【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.2.2《奇偶性》同步讲学案

3．2.2　奇偶性

知识点一　函数奇偶性的几何特征

一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．

知识点二　函数奇偶性的定义

1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

知识点三　奇(偶)函数的定义域特征

奇(偶)函数的定义域关于原点对称．

知识点四　用奇偶性求解析式

如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．

(2)要利用已知区间的解析式进行代入．

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

知识点五　奇偶性与单调性

若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．

题型一、判断函数的奇偶性

1．判断下列函数的奇偶性

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

2．判断下列函数的奇偶性：

(1)；

(2).

题型二、由奇偶性求解析式

1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（       ）

A． B． C． D．

2．定义在R上的奇函数，满足当时，．当时的表示式是（       ）

A． B．

C． D．

3．已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为(       )

A．1 B．8 C． D．

4．已知是定义在R上的偶函数，当时，．

(1)求的解析式；

(2)求在区间上的值域．

题型三、由奇偶性求参数

1．若函数是偶函数，则（       ）

A．-1 B．0 C．1 D．

2．已知函数是偶函数，则_________．

3．已知函数是奇函数，则___________.

4．已知函数是奇函数，则_______．

题型四、由函数奇偶性解不等式

1．已知函数，且，则实数的取值范围为（       ）

A．        B．        C．         D．

2．定义在R上的偶函数在上单调递减，若，则实数x的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

3．已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.

4．定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

5．定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，求实数a的取值范围.

6．已知函数是定义在上的奇函数，且

(1)求的解析式

(2)用定义证明在上是增函数

(3)解不等式

题型五、函数奇偶性的应用

1．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

2．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则（       ）

A． B．当时，单调递减

C．当时， D．，

3．已知函数是上的奇函数，当时，.

(1)当时，求解析式；

(2)若，求实数的取值范围.

4．已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.

(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；

(2)证明函数f(x)在R上的单调性；

(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.

1．判断下列函数的奇偶性：

(1)；

(2)

2．判断下列函数的奇偶性，并加以证明．

(1)；

(2)

3．设为奇函数，且当时，，则当时，（ 　   　）

A． B．

C． D．

4．已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（       ）

A． B．

C． D．

5．已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为_____.

6．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

(1)当时，求的解析式；

(2)若，求的值．

7．已知函数是奇函数，则实数a的值为__________．

8．已知为奇函数，则______．

9．若幂函数为偶函数，则 ________ .

10．已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）

A． B． C． D．

11．已知函数，若，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

12．奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．

13．若偶函数在区间上为增函数，且，则不等式的解集为________．

14．若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.

15．已知函数的定义域为，且对任意，都有.

(1)求的值；

(2)证明：为奇函数；

(3)若在定义域上单调递减，且，求a的取值范围.

1．定义在上的偶函数在上单调递减，且，若不等式的解集为，则的值为（       ）

A． B． C． D．

2．已知，若，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3．已知定义在R上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

4．设是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解集为（       ）

A． B．

C． D．

5．若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

6．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

8．已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

9．已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[－2，2]，它们在[0，2]上的图象如图所示，则关于x的不等式

f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范围为（       ）

A．(－2，－1)∪(0，1)

B．(－1，0)∪(0，1)

C．(－1，0)∪(1，2)

D．(－2，－1)∪(1，2)

10．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是___________.

12．已知函数为奇函数，则方程的解是________．

13．定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________.

14．函数，若，则实数m的取值范围是____________．

15．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝x2(x2＋2)；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝＋.

16．判断下列函数的奇偶性

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

17．已知为上的奇函数，当时，．

(1)求；

(2)求的解析式；

(3)画的草图，并通过图象写出的单调区间．

18．已知函数．

(1)若为偶函数，求a的值；

(2)若在上有最小值9，求a的值．

19．已知是定义在上的奇函数，它在定义域内单调递减，若满足，求的取值范围．

20．已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).

(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;

(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.

21．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求实数m，n的值；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)解关于t的不等式.