确的是(    )


A. 2017−2021年全国居民人均可支配收入逐年递增
B. 2021年全国居民人均消费支出24100元
C. 2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
D. 2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过60%
10. 下列选项正确的是(    )
A. sin15°cos15°=14
B. cos2π8−sin2π8= 22
C. sin40°cos50°−cos140°cos40°=−1
D. sin40°(tan10°− 3)=−1
11. 已知复数z1=2i，z2=1−i，则(    )
A. z1z2−=z1−z2− B. 若|z−z1|=1，则|z|的最大值为2
C. |z1z2|=|z1||z2| D. z1z2在复平面内对应的点在第二象限
12. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，该图象与y轴的交点坐标是(0,1)，若f(x)的图象关于点(−π6,0)对称，且在区间(π3,14π33)上单调递减，则ω的值可以是(    )


A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某眼科医院为了了解高中学生的视力情况，利用分层抽样的方法从某高中三个年级中抽取了45人进行问卷调查，其中高一年级抽取了12人，高二年级抽取了15人，且高三年级共有学生540人，则该高中三个年级的学生总数为______ 人.
14. 已知α,β∈(0,π2)，cos(α+β)=−12，sin(α−β)=35，则cos2α= ______ ．
15. 已知向量a=(m,4−m2),b=(2cosθ,λ+3sinθ)，并且a=b，则实数λ的取值范围为______ ．
16. 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别a、b、c，角A=π3.若AM是∠CAB的平分线，交BC于M，且AM=3，则AB+2AC的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知向量a与b的夹角为120°，|a|=1，|b|=2．
(1)求a在b上的投影向量的模；
(2)求a+2b与a的夹角的余弦值．
18. (本小题12.0分)
从某校高一学生中抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18]
2
合计
100
(1)求频率分布直方图中a，b的值；
(2)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点代替，计算样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数；
(3)求出样本中的100名学生该周课外阅读时间的第60百分位数．

19. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB是边长为1的等边三角形，底面ABCD是正方形，M是侧棱PB上的点，N是底面对角线AC上的点，且PM=2MB，AN=2NC．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)求证：MN//平面PAD；
(3)求点N到平面PAD的距离．

20. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．
(1)证明：2a2=b2+c2；
(2)若a=3，cosA=34，求△ABC的周长和面积．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2 3sinxcosx−2cos2x．
(1)求函数f(x)在[0,2π3]的值域；
(2)若关于x的方程cos(2x+π3)+m[f(x2+π6)+1]2+m+1=0在区间[−7π6,π6]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
22. (本小题12.0分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB=3，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)求证：平面PCD⊥平面PEF；
(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P−AB−C的余弦值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：因为复数(1−i)2=1−2i+i2=−2i．
所以复数的虚部为：−2．
故选A．
按照平方差公式展开，求出复数的实部与虚部即可．
本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．

2.【答案】C 
【解析】解：对于A，若m⊂α，n⊂α，m⋂n=A，m//β，n//β，则由面面平行的判定定理可得α//β，故A正确；
对于B，若m⊥α，n//α，则由线面垂直的性质定理可得m⊥n，故B正确；
对于C，若m//α，n⊂α，则m//n或m与n异面，故C错误；
对于D，若α⊥β，α⋂β=m，n⊂α，m⊥n，则由面面垂直的性质定理可得n⊥β，故D正确．
故选：C．
由面面平行的判定定理可判断A；由线面垂直的性质定理可判断B；由题意得m//n或m与n异面，可判断C；由面面垂直的性质定理可判断D．
本题主要考查空间位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相差很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的教，可能不止一个，当然可以和中位数相同，
因此只有B项错误，
故选：B．
利用平均数、中位数、众数的定义求解．
本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：如图，延长CE，交AB与点D，
因为点E为△ABC的重心，
所以D为AB的中点，
所以EC=−23CD=−23[12(CA+CB)]
=−13CA−13CB
=13AC−13(AB−AC)
=−13AB+23AC．
故选：B．
由重心的性质及平面向量基本定理计算即可得解．
本题主要考查重心的性质，平面向量基本定理，考查运算求解能力，属于基础题．

5.【答案】D 
【解析】解：将函数f(x)=sinx图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，
得到y=sin2x的图象，再将得到的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，
则g(x)=sin2(x+π6)=sin(2x+π3)，所以函数的最小正周期为2π2=π，A正确；
f(−π6+kπ2)=sinkπ=0，则B正确；
又f(7π12)=sin3π2=−1，函数取得最小值−1，C正确；
D项，∵x∈(0,π6)，∴2x+π3∈(π3,2π3)，
由于y=sinx在(π3,π2)上单调递增，在(π2,2π3)上单调递减，则D错误．
故选：D．
首先利用平移变换和伸缩变换求出函数g(x)的关系式，对应y=sinx的性质即可．
本题考查平移变换和伸缩变换，考查三角函数的性质，属于基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：如图，

圆台上底面半径为1，下底面半径为2，设母线长为l，
则圆台的侧面积S=12(2π+4π)l=6π，得l=2．
设圆台的高为h，则h= 22−(2−1)2= 3．
∴圆台的体积为13× 3×(π+4π+ 4π2)=7 33π．
故选：A．
由已知求得圆台的母线长，进一步求得圆台的高，再由圆台的体积公式得答案．
本题考查圆台的侧面积与体积，考查运算求解能力，是基础题．

7.【答案】C 
【解析】解：还原后的正方体及AB，CD的位置如图所示，取正方体的一个顶点E，连接CE，DE，则AB//CE，
所以∠ECD或其补角为直线AB，CD所成角，
因为CD，DE，CE均为面对角线，所以CD=DE=CE，即△CDE为等边三角形，
所以∠ECD=π3，
所以直线AB，CD所成角为π3．

故选：C．
先还原正方体，再平移AB，找到异面直线所成角，求之即可．
本题考查异面直线夹角的求法，通过平移的思想，找到异面直线夹角是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．

8.【答案】D 
【解析】解：对于A，由正方体的性质可知正方体外接球的直径为其体对角线，
由于正方体的棱长为1，故体对角线的长度为 3，所以正方体外接球的半径为 32，故A错误；
对于B，△A1C1D为边长是 2的等边三角形，面积为定值，点P在线段AB上运动，AB//A1B1，而A1B1与平面A1C1D成45°角，故四面体P−A1C1D的高是变化的，故体积是变化的，故B错误；
对于C，与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C= 2，
则2R= 2,R= 22，则球的体积V=43πR3=43×π×( 22)3= 23π，故C错误；
对于D，正方体的内切球为正方体的中心，内切球的半径为r，可知线段AM长度的最小值是A到球心的距离减去内切球的半径，
∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，∴r=12，
A到球心的距离为 32，所以AM的最小值是 3−12，故D正确．
故选：D．
对于A，利用正方体的性质即得；对于B，判断出四面体P−A1C1D的高是变化的，底面积不变，故可判断体积不是定值，即得；对于C.先求出球的半径R= 22，即可求体积；对于D.判断出线段AM长度的最小值是A到球心的距离减去内切球的半径，直接求解即可．
本题考查了几何体与球的内切和外接问题，考查了几何体的体积计算以及球的性质，属于中档题．

9.【答案】AB 
【解析】解：由图可知，2017−2021年全国居民人均可支配收入分别为
25974元，28228元，30733元，32189元，35128元，
则2017−2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，故选项A正确；
由图2得：569+7178+1419+5641+1423+3156+2599+2115=24100元，
则2021年全国居民人均消费支出24100元，故选项B正确；
2019年全国居民人均可支配收入为30733元，
而2020年全国居民人均可支配收入为32189元，
所以2020年全国居民人均可支配收入较前一年有所增长，故选项C错误；
由图2得：29.8%+23.4%=53.2%<60%，故选项D错误．
故选：AB．
由题意，根据频率分布直方图以及饼状图中所给信息进而求解即可．
本题考查频率分布直方图，考查了数据分析和运算求解能力．

10.【答案】ABD 
【解析】解：选项A，sin15°cos15°=12sin30°=14，即A正确；
选项B，cos2π8−sin2π8=cosπ4= 22，即B正确；
选项C，sin40°cos50°−cos140°cos40°=sin40°cos50°+cos40°sin50°=sin(40°+50°)=sin90°=1，即C错误；
选项D，sin40°(tan10°− 3)=sin40°(sin10°cos10∘−sin60°cos60∘)=sin40°(cos80°sin80∘−sin60°cos60∘)=sin40°⋅cos80°cos60°−sin80°sin60°sin80∘cos60∘
=sin40°⋅cos140°sin80∘cos60∘=−sin40°cos40°sin80∘cos60∘=−12sin80°sin80∘cos60∘=−1，即D正确．
故选：ABD．
选项A，由正弦的二倍角公式，得解；
选项B，由余弦的二倍角公式，得解；
选项C，结合诱导公式与两角和的正弦公式，得解；
选项D，结合同角三角函数的商数关系与诱导公式，知tan10°=cos80°sin80∘，再由两角和的余弦公式与二倍角公式，化简运算得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，两角和差公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

11.【答案】AC 
【解析】解：z1=2i，z2=1−i，
则z1z2=2i(1−i)=2+2i，
故z1z2−=2−2i，z1−z2−=(−2i)(1+i)=2−2i，故A正确；
设|z−z1|≥|z|−|z1|，
故|z|≤3，故B错误；
由复数模的性质可知，|z1z2|=|z1||z2|，故C正确；
z1z2=2i(1−i)=2+2i，
则z1z2在复平面内对应的点(2,2)在第一象限，故D错误．
故选：AC．
根据已知条件，结合复数模的性质，以及共轭复数的定义，复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数模的性质，以及共轭复数的定义，复数的四则运算，属于基础题．

12.【答案】AD 
【解析】解：根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象，
∵该图象与y轴的交点坐标是(0,1)，∴2sinφ=1，求得sinφ=12．
结合图象可得φ=5π6．
∵f(x)的图象关于点(−π6,0)对称，∴ω×(−π6)+5π6=kπ，k∈Z，
∴ω=5−6k，k∈Z，∴ω可以为5或11．
当ω=5时，在区间(π3,14π33)上，5x+5π6∈(5π2,195π66)，函数单调递减，满足题意．
当ω=11时，在区间(π3,14π33)上，11x+5π6∈(9π2,11π2)，函数单调递减，满足题意．
故选：AD．
根据题意，根据特殊点的坐标求出φ，根据图象的对称性求出ω，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，根据特殊点的坐标求出φ，根据图象的对称性求出ω，可得函数的解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

13.【答案】1350 
【解析】解：由题意可知，高三年级抽取了45−12−15=18人，
设该高中三个年级的学生总数为x人，
则540x=1845，解得x=1350．
故答案为：1350．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．

14.【答案】−4+3 310 
【解析】解：因为α,β∈(0,π2)，
所以α+β∈(0,π)，α−β∈(−π2,π2)，
又cos(α+β)=−12，sin(α−β)=35，
所以sin(α+β)= 1−cos2(α+β)= 32，cos(α−β)= 1−sin2(α−β)=45，
所以cos2α=cos[(α+β)+(α−β)]=cos(α+β)cos(α−β)−sin(α+β)sin(α−β)=(−12)×45− 32×35=−4+3 310．
故答案为：−4+3 310．
先利用同角三角函数的平方关系求得sin(α+β)和cos(α−β)的值，再根据两角和的余弦公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

15.【答案】[−916,7]． 
【解析】解：∵a=b，∴m=2cosθ4−m2=λ+3sinθ，
则λ=−m2−3sinθ+4=−4cos2θ−3sinθ+4=4sin2θ−3sinθ=4(sinθ−38)2−916，
∵sinθ∈[−1,1]，
∴sinθ=38时，λ取最小值−916；
sinθ=−1时，λ取最大值7；
即实数λ的取值范围为[−916,7]．
故答案为：[−916,7]．
根据向量相等的坐标运算列出方程组，将λ表示为复合的二次函数形式，进而可得实数λ的取值范围．
本题考查平面向量的坐标运算，考查三角函数的性质，属于中档题．

16.【答案】3 3+2 6 
【解析】解：角A=π3.若AM是∠CAB的平分线，所以∠BAM=∠CAM=π6，
可得S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=12AB×AM⋅sin∠BAM+12AC⋅AM⋅sin∠CAM，即 3AB⋅AC=AB×AM+AC×AM，又因为AM=3，
所以1AB+1AC= 33，
所以AB+2AC= 3(AB+2AC)⋅(1AB+1AC)= 3(3+ABAC+2ACAB)≥ 3(3+2 ABAC⋅2ACAB)= 3(3+2 2)=3 3+2 6，
所以当且仅当ABAC=2ACAB，即AB= 2AC时，取等号，
所以AB+2AC的最小值为3 3+2 6．
故答案为：3 3+2 6．
由角平分线性质及三角形的面积的表示可得1AB+1AC的值，再由“1”的活用和均值不等式，可得AB+2AC的最小值．
本题考查三角形面积公式的应用及均值不等式的性质的应用，属于中档题．

17.【答案】解：(1)向量a与b的夹角为120°，|a|=1，
则a在b上的投影向量的模为：|acos120°|=1×12=12；
(2)向量a与b的夹角为120°，|a|=1，|b|=2，
则a⋅b=1×2×(−12)=−1，
(a+2b)⋅a=a2+2a⋅b=1−2=−1，
|a+2b|= a2+4a⋅b+4b2= 1−4+16= 13，
故cos=(a+2b)⋅a|a+2b||a|=−1 13×1=− 1313． 
【解析】(1)根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．

18.【答案】解：(1)已知课外阅读事件在[4,6)的有17人，
其频数为0.17，
所以a=0.172=0.085，
课外阅读事件在[8,10)的有25人，
其频数为0.25，
所以b=0.252=0.125；
(2)平均数x−=1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25
+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68；
(3)已知课外阅读时间在8小时以下的学生所占比例为
0.06+0.08+0.17+0.22=0.53，
课外阅读时间在10小时以下的学生所占比例为
0.06+0.08+0.17+0.22+0.25=0.78，
所以第60百分位数一定位于[8,10)内，
设第60百分位数的值为x，
则0.06+0.08+0.17+0.22+(x−8)×0.125=0.6，
解得x=8.56．
故样本中的100名学生该周课外阅读时间的第60百分位数为8.56． 
【解析】(1)由题意，先计算出第三组和第五组的频率，进而求出对应矩形的高，进而可得a，b的值；
(2)通过累加各级频率与组中值的乘积，即可得到平均数；
(3)先判断出第60百分位数一定位于[8,10)内，设第60百分位数的值为x，代入公式求解即可．
本题考查频率分布直方图，考查了数据分析和运算能力．

19.【答案】解：(1)证明：因为侧面PAB⊥底面ABCD，且侧面PAB∩底面ABCD=AB，
AD⊥AB，AD⊂面ABCD，
所以AD⊥面PAB，
因为PB⊂面PAB，
所以AD⊥PB．
(2)证明：过M作MS//BA交PA于点S，过点N作NT//CD交AD于点T，连接ST，
因为PM=2MB，
所以MS=23BA，
同理可得NT=23CD=23BA，
所以MS//NT，MS=NT，
所以四边形MNTS是平行四边形，
所以MN//ST，
又ST⊂面PAD，MN⊄面PAD，
所以MN//面PAD．
(3)由(2)知MN//面PAD，
所以点M到平面PAD的距离是点N到平面PAD的距离，
在平面PAB内过点M作MH⊥PA于H，
因为AD⊥面PAB，
所以AD⊥MH，
所以MH⊥面PAD，
所以MH是点M到平面PAD的距离，
在Rt△PMH中，PM=2，∠MPH=π3，
所以MH= 3，
所以点N到平面PAD的距离为 3． 
【解析】(1)由线面垂直的判定定理可得AD⊥面PAB，进而可得答案．
(2)过M作MS//BA交PA于点S，过点N作NT//CD交AD于点T，连接ST，证明四边形MNTS是平行四边形，推出MN//ST，由线面平行的判定定理，即可得出答案．
(3)由(2)知MN//面PAD，则点M到平面PAD的距离是点N到平面PAD的距离，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，点到平面的距离，解题中需要理清思路，属于中档题．

20.【答案】解：(1)证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，展开可得sinCsinAcosB−sinCcosAsinB=sinBsinCcosA−sinBcosCsinA，
整理可得sinCsinAcosB+sinBcosCsinA=2sinBsinCcosA，
由正弦定理和余弦定理可得：ac⋅c2+a2−b22ac+ab⋅a2+b2−c22ab=2bc⋅b2+c2−a22bc，
整理可证得：2a2=b2+c2；
(2)因为a=3，cosA=34，可得sinA= 74，由余弦定理可得cosA=34=b2+c2−a22bc=b2+c2−92bc，可得b2+c2=32bc+9，由(1)可得得b2+c2=2a2=18，
所以bc=6，(b+c)2−2bc=18，
可得b+c= 30，
所以该三角形的周长a+b+c=3+ 30，
该三角形的面积S△ABC=12bcsinA=12×6× 74=3 74． 
【解析】(1)将已知等式展开，再由正弦定理及余弦定理整理可证得结论；
(2)由余弦定理及题意可得b+c和bc的值，进而求出三角形的周长和面积．
本题考查正余弦定理的应用及三角形面积的求法，属于中档题．

21.【答案】解：(1)因为f(x)=2 3sinxcosx−2cos2x= 3sin2x−cos2x−1=2sin(2x−π6)−1，
当x∈[0,2π3]时，2x−π6∈[−π6,7π6]，
所以sin(2x−π6)∈[−12,1]，
所以2sin(2x−π6)∈[−1,2]，2sin(2x−π6)−1∈[−2,1]，
所以f(x)的值域为[−2,1]；
(2)因为f(x)=2sin(2x−π6)−1，
所以f(x2+π6)=2sin(x+π6)−1，
所以f(x2+π6)+1=2sin(x+π6)，
所以m[f(x2+π6)+1]2=msin(x+π6)，
所以cos(2x+π3)+m[f(x2+π6)+1]2+m+1=0⇔cos(2x+π3)+msin(x+π6)+m+1=0⇔−2sin2(x+π6)+msin(x+π6)+m+2=0，
因为x∈[−7π6,π6]，
所以x+π6∈[−π,π3]，sin(x+π6)∈[−1, 32]，
令t=sin(x+π6)，t∈[−1, 32]，
所以有−2t2+mt+m+2=0在t∈[−1, 32]上有两个不等的实根，
由二次函数的性质可得：
Δ=m2+8(m+2)>0−1 所以实数m的取值范围为(−4, 3−2]． 
【解析】(1)由二倍角公式及辅助角公式可得f(x)=2sin(2x−π6)−1，再根据正弦函数的性质求解即可；
(2)将原方程化简为−2sin2(x+π6)+msin(x+π6)+m+2=0在区间[−7π6,π6]上有两个不相等的实数根，t=sin(x+π6)，t∈[−1, 32]，则有−2t2+mt+m+2=0在t∈[−1, 32]上有两个不等的实根，结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可．
本题考查了三角恒等变换、正弦函数的性质、二次函数的性质及转化思想，属于中档题．

22.【答案】(1)证明：∵CD⊥EF，又∵PE⊥AB，AB////CD，
∴CD⊥PE，又EF∩PE=E，EF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，
∴CD⊥平面PEF，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PEF；
(2)解：∵PE⊥AB，EF⊥AB，∴∠PEF为二面角P−AB−C的平面角．
又因为AB//平面PCD，所以点A到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，
设∠PEF=α，由余弦定理可得PF2=4+8−2×2×2 2cosα=12−8 2cosα，
所以PF=2 3−2 2cosα，
在△PEF中，作EG⊥PF，
由等面积法可得：EG=2S△PEFPF=2 2sinα 3−2 2cosα，设PA与平面PCD所成的角为θ，
则sinθ=EGPA=2 2sinα3 3−2 2cosα⇒sin2θ=8sin2α9(3−2 2cosα)，
令3−2 2cosα=t⇒cosα=3−t2 2，则sin2θ=89×1−t2−6t+98t=19(−t−1t+6)≤49，
当且仅当t=1时，即cosα= 22，等号成立，sinθ取最大值23，
所以：当PA与平面PCD所成的角最大时，二面角P−AB−C的平面角的余弦值为 22． 
【解析】(1)由已知可证CD⊥PE，又CD⊥EF，可证CD⊥平面PEF，进而可证结论成立；
(2)由已知可得∠PEF为二面角P−AB−C的平面角，设∠PEF=α，由余弦定理可求PF，进而等面积法可求EG，设PA与平面PCD所成的角为θ，可得sinθ=EGPA，进而利作换元法可求正弦的最大值，进而可求二面角P−AB−C的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查线面角与面面角的求法，属中档题．