06、初中数学.一元一次方程的概念及解法.第06讲

板块一  等式与方程的概念

☞等式的概念：

用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．

在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．

等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．

☞等式有如下几种类型(仅做了解)．

恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式．

条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程需要才成立．

矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如，．

等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．

【例1】         下列各式中，哪些是等式

⑴   ⑵  ⑶  ⑷  ⑸  ⑹

【解析】等式的概念

【答案】⑵⑷⑸⑹

☞方程和它的解

方程：含有未知数的等式叫方程，如，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数

方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。

☞关于方程中的未知数和已知数：

已知数：一般是具体的数值，如中(的系数是1，是已知数．但可以不说)．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有、、、、等表示．

未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．

【例2】         下列各式中哪些是方程

⑴     ⑵      ⑶       ⑷ 

⑸          ⑹         ⑺       ⑻

【解析】方程的概念

【答案】⑶⑷⑹⑺⑻

【巩固】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由

⑴      ⑵      ⑶

⑷         ⑸      ⑹

【解析】判断一个式子是不是方程，一要看是否为等式，二要看是否含未知数．

【答案】⑴是方程；⑵是方程；⑶不是方程；⑷不是方程；⑸是方程；⑹是方程

【例3】         检验下列各数是不是方程的解

⑴；  ⑵

【解析】方程的解（注意严格要求学生的书写格式，不能直接将数值代入方程，如，这样写不对的原因在于未检验之前，并不知道是否是方程的解）

【答案】⑴把分别代入原方程的左边和右边，得

左边，右边

∴左边右边

∴是方程的解

⑵把分别代入原方程的左边和右边，得

左边，右边

∵左边右边

∴不是方程的解

【巩固】检验下列各数是不是方程的解

⑴    ⑵    ⑶

【解析】方程的解

【答案】⑴把分别代入原方程的左边和右边，得

左边，右边

∴左边右边

∴是方程的解

⑵把分别代入原方程的左边和右边，得

左边，右边

∵左边右边

∴不是方程的解

⑶把分别代入原方程的左边和右边，得

左边，右边

∴左边右边

∴是方程的解

【例4】         若为关于的一元一次方程，的解，则的值是        

【解析】将代入原方程中，即可求解

【答案】

【巩固】关于的方程的根是，则等于         

【解析】略

【答案】

板块二  等式的性质

☞等式的性质：

等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．

若，则；

等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式．

若，则，

☞注意：

⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．

即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边

⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．

⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到：

对称性，即：如果，那么．

传递性，即：如果，，那么．又称为等量代换

易错点：等号左右互换的时候忘记变符号

【例5】         根据等式的性质填空：

(1)，则______；           (2)，则       ；

(3)，则_________；         (4)，则__________．

【解析】(1)，在等式两端同时加上；(2)，在等式两端同时加上；

(3)，在等式的两端同时乘以；(4)，在等式的两端同时乘以．

【答案】(1) (2) (3) ；(4)

【巩固】下列变形中，不正确的是(    )

A．若，则                B．若则

C．若，则          D．若，则

【解析】根据等式的性质二，除数不能为

【答案】A

【巩固】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．

⑴如果，那么____________；根据                

⑵如果，那么_________；根据                

⑶如果，那么______；根据                

⑷如果，那么_____________；根据                

【解析】略

【答案】⑴，等式的性质1；⑵，等式的性质1；⑶，等式的性质2；⑷，等式的性质2

板块三  一元一次方程的概念

☞一元一次方程的概念：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．

☞一元一次方程的形式：

最简形式：方程(，，为已知数)叫一元一次方程的最简形式．

标准形式：方程(其中，，是已知数)叫一元一次方程的标准形式．

☞注意：

⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．

⑵方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成

【例6】         下列各式中：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻．哪些是一元一次方程？

【解析】方程、等式的概念

【答案】(6)、(8)是一元一次方程．其他均不是

【巩固】下列方程是一元一次方程的是(    )．

A．   B．   C．    D．

【解析】略

【答案】B

【巩固】在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中，属于一次方程的序号填入圆圈⑵中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．

①：②；③：④；⑤：⑥．

【解析】一元一次方程的定义

【答案】如图

【例7】         若是一元一次方程，那么         

【解析】一元一次方程的定义

【答案】

【巩固】若关于的方程是一元一次方程，则        

【解析】

【答案】

【巩固】若关于的方程是一元一次方程，则         ，方程的解是      

【解析】一元一次方程的定义

【答案】原方程化为一般形式得，则，∴，

【巩固】已知关于的方程是一元一次方程，则、需要满足的条件为        

【解析】一元一次方程的定义

【答案】且，即且

板块四  一元一次方程的解法

☞解一元一次方程的一般步骤：

1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．

温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．

2．去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号．

温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．

3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项  移到方程的另一边．

温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项．

4．合并同类项：把方程化成的形式．

温馨提示：字母和其指数不变．

5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数( )，得到方程的解 ．

温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．

【例10】     下列等式中变形正确的是（     ）

A.若，则    B. 若，则

C. 若，则    D. 若，则

【解析】考查去分母解方程第一步骤，学生很容易出现漏乘等问题造成失分

【答案】D

【例11】    

【解析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解答

【答案】．

【巩固】解方程：⑴       ⑵

【解析】略

【答案】⑴；⑵

【巩固】解方程：

(1)；(2)；

(3)

【解析】略

【答案】(1)；(2)；(3)．

☞先变形、再解方程

本类型题：需要先利用等式的基本性质，将小数化为整数，然后再进行解方程计算

【例12】     解方程：．

解：原方程可化为

去分母，得                             ．根据等式的性质(    )

去括号，得                             ．

移项，得                               ．根据等式的性质(    )

合并同类项，得                         ．

系数化为，得                          ．根据等式的性质(    )

【解析】注意解方程的基本步骤与等式的性质

【答案】去分母，得．根据等式的性质1

去括号，得．

移项，得．根据等式的性质1

合并同类项，得．系数化为，得．根据等式的性质2

【例13】    

【解析】略

【答案】原方程可变形为

去分母得

去括号得

移项、合并得

∴

【巩固】解下列方程：

⑴；

⑵；

⑶

⑷

⑸

⑹

⑺

⑻

【解析】解这类方程通常先应用分数的基本性质，将系数化为整数

⑴原方程可化为，而后解得；

⑵原方程可化为

去分母

解得；

⑶原方程可化为，解得．

⑷原方程可化为，则，解得．

⑸原方程可化为，解得．

⑹解得．

⑺解得．

⑻解得．

【答案】略

☞逐层去括号

含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内。

【例14】     解方程：

【解析】原方程可变形为

整理得

解得

【答案】

【巩固】解方程：．

【解析】，

，

，．

【答案】

【例15】     解方程：

【解析】注意一定去括号的顺序，解得．

【答案】

【巩固】解方程：

【解析】略

【答案】

【巩固】解下列方程：

(1)

(2)

【解析】(1)略；

(2)原方程可化为：，

，．

【答案】（1）  （2）

☞整体思想

注意观察方程中，完全一样的整式

【例16】     解方程：

【解析】原方程可变为：，

即，又，所以，即．

【答案】

【巩固】方程

【解析】按常规去括号整理后再解，显然较繁，应用整体思想求解，

，括号，移项，可解得．

【答案】

【巩固】解方程：

【解析】这一方程在变换过程中，宜将作为一个整体．方程两边同乘以6，

得，，

，．

【答案】

1. 下列各式不是方程的是：(    )

A．        B．        C．        D．

【解析】略

【答案】C．

2. 解方程⑴             ⑵

⑶               ⑷

【解析】略

【答案】⑴ ．⑵ ．⑶．⑷．

3. 解方程：

【解析】原方程可化为，解得．

【答案】

1. 解方程 ：

⑴

⑵

【解析】⑴，，．

⑵按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解答可得：．

【答案】⑴．⑵

2. 解方程：

【解析】略

【答案】解得

3. 解方程：

【解析】原方程可化为，解得．

【答案】．

4. 求方程的解．

【解析】原方程可化为：，注意在运算过程中把视为一个整体，解得．

【答案】