【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-第10讲《整式》同步讲学案

第10讲 单项式

一、用含字母的数字表示数——代数式

1. 定义：用运算符号将数字或字母连接起来的式子，单个字母或数字也是代数式；
2. 书写规则

（1）字母与字母，或数字与字母相乘，通常将乘号写作“·”或者直接省略，但数字必须写在字母的前面，字母按26个字母的顺序从左到右来写；

（2）带分数与字母相乘时，要化成假分数；“÷”可以改成分数线；

（3）数值为“1”或“-1”时，通常省略“1”；

题型一：代数式的书写

【例1】小王用100元人民币买3枚面值为a元的邮票，应找回__________元．

【答案】

【分析】根据题意可以列出相应的代数式，本题得以解决．

【详解】解：根据题意可得：用于买邮票的钱是：元，

则应找回元，

故答案为：．

【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．

[变式1]某种桔子的售价是每千克x元，用面值为100元的人民币购买了6千克，应找回________元．

【答案】（100-6x）

【分析】根据单价×数量=总价求出买桔子一共花的钱，然后用100减去已经购买的钱即可解答．

【详解】解：应找回（100-6x）元

故答案为：（100-6x）．

【点睛】本题考查用字母表示数，列代数式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

[变式2]现有5元面值人民币m张，10元面值人民币n张，共有人民币________元（用含m、n的代数式表示）．

【答案】

【分析】由5元面值人民币m张，可得人民币元，由10元面值人民币n张，可得人民币元，从而可得答案．

【详解】解：由题意得：共有人民币元，

故答案为：

【点睛】本题考查的是列代数式，掌握列代数式的方法是解题的关键．

题型二：列代数式

【例2】下列各式中，符合代数式书写要求的是（   ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据代数式的书写规范，对各个选项逐个分析，即可得到答案．

【详解】解：应表示为：，故选项A不符合要求；

应表示为：，故选项B不符合要求；

应表示为：，故选项C不符合要求；

的书写规范，故选项D符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的书写规范，从而完成求解．

[变式1]有一个两位数，个位数字是，十位数字是，则这个两位数可表示为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为m代表十位这个数字的大小，根据代数式的表示即可.

【详解】解：m代表十位数字的大小，n代表个位数字的大小，所以这个两位数为10m+n

    故选B

【点睛】本题考查了用字母表示数及列代数式，解题的关键是掌握代数式的表达方式.

[变式2]下列各式：2m，0，-2n，，中，代数式有（  ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【答案】C

【分析】根据代数式的定义解答即可．

【详解】解：2m，0，-2n，，是代数式；

是等式．

故选：C．

【点睛】本题考查了代数式的识别，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．

二、单项式

1. 定义：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，它可以是一个数字，也可以是一个字母，例如：，，0，a，……

2. 单项式的系数与次数

    单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如：3xy2z的系数是3，次数是4。

【特别提示】

（1）单项式的系数是带分数是，要化作假分数；

（2）单项式的系数包括前面的符号；

（3）单项式中不含有加减运算，只含有乘法和数字作为分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式；

（4）若字母的指数是1，书写时可以省略，但在计算次数时，不能丢掉。

题型三：单项式的判断

【例3】在式子：①，②，③，④中，单项式是__________填序号．

【答案】②

【分析】根据单项式的定义：数与字母乘积的形式即可解答．

【详解】解：∵是字母与数字的和的形式，即是多项式；

∴①不是单项式；

∵是几个字母乘积的形式，即是单项式；

∴②是单项式；

∵是分母上含有字母的形式，即是分式，

③不是单项式；

∵字母与数字的和的形式，即是多项式，

∴④不是单项式；

故答案为②．

【点睛】本题考查了单项式的定义，理解单项式的定义是解题的关键．

[变式1]下列式子，，，，1，，中，单项式有______个．

【答案】4/四

【分析】根据单项式的定义，即可求解．

【详解】解：单项式有，，，1，共4个．

故答案为：4

【点睛】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握数字或字母的积，及不含加减运算，若涵除法运算是分母中不含字母，这样的式子叫单项式是解题的关键．

[变式2]下列代数式中单项式共有 _____个．

【答案】3

【分析】根据单项式的定义，数字与字母的乘积的形式，单个数字和单个字母也是单项式进行判断即可．

【详解】由题意得：

是单项式；是多项式，

∴单项式有3个，

故答案为：3．

【点睛】本题考查单项式的定义．熟练掌握概念是解题的关键．

题型四：单项式的系数和次数

【例4】单项式系数和次数说法正确的是（    ）

A．系数是，次数是 B．系数是，次数是

C．系数是，次数是 D．系数是，次数是

【答案】D

【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，分别得出答案即可．

【详解】解：单项式的系数为，次数为，

故选：．

【点睛】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数与系数的确定方法是解题的关键．

[变式1]单项式的系数和次数分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．

【详解】单项式的系数是，次数是．

故选：D．

【点睛】此题考查的是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．

[变式2]若单项式的次数是2，则常数m的值是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】根据单项式的次数是单项式中各个字母的指数和列方程求解即可．

【详解】解：∵单项式的次数是2，

∴，解得，

故选：C．

【点睛】本题考查单项式的次数，理解单项式的定义是解答的关键．

题型五：根据要求些单项式

【例5】请写出一个含字母x和y，系数为3，次数为3的单项式：______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据单项式系数和次数的定义求解即可.

【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，一个含有字母x、y且系数为3，次数为3的单项式可以写为：．

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查了单项式，要注意所写的单项式一定要符合单项式系数和次数的定义．

[变式1]写出一个满足下列三个条件： ①只含有字母x、y、z；②系数为；③次数为5的单项式_________________．

【答案】(答案不唯一）

【分析】根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可．

【详解】解：符合题意的单项式为（答案不唯一，只要符合要求即可），

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的相关定义是解题的关键．

[变式2]一个单项式满足下列两个条件：①系数是；②次数是4．写出一个满足上述条件的单项式：________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数，根据单项式的系数和次数的定义写出即可．

【详解】解：根据单项式的系数和次数的定义得：（答案不唯一）

【点睛】本题考查了单项式的系数和次数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．

一、单选题

1．若表示一个两位数，也表示一个两位数，小明想用、来组成一个四位数，且把放在的左边，你认为下列表达式中哪一个是正确的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，可知新的四位数中扩大了100倍，而没有变，从而可以用含、的代数式表示出这个四位数．

【详解】解：由题意可得新的四位数中扩大了100倍，而没有变，所以这个四位数是：，

故选C．

【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．

2．用代数式表示“与的和的平方”，正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先写出与的和，再表示平方，则代数式即可列出．

【详解】解：与的和的平方表示为：．

故选：C．

【点睛】本题考查了列代数式，注意代数式的正确书写：数字应写在字母的前面，数字和字母之间的乘号要省略不写．

3．下列各式中代数式的个数是（　　）

，，，，．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子进行判断．

【详解】下列各式中代数式的个数是：，，这三个是代数式，

故选：B．

【点睛】本题考查代数式，掌握代数式定义是解题关键．

4．下列各式符合代数式书写规范的是（    ）

A． B． C．个 D．

【答案】A

【分析】根据书写规则，数字应在字母前面，分数不能为假分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．

【详解】解：A、书写形式正确，故本选项正确；

B、正确书写形式为，故本选项错误；

C、正确书写形式为个，故本选项错误；

D、正确书写形式为，故本选项错误．

故选：A．

【点睛】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．

5．下列式子中，符合代数式的书写格式要求的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据代数式的书写规则，数字应在字母前面，分数要为假分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．

【详解】解：A、选项书写格式正确，符合题意；

B、正确的书写应为，选项书写错误，不符合题意；

C、正确的书写应为，选项书写错误，不符合题意；

D、正确的书写应为，选项书写错误，不符合题意；

故选：A．

【点睛】题目主要考查代数式的书写规则，熟练掌握代数式的书写规则是解题关键．

6．下列说法中：（1）奇数个负因数相乘积为负；（2）数轴是标有原点、单位长度的一条直线；（3）一个有理数不是整数就是分数；（4）绝对值相等的两数一定相等；（5）两个数比较，绝对值大的反而小；（6）是多项式；（7）已知m、n为正整数，则多项式的次数是；正确的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D

【分析】根据有理数的乘法，数轴的概念，有理数的分类，绝对值的意义，单项式和多项式的次数求解即可．

【详解】（1）奇数个负因数相乘积为负，正确，符合题意；

（2）数轴是标有原点、单位长度和正方向的一条直线，原说法错误，不符合题意；

（3）一个有理数不是整数就是分数，正确，符合题意；

（4）绝对值相等的两数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意；

（5）两个负数比较，绝对值大的反而小，原说法错误，不符合题意；

（6）是单项式，原说法错误，不符合题意；

（7）已知m、n为正整数，则多项式的次数是，正确，符合题意；

综上所述，正确的有（1）（3）（7），共3个，

故选：D．

【点睛】此题考查了有理数的乘法，数轴的概念，有理数的分类，绝对值的意义，单项式和多项式的次数，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

7．下列说法中，正确的是（    ）

A．是单项式 B．的系数是

C．不是单项式 D．的次数是3

【答案】D

【分析】根据单项式的定义，单项式次数和系数的定义逐一判断即可．

【详解】解：A、不是单项式，说法错误，不符合题意；

B、的系数是，说法错误，不符合题意；

C、是单项式，说法错误，不符合题意；

D、的次数是3，说法正确，符合题意；

故选D．

【点睛】本题主要考查了单项式的定义，单项式次数和系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数．

8．单项式的系数和次数分别是（   ）

A．3，5 B．3，6 C．，5 D．，6

【答案】D

【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可进行解答．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数．

【详解】解：单项式的系数为，次数为6，

故选：D．

【点睛】本题考查单项式、多项式及相关概念，解题的关键是掌握单项式系数、次数相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数．

9．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

【详解】解：A、系数是2，次数是3，故本选项符合题意；

B、系数是3，次数是3，故本选项不符合题意；

C、系数是2，次数是4，故本选项不符合题意；

D、系数是-2，次数是3，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．

二、填空题

10．写出一个只含有字母、的单项式，使它的系数为2，次数为3．_____________

【答案】2(答案不唯一)

【分析】利用单项式的系数、次数的定义求解即可．

【详解】解：含有字母m，n的单项式，使它的系数为2，次数为3．可列式为2mn2．

故答案为：2mn2．

【点睛】本题主要考查了单项式，解题的关键是熟知数和字母的乘积是单项式，单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数的和是单项式的次数．

11．写出一个只含字母x、y，并且系数为负数的三次单项式 _____．（提示：只要写出一个即可）

【答案】-x2y（答案不唯一）

【分析】只要根据单项式的定义写出此类单项式即可，（答案不唯一）．

【详解】详解：只要写出的单项式只含有两个字母x、y，并且系数为负数未知数的指数和为3即可．

故答案为：-x2y，（答案不唯一）．

【点睛】本题考查的是单项式的定义及单项式的次数，属开放性题目，答案不唯一．

12．观察下列单项式：0，…按此规律，则第n个单项式为_____．

【答案】

【分析】按照单项式系数和次数的变化规律即可得到答案．

【详解】解：分析可知：第n个单项式为：．

故答案为：．

【点睛】此题考查了单项式，找到单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键．

13．某市出租车收费标准为：起步价为10元，3千米后每千米的价格为元，小明乘坐出租车走了千米，则小明应付_________元．

【答案】

【分析】根据题意应付车费起步价超过3千米时应付的车费，据此列出代数式即可

【详解】解：由题意得，小明应付元，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键．

三、解答题

14．用代数式表示：

(1)比m的3倍大1的数．

(2)a、b两数的平方和减去它们的积．

(3)一个两位数，个位数字为a，十位数字为b．则这个两位数是多少？

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意，列出代数式即可；

（2）根据题意，列出代数式即可；

（3）根据两位数的表示方法，列出代数式即可．

【详解】（1）解：比m的3倍大1的数为：；

（2）解：a、b两数的平方和减去它们的积，表示为：；

（3）解：这个两位数为：．

【点睛】本题考查列代数式．根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键．

15．人体血液的质量约占人体体重的6%－7.5%．

(1)如果某人体重是a kg，那么他的血液质量大约在什么范围？

(2)亮亮体重是35kg，他的血液质量大约在什么范围？

【答案】(1)0.06a kg－0.075a kg

(2)2.1kg－2.625kg

【分析】（1）根据人体血液的质量占人体体重的6%－7.5%，再根据人体体重a kg，分别相乘即可．

（2）根据人体血液的质量占人体体重的6%－7.5%，再根据亮亮体重35kg，分别相乘求解即可．

(1)

解：，

答：血液质量大约在0.06a kg－0.075a kg范围．

(2)

解：，

答：血液质量大约在2.1kg－2.625kg范围．

【点睛】本题主要考查列代数式的问题，解题关键是找出所求量的等量关系．

16．如下数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并填空：

 (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数_____的平方，第8行共有_____个数；

 (2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是___________，最后一个数是_____，第n行共有_________个数．

【答案】(1) 64, 8 ,15 (2)-2n+2,  n2 , (2n－1).

【分析】（1）先从给的数中得出每行最后一个数是该行数的平方，即可求出第8行的最后一个数，再根据每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，即可求出第8行共有的个数；

（2）根据第n行最后一数为n2，得出第一个数为n2-2n+2，根据每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，即可得出答案.

【详解】(1)从给的数中可得，每行最后一个数是该行数的平方，

则第8行的最后一个数是=64，

每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，

第8行共有8×2−1=15个数；

故（1）答案为：64，8，15；

(2)由(1)知第n行的最后一数为，

则第一个数为： +1=−2n+2，

第n行共有2n−1个数；

故（2）答案−2n+2，，2n−1；

故答案为（1）64，8，15；（2）−2n+2，，2n−1.

【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，列代数式.