2023年广东省中考数学第一轮复习卷：9三角形

这是一份2023年广东省中考数学第一轮复习卷：9三角形，共29页。
2023年广东省中考数学第一轮复习卷：9三角形
一．选择题（共13小题）
1．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（　　）
A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形
2．（2022•广东）如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝（　　）

A．14B．12C．1D．2
3．（2022•云安区模拟）如图，在△ABC中∠A＝65°，点O是△ABC两内角平分线的交点，则∠BOC的度数是（　　）

A．130°B．115°C．57.5°D．122.5°
4．（2022•禅城区校级模拟）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC……＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OF的长为（　　）

A．63B．9C．923D．274
5．（2022•东莞市校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是（　　）

A．40°B．50°C．60°D．70°
6．（2022•东莞市校级二模）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为（　　）
A．5B．125C．374D．374或125
7．（2022•惠阳区校级二模）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，点D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点，若AB＝8，EF＝2，则线段AC的长为（　　）

A．7.5B．12C．15D．17
8．（2022•梅州模拟）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝24，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为（　　）

A．2B．3C．4D．5
9．（2022•龙岗区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C、E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝50°，则∠CBD的大小是（　　）

A．25°B．40°C．50°D．65°
10．（2022•三水区校级三模）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即c=a2+b2（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是（　　）
A．1B．2C．3D．4
11．（2022•深圳三模）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的周长是3cm，则△ABC的周长为（　　）

A．6cmB．9cmC．3cmD．12cm
12．（2022•增城区二模）直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（　　）
A．5B．10C．15D．20
13．（2022•白云区二模）在Rt△ABC中，点D是斜边BC上的中点，连接AD．若∠C＝68°，则∠CAD＝（　　）
A．22°B．68°C．96°D．112°
二．填空题（共7小题）
14．（2022•深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝25，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为 　 　．

15．（2022•天河区校级模拟）如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，若∠CAB′＝25°，则∠B'AB的度数为 　 　．

16．（2022•茂南区一模）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 　 　cm．

17．（2022•潮安区模拟）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则cosθ﹣sinθ＝　 　．

18．（2022•龙岗区校级模拟）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 　 　．

19．（2022•东莞市校级二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（﹣32，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 　 　．

20．（2022•海珠区校级二模）如图所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD＝PD，则PB的取值范围为 　 　．

三．解答题（共9小题）
21．（2022•广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．

22．（2022•广东）如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：△OPD≌△OPE．

23．（2022•新兴县校级模拟）如图，△AOB和△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，C，P分别是AD，AB边的中点，PC＝1，连接AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）求AB的长．

24．（2022•蓬江区模拟）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为12ab，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．在a2+b2≥2ab中，若a＞0，b＞0，用a、b代替a，b得，a+b≥2ab，即a+b2≥ab（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求这个式子的最大最小值．我们以“已知x为实数，求y=x2+4x2+1的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知y=x2+1+3x2+1=x2+1+3x2+1，
∴x2+1＞0，3x2+1＞0，
∴y=x2+1+3x2+1≥2x2+1⋅3x2+1=23，当且仅当x2+1=3x2+1时取等号，即当x=2时，函数的最小值为23．
总结：利用基本不等式a+b2≥ab（a＞0，b＞0）求最值，若ab为定值．则a+b有最小值．
访同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应x的取值．
（1）若x＞0，求y＝2x+2x的最小值；
（2）若x＞2，求y＝x+1x−2的最小值；
（3）若x≥0，求y=x+4x+13x+2的最小值．

25．（2022•新兴县校级模拟）如图，在等边△ABC的上方有一点D，AD＝CD，E为BC边上一点，DE∥AB交AC于点F且CF＝DF．
（1）求证：△DCE是直角三角形；
（2）若CF＝4，求BC的长．

26．（2022•曲江区校级模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．

27．（2022•顺德区校级三模）已知：A（a，0），B（0，b）．
（1）当a＝b时，点M为线段AB上的一点（点M不与A，B重合，其中BM＞AM），以点M为直角顶点，OM为腰作等腰直角△MON，连接BN，求∠NBO的度数．
（2）当a＝﹣3，b＝6，连接AB，若点D（9，0），过点D作DE⊥AB于点E，点B与点C关于x轴对称，点F是线段DE上的一点（点F不与点E，D重合）且满足DF＝AB，连接AF，试判断线段AC与AF之间的位置关系和数量关系，并证明你的结论．

28．（2022•濠江区一模）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）求证：DE＝BD+CE．
（2）若AD＝3，BD＝CE＝2，求BC的值．

29．（2022•潮安区模拟）△ABC如图所示，作∠A的角平分线交BC于点D，作线段AD的垂直平分线分别交AC、AB于点E、F．若AF＝4，CE＝6，BD＝3，求BC的长．


2023年广东省中考数学第一轮复习卷：9三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（　　）
A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形
【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：A．
2．（2022•广东）如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝（　　）

A．14B．12C．1D．2
【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，BC＝4，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=12×4＝2，
故选：D．
3．（2022•云安区模拟）如图，在△ABC中∠A＝65°，点O是△ABC两内角平分线的交点，则∠BOC的度数是（　　）

A．130°B．115°C．57.5°D．122.5°
【解答】解：∵∠A＝65°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣65°＝115°．
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）=12×115°＝57.5°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣57.5°＝122.5°．
故选：D．
4．（2022•禅城区校级模拟）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC……＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OF的长为（　　）

A．63B．9C．923D．274
【解答】解：在Rt△AOB中，
∵∠AOB＝30°，OA＝16，
∴AB=12AB＝8，OB＝83，
同理，OC=32OB，OD=32OC＝（32）2OB，
∴OF＝（32）4OB＝（32）4×83=932，
故选：C．
5．（2022•东莞市校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是（　　）

A．40°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：∵DE∥AB，∠BDE＝50°，
∴∠ABD＝∠BDE＝50°，
而BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°．
故选：B．
6．（2022•东莞市校级二模）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为（　　）
A．5B．125C．374D．374或125
【解答】解：设直角三角形斜边上的高为h，
当长为4的边是直角边时，斜边长=32+42=5，
则12×3×4=12×5×h，
解得：h=125，
当当长为4的边是斜边时，另一条直角边长=42−32=7，
12×3×7=12×4×h，
解得：h=374，
综上所述，直角三角形斜边上的高为125或374，
故选：D．
7．（2022•惠阳区校级二模）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，点D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点，若AB＝8，EF＝2，则线段AC的长为（　　）

A．7.5B．12C．15D．17
【解答】解：∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝8，
∴DE=12AB＝4，
∵EF＝2，
∴DF＝DE+EF＝4+2＝6．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝12．
故选：B．
8．（2022•梅州模拟）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝24，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为（　　）

A．2B．3C．4D．5
【解答】解：设大正方形的边长为c，
则c2＝14＝a2+b2，
∵（a+b）2＝24，
∴a2+2ab+b2＝24，
解得ab＝5，
∴小正方形的面积是：14−ab2×4＝14﹣2×5＝14﹣10＝4，
故选：C．
9．（2022•龙岗区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C、E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝50°，则∠CBD的大小是（　　）

A．25°B．40°C．50°D．65°
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ACB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
由题意可知，BC＝BE，
∴∠BEC＝∠ACB＝65°，
∴∠CBE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠CBD=12∠CBE＝25°．
故选：A．
10．（2022•三水区校级三模）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即c=a2+b2（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是（　　）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：依题意“弦”为22+32=13，
而3.5=12.25＜13＜16=4，
∴“弦”最接近的整数是4．
故选：D．
11．（2022•深圳三模）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的周长是3cm，则△ABC的周长为（　　）

A．6cmB．9cmC．3cmD．12cm
【解答】解：∵△ADE的周长是3cm，
∴AD+AE+DE＝3cm，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴AB＝2AD，AC＝2AE，BC＝2DE，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（AD+AE+DE）＝6cm，
故选：A．
12．（2022•增城区二模）直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（　　）
A．5B．10C．15D．20
【解答】解：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得斜边长＝2×10＝20，
故选：D．
13．（2022•白云区二模）在Rt△ABC中，点D是斜边BC上的中点，连接AD．若∠C＝68°，则∠CAD＝（　　）
A．22°B．68°C．96°D．112°
【解答】解：如图，

∵点D是斜边BC上的中点，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝68°，
故选：B．
二．填空题（共7小题）
14．（2022•深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝25，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为 　354　．

【解答】解：将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，延长HE交BC于G，

∴△BDH是等腰直角三角形，
∴∠HBD＝45°，
∵∠FBD＝45°，
∴点B、F、H共线，
又∵△EDC是等腰直角三角形，
∴HD＝BD，∠EDH＝∠CDB，ED＝CD，
∴△EDH≌△CDB（SAS），
∴EH＝CB＝5，∠DHE＝∠CBD，
∴∠BGH＝∠BDH＝90°，
∴HE∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴ABEH=AFEF=AFAE−AF，
∵AE＝25，
∴35=AF25−AF，
∴AF=354，
故答案为：345．
15．（2022•天河区校级模拟）如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，若∠CAB′＝25°，则∠B'AB的度数为 　20°　．

【解答】解：∠B′AB＝∠CAB﹣∠CAB′＝45°﹣25°＝20°．
故答案为：20°．
16．（2022•茂南区一模）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 　15　cm．

【解答】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，AE＝1cm，BD＝2cm，CD＝12cm，作AF⊥CD，


∵底面周长为24cm，
∴EC＝12cm，
∵AF⊥CD，
∴AE＝CF＝1cm，
∴AB=AF2+BF2=122+(12−1−2)2=15（cm），
故答案为：15．
17．（2022•潮安区模拟）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则cosθ﹣sinθ＝　25　．

【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是4，
∴大正方形的边长AB＝5，小正方形的边长CD＝2，

∵AC＝BD，
∴cosθ﹣sinθ=ADAB−BDAB=AD−BDAB=CDAB=25，
故答案为：25．
18．（2022•龙岗区校级模拟）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 　210−4　．

【解答】解：如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．

∵OA＝OB＝4，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝2，
∴AH＝AO+OH＝6，
∴AT=AH2+HT2=62+22=210，
∵∠OCT＝∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝∠TCE，
在△OCD和△TCE中，
CO=CT∠OCD=∠TCECD=CE，
∴△OCD≌△TCE（SAS），
∴ET＝OD＝4，
∵AE≥AT﹣ET＝210−4，
∴AE的最小值为210−4．
故答案为：210−4．
19．（2022•东莞市校级二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（﹣32，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 　32−3　．

【解答】解：如图，过点P作直线l与x轴夹角为45°，交x轴于点D，过A点作直线l′⊥l，交点为C，

∴ADC＝45°，∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝45°，
∵∠CAP+∠PAO＝45°，∠BAO+PAO＝45°，
∴∠CAP＝∠BAO，
∵∠ACP＝∠AOB＝90°，
∴∠APC＝∠ABO，
在△ACP和△AOB中，
∠ACP=∠AOB=90°∠APC=∠ABOAP=AB，
∴△ACP≌△AOB（AAS），
∴点P的运动轨迹在直线l上，
∴当OP⊥l时，OP最短，
当OP⊥l时，△OPD为等腰直角三角形，
∵△ACP≌△AOB，
∴AO＝AC＝32，
在等腰直角三角形ACD中，AD＝6，
∴OD＝AD﹣AO＝6﹣32，
∴OP＝32−3．
即OP最小值为32−3．
故答案为：32−3．
20．（2022•海珠区校级二模）如图所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD＝PD，则PB的取值范围为 　4﹣22≤PB≤4+22　．

【解答】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABF，延长AF至点E．使AF＝EF，连接EP，BE．

∵△CBD和△ABF都是等腰直角三角形，
∴BCBD=BABF=2，∠CBD＝∠ABF＝45°，
∴∠CBD﹣∠CBF＝∠ABF﹣∠CBF，即∠FBD＝∠ABC，
∴△ABC∽△FBD，
∴ACDF=BCBD=2，
∵AC＝2，
∴DF=AC2=22=2，
∵AD＝DP，AF＝FE，
∴DF是△AEP的中位线，
∴EP＝2DF＝22，
∵△ABF是等腰直角三角形，AF＝FE，
∴BF垂直平分AE，
∴BA＝BE，
∵AB＝4，
∴BE＝4，
∴4﹣22≤PB≤4+22，
故答案为：4﹣22≤PB≤4+22．
三．解答题（共9小题）
21．（2022•广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．

【解答】证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
22．（2022•广东）如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：△OPD≌△OPE．

【解答】证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOP＝∠EOP，
在△OPD和△OPE中，
∠ODP=∠OEP∠DOP=∠EOPOP=OP，
∴△OPD≌△OPE（AAS）．
23．（2022•新兴县校级模拟）如图，△AOB和△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，C，P分别是AD，AB边的中点，PC＝1，连接AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）求AB的长．

【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB﹣∠COB＝∠COD﹣∠COB，
即∠AOC＝∠BOD，
∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴OC＝OD，OA＝OB，
在△AOC与△BOD中，
OC=OD∠AOC=∠BODOA=OB，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
AC＝BD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠BAD+∠DAO+∠ABO＝90°，点A、C、D在同一条直线上，
∴∠BAD+∠DBO+∠ABO＝90°，
即∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠BAD+∠ABD）＝90°；
∵C、P分别是AD、AB的中点，∠ADB＝90°，PC＝1，
∴PB＝AP，PC∥BD，BD＝2PC＝2，AC＝CD，
∴∠PCA＝∠ADB＝90°，
由（1）得AC＝BD＝2，
∴AD＝4，CD＝AC＝2，
在Rt△ABD中，AB=AD2+BD2=25．
24．（2022•蓬江区模拟）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为12ab，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．在a2+b2≥2ab中，若a＞0，b＞0，用a、b代替a，b得，a+b≥2ab，即a+b2≥ab（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求这个式子的最大最小值．我们以“已知x为实数，求y=x2+4x2+1的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知y=x2+1+3x2+1=x2+1+3x2+1，
∴x2+1＞0，3x2+1＞0，
∴y=x2+1+3x2+1≥2x2+1⋅3x2+1=23，当且仅当x2+1=3x2+1时取等号，即当x=2时，函数的最小值为23．
总结：利用基本不等式a+b2≥ab（a＞0，b＞0）求最值，若ab为定值．则a+b有最小值．
访同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应x的取值．
（1）若x＞0，求y＝2x+2x的最小值；
（2）若x＞2，求y＝x+1x−2的最小值；
（3）若x≥0，求y=x+4x+13x+2的最小值．

【解答】解：（1）∵y＝2x+2x，
∴y＝2x+42x，
∵x＞0，
∴2x＞0，
∴y＝2x+42x≥2⋅2x⋅42x=4，
当且仅当2x=42x时取等号，
当x＝1时，函数的最小值为4；
（2）∵y＝x+1x−2，
∴y＝x﹣2+1x−2+2，
∵x＞2，
∴x﹣2＞0，
∴y＝x﹣2+1x−2+2≥2⋅(x−2)⋅1x−2+2＝2+2＝4，
当且仅当x﹣2=1x−2时取等号，
当x＝3时，函数的最小值为4；
（3）∵y=x+4x+13x+2，
∴y=x+4x+4+9x+2=(x+2)2+9x+2=x+2+9x+2，
∵x≥0，
∴x+2≥2，
∴y=x+2+9x+2≥2(x+2)⋅9x+2=6，
当且仅当x+2=9x+2时取等号，
∴x=1，
∴x＝1，
当x＝1时，函数的最小值为6．
25．（2022•新兴县校级模拟）如图，在等边△ABC的上方有一点D，AD＝CD，E为BC边上一点，DE∥AB交AC于点F且CF＝DF．
（1）求证：△DCE是直角三角形；
（2）若CF＝4，求BC的长．

【解答】（1）证明：在等边△ABC中，有∠CAB＝∠ACB＝∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠CFE＝∠CAB＝60°＝∠ACD+∠CDE，
∵CF＝DF，
∴∠ACD＝∠CDE＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴△DCE是直角三角形；
解：（2）连接DB交AC于点O，如下图：

由（1）得：∠BCD＝90°，∠CDE＝30°，DF＝CE＝CF＝4，
∴CD＝43，
∵AD＝CD，
∴D在AC的垂直平分线上，
在等边△ABC中，有AB＝BC，
∴B在AC的垂直平分线上，
∴DB是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，AC⊥DB，
∴OC＝CDcos∠ACD＝43×32=6，
∴BC＝AC＝2CO＝12．
26．（2022•曲江区校级模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．

【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∴AD是△ABC的角平分线，
即AD平分∠BAC．
27．（2022•顺德区校级三模）已知：A（a，0），B（0，b）．
（1）当a＝b时，点M为线段AB上的一点（点M不与A，B重合，其中BM＞AM），以点M为直角顶点，OM为腰作等腰直角△MON，连接BN，求∠NBO的度数．
（2）当a＝﹣3，b＝6，连接AB，若点D（9，0），过点D作DE⊥AB于点E，点B与点C关于x轴对称，点F是线段DE上的一点（点F不与点E，D重合）且满足DF＝AB，连接AF，试判断线段AC与AF之间的位置关系和数量关系，并证明你的结论．

【解答】（1）解：如图1，设ON与AB交于点G，
∵A（a，0），B（0，b），且a＝b，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBG＝∠OAB＝45°，
∵MN＝MO，∠OMN＝90°，
∴∠MNG＝∠MON＝45°，
∴∠OBG＝∠MNG，
∵∠OGB＝∠MGN，
∴△OGB∽△MGN，
∴BGNG=OGMG，
∴BGOG=NGMG，
∵∠BGN＝∠OGM，
∴△BGN∽△OGM，
∴∠NBG＝∠MON＝45°，
∴∠NBO＝∠OBG+∠NBG＝90°．
（2）解：AC＝AF，AC⊥AF，
证明：∵a＝﹣3，b＝6，D（9，0），
∴A（﹣3，0），B（0，6），
∵点B与点C关于x轴对称，
∴C（0，﹣6）
∴CB＝6﹣（﹣6）＝12，AD＝9﹣（﹣3）＝12，
∴CB＝AD，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠AED＝∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠ABC＝∠FDA＝90°﹣∠OAB，
在△ABC和△FDA中，
AB=FD∠ABC=∠FDACB=AD，
∴△ABC≌△FDA（SAS），
∴AC＝AF，∠ACB＝∠FAD，
∴∠CAF＝∠OAC+∠FAD＝∠OAC+∠ACB＝90°，
∴AC⊥AF．

28．（2022•濠江区一模）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）求证：DE＝BD+CE．
（2）若AD＝3，BD＝CE＝2，求BC的值．

【解答】（1）证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠DBO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ACO，
∴DO＝DB，EO＝EC，
∴DE＝DB+CE；
（2）解：∵BD＝CE＝2，AD＝3，
∴DE＝4，AB＝AD+DB＝5，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝DE：BC，
即3：5＝4：BC，
∴BC=203．
29．（2022•潮安区模拟）△ABC如图所示，作∠A的角平分线交BC于点D，作线段AD的垂直平分线分别交AC、AB于点E、F．若AF＝4，CE＝6，BD＝3，求BC的长．

【解答】解：如图：

∵MN垂直平分线段AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵∠AEF+∠EAD＝90°，∠AFE+∠FAD＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝ED＝DF＝AF，
∴四边形AFDE是菱形．
∴DE∥AC，AE＝AF＝DF＝4，
∴BDBC=DFAC，
∴3BC=410，
∴BC=152．