2023年广东省汕头市金平区金禧中学中考一模数学试题（含解析）

2023年广东省汕头市金平区金禧中学中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在数，，，，，5中，无理数的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位．“二万八千亿”用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．下列计算中，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（    ）

A． B．

C． D．

5．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（　　）

A．55° B．45° C．35° D．30°

6．关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

7．某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是，对于这组数据，下列判断错误的是（    ）

A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是

8．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以为直径的圆过C，D两点，则的值为（　　）

A． B． C． D．

9．如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若，则的长度为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．16

10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．分解因式：x3﹣6x2+9x=___．

12．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是_______m.

13．如图，，，，则的度数是______．

14．如图，A，B，C，D，E五个顶点均在小正方形组成的网格的格点上．若于点F，且，则的长为_______．

15．如图，直线与曲线…分别交于点，过点作x轴和y轴的垂线，围成如图所示的“7字形”阴影部分，分别记作，则__________．

三、解答题

16．计算：．

17．先化简：（）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．

18．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是AB和BC上的点，且AM＝CN．求证：∠DMN＝∠DNM．

19．某校在宣传“中华民族大团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗通，D．唱歌．学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

请结合题图中所给信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生共有__________人；

(2)补全条形统计图；

(3)该校共有3600名学生，请估计喜欢唱歌的学生有多少人？

(4)某班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位学生表现优秀，现从这四位学生中随机选出两名学生参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．

20．某学校在纪念“五四”青年节歌咏比赛活动中，准备购买一些围棋和篮球作为奖品发放．每个篮球的价格比每副围棋价格的4倍多50元，且100元购买的围棋数量与600元购买的篮球数量相同．

(1)求围棋和篮球的的单价各是多少元；

(2)若该学校决定购买围棋和篮球共计200份作为奖品，并要求购买围棋的数量不超过篮球数量的4倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

21．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为和，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，与y轴相交于点E．

(1)求证：；

(2)求点E的坐标；

(3)若点F在线段上，且F点的坐标为时，连接．试证明四边形是菱形．

22．如图，为的切线，B为切点，直线交于点E，F，过点B作的垂线，垂足为点D，交于点A，延长与交于点C，连接．

(1)求证：直线 为的切线；

(2)求证：；

(3)若，，求的值和线段的长．

23．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与y轴的交点为B，连接，作，交y轴于点C，作轴，交y轴于点D．

(1)当时，求点B的坐标；

(2)求线段的长；

(3)设点C关于点A的对称点为点E，点E的坐标为，求y关于x的函数表达式；

(4)以A、B、E为顶点作平行四边形，当第四个顶点P恰好在（3）所确定的函数图像上时，请直接写出t的值．

参考答案：

1．B

【分析】根据无理数的定义，即可求解．

【详解】解：，

所以无理数有：，，共2个．

故选：B

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．

2．C

【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．

【详解】解：二万八千亿 ，

故选C．

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．

3．B

【分析】根据二次根式的加减运算、乘法运算、除法运算以及二次根式的性质逐项排查即可解答．

【详解】解：A．2与不能合并，所以A选项不符合题意；

B． ，所以B选项符合题意；

C． ，所以C选项不符合题意；

D．，所以D选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算、乘法运算、除法运算、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．

4．C

【分析】根据从左面看所得到的图形即可解答．

【详解】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示：

故选：C．

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在左视图中．

5．A

【分析】延长与的延长线交于点F，根据平行线的性质可得，则．

【详解】解：延长与的延长线交于点F，

依题意可知：，

∴，，

∵，

∴，

∴．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和为．

6．A

【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．

【详解】解：

其中，，，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

7．D

【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义求解判断即可．

【详解】解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数是8，

∴这组数据的中位数为8，故B不符合题意；

∵这组数据中8出现了3次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数为8，故A不符合题意；

这组数据的平均数为，故C不符合题意；

这组数据的方差为 ，故D符合题意；

故选D．

【点睛】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，方差，熟知平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键．

8．A

【分析】连接、，先根据勾股定理求出，再根据圆周角定理得到，，根据正弦的定义解答即可．

【详解】解：连接、，

∵是圆的直径，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查的是解直角三角形、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定理是解题的关键．

9．C

【分析】由作图可知：平分,再由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，最后根据即可解答．

【详解】解：由作图可知：平分，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，根据题意得到平分是解答本题的关键．

10．C

【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．

【详解】解：连接AE，如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．

又BE＝CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS）．

∴AE＝BF．

所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．

作点A关于BC的对称点H点，如图2，

连接BH，则A、B、H三点共线，

连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．

根据对称性可知AE＝HE，

所以AE+DE＝DH．

在Rt△ADH中，DH＝

∴BF+DE最小值为4．

故选：C．

【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，能够作出辅助线将线段转化是解题的关键．

11．x（x﹣3）2

【详解】解：x3﹣6x2+9x

=x（x2﹣6x+9）

=x（x﹣3）2

故答案为：x（x﹣3）2

12．16

【分析】利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．

【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高，

∴，

解得：，

则（m）．

故答案为：16．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．

13．/20度

【分析】先利用平行线的性质得到，再利用等边对等角和三角形外角的性质即可得到的度数．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，，

∴．

故答案为：

【点睛】此题考查了平行线的性质、等边对等角、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．

14．

【分析】设，，，根据勾股定理计算出，证明，根据相似三角形对应边成比例可得，代入计算即可．

【详解】解：由图可知，设，，，

则，

，

，

又，

，

，即，

解得，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明．

15．

【分析】根据反比例函数的几何意义可得到规律，由此即可得到答案．

【详解】解：如图所示，由反比例函数比例系数的几何意义可得：

，

，

…

∴，

∴，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．

16．

【分析】先有理数的乘方、绝对值、立方根、负整数指数幂运算，再加减运算即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题考主要查有理数的乘方、绝对值、立方根、负整数指数幂，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．

17．；．

【分析】先把括号内的两项通分后利用同分母分式的加减法法则进行计算，同时把除法转化为乘法，最后约分化成最简分式，根据分式有意义的条件选择一个a值代入求值即可．

【详解】解：

=

=

=

=

当a=-3、-1、1、0时，原式没有意义，舍去，

当a=-2时，原式=．

【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质及分式有意义的条件是解题关键．

18．证明见解析

【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，利用SAS证明得到DM=DN，则∠DMN=∠DNM．

【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，

在和中，

∴，

∴DM=DN，

∴∠DMN=∠DNM．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．

19．(1)

(2)见解析

(3)人

(4)

【分析】（1）将两个统计图信息关联即可求解；（2）调查的总人数可知，求得参加B项目的人数，补全条形统计图即可；（3）用样本估计总体即可；（4）画出树状图，根据概率公式求解即可．

【详解】（1）由条形统计图可知参加A项目的人数为30人，由扇形统计图可知参加A项目的人数所占的百分比为，故本次调查的总人数为：（人）

（2）参加B项目的人数为：（人），补全条形统计图如下所示：

（3）抽样调查中，喜欢“唱歌”的人数为40人，其所占的百分比为，

故名学生，估计喜欢唱歌的学生有（人）

（4）甲、乙、丙、丁四位同学任选两位的所有可能情况如下树状图所示：

被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况

故被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．

【点睛】本题考查了条形统计图及扇形统计图，将条形统计图与扇形统计图信息相关联是解答本题的关键．

20．(1)围棋的单价为25元，篮球的单价为150元；

(2)购买160副围棋，40个篮球时，学校花费最少．

【分析】（1）设围棋的单价为x元，篮球的单价为元．根据“100元购买的围棋数量与600元购买的篮球数量相同”可列出分式方程，求解即可解答；

（2）设购买副围棋，则购买个篮球，根据“要求购买围棋的数量不超过篮球数量的4倍”列出不等式，求出n的取值范围．再列出总费用W关于n的函数解析式，根据增减性即可求解．

【详解】（1）设围棋的单价为x元，篮球的单价为元．根据题意，得

解得：

经检验，是该方程的解．

答：围棋的单价为25元，篮球的单价为150元．

（2）设购买副围棋，则购买个篮球．根据题意，得

解得

∵总花费（元）

随n的增大而减小

∴当时，W有最小值，为

此时

即购买160副围棋，40个篮球时，学校花费最少，为10000元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到数量关系，列出方程、不等式、函数表达式．

21．(1)见解析

(2)

(3)见解析

【分析】（1）由矩形的性质可得，，由轴对称的性质可得，，等量代换可得，，最后根据即可证明；

（2）用勾股定理解，求出的长度即可得出点E的坐标；

（3）根据相关点的坐标可证，再结合，可证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是菱形．

【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，

∴，，

∵把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，

∴，，

∴，，

在与中，

，

∴；

（2）解：∵矩形中，点A、C的坐标分别为和，

∴，，

由折叠的性质得:，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

解得，

∴；

（3）证明：如图，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴四边形为平行四边形．

∵在中，，

∴，

∴，

∴四边形为菱形．

【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定，勾股定理，菱形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握折叠的性质（前后对应边相等、对应角相等）及菱形的判定方法．

22．(1)见解析

(2)见解析

(3)，

【分析】（1）连接，根据垂径定理的知识，得出，，继而证明，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论；

（2）先证明，利用相似三角形的性质得出与的关系，然后将代入关系式即可；

（3）根据题意可确定是的中位线，设，然后利用三角函数的知识表示出，在中，利用勾股定理解出x的值，继而能求出．进一步计算即可求解．

【详解】（1）解：连接，

∵为的切线，

∴，

∵，于D，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴直线为的切线；

（2）证明：∵

∴，，

∴，

∴，

∴，即，

又∵，

∴；

（3）解：∵，，

∴（三角形中位线定理），

设，

∵，

∴，，

在中，由勾股定理，得，

解之得，，（不合题意，舍去），

∴，

∵是直径，

∴，

又∵，，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，综合考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目是能灵活运用．

23．(1)点B的坐标为

(2)

(3)所求函数的解析式为：

(4)t的值为或或2

【分析】（1）把代入解析式，化简计算即可．

（2）确定A，B，D的坐标，后证明代入计算即可．

（3）过点E作垂线交延长线于F，证明，确定点E的坐标，后消去t即可得到解析式．

（4）按照平行四边形的判定，适当分类计算求解即可．

【详解】（1）当时，解析式，

当时，，

∴点B的坐标为．

（2）∵，

∴点，点，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，∴．

（3）如图，过点E作垂线交延长线于F，

∵，

∴，

∴，

∵点，

∴点，

∴点E的坐标为，

∴，

∴，

∴所求函数的解析式为：．

（4）∵第四个顶点P恰好在（3）所确定的函数图像上，

∴设，

（Ⅰ）当四边形为平行四边形时，

∵，

∴，

解得：（舍去）或；

（Ⅱ）当四边形为平行四边形时，

∵，

∴，

解得：（舍去）或；

（Ⅲ）当四边形为平行四边形时，

∵，

∴，

解得：或；

综上所述：t的值为或或2．

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键．