(新高考)高考物理一轮复习讲义 第1章 专题强化一 运动学图象　追及相遇问题（含解析）

专题强化一　运动学图象　追及相遇问题

专题解读 1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题．

2．学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力．

3．用到的知识有：x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，求解极值等数学方法．

1．x－t图象与v－t图象的比较

2.三点说明

(1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；

(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；

(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点．

例1　(多选)(2018·全国卷Ⅲ·18)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图1所示．下列说法正确的是(　　)

图1

A．在t1时刻两车速度相等

B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等

C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等

D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等

答案　CD

解析　x－t图象的斜率表示速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，A错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B项错误；t1和t2时刻两图线都相交，表明两车在两个时刻均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，该时刻两车速度相等，C、D项正确．

变式1　(2020·湖北鄂南高中、华师一附中等八校第一次联考)A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图象如图2所示，其中A是顶点过原点的抛物线的一部分，B是过点(0,3)的一条直线，两图象相交于坐标为(3,9)的P点，则下列说法不正确的是(　　)

图2

A．质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动

B．质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动

C．在前3 s内，质点A比B向前多前进了9 m

D．在3 s前某时刻质点A、B速度相等

答案　C

解析　质点A的运动方程为x＝at2，则初速度为零，加速度a＝2 m/s2，故A正确；B直线的斜率表示速度，故质点B做匀速直线运动，质点B的速度为v＝＝ m/s＝2 m/s，故B正确；在前3 s内，质点B的位移为6 m，质点A的位移为9 m，质点A比B向前多前进了3 m，故C错误；t＝1 s时刻，质点A的速度为2 m/s，质点B以v＝2 m/s的速度做匀速直线运动，故D正确．

例2　(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图3中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是(　　)

图3

A．两车在t1时刻也并排行驶

B．在t1时刻甲车在后，乙车在前

C．甲车的加速度大小先增大后减小

D．乙车的加速度大小先减小后增大

答案　BD

解析　t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图象的斜率知，甲、乙两车的加速度均先减小后增大，C项错误，D项正确．

变式2　(多选)如图4所示是某质点做直线运动的v－t图象，由图可知这个质点的运动情况是(　　)

图4

A．前5 s做的是匀速运动

B．5～15 s内做匀加速运动，加速度为1 m/s2

C．15～20 s内做匀减速运动，加速度为－3.2 m/s2

D．质点15 s末离出发点最远，20 s末回到出发点

答案　AC

解析　由题图可知，前5 s做的是匀速运动，A正确；5～15 s内做匀加速运动，但加速度为0.8 m/s2，B错误；15～20 s做匀减速运动，其加速度为－3.2 m/s2，C正确；质点在20 s末离出发点最远，质点一直做方向不变的直线运动，D错误．

拓展点1　非常规图象

1．四类图象

(1)a－t图象

由v＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图5甲所示．

(2)－t图象

由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图象的斜率为a，如图乙所示．

图5

(3)v2－x图象

由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，图象斜率为2a.

(4)x－v图象

x与v的关系式：2ax＝v2－v02，图象表达式：x＝v2－v02.

2．解题技巧

(1)用函数思想分析图象：

图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义．

(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度．

例3　(2020·福建三明市质量检测)如图6所示四幅图为物体做直线运动的图象，下列说法正确的是(　　)

图6

A．甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于

B．乙图中，物体的加速度为2 m/s2

C．丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量

D．丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s

答案　D

解析　题图甲中，因v－t图象与t轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t0这段时间内的位移大于，选项A错误；题图乙中，根据v2＝2ax可知2a＝ m/s2＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，选项B错误；题图丙中，根据Δv＝aΔt可知，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；题图丁中，由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由图象可知a＝ m/s2＝5 m/s2，v0＝－5 m/s，则a＝10 m/s2; 则t＝3 s时物体的速度为v3＝v0＋at3＝25 m/s，选项D正确．

拓展点2　图象信息提取问题

有些图象问题的分析和解决，要充分挖掘图象的隐含信息(比如图象的斜率、截距、包围面积及特殊点坐标等)才能顺利解题．

例4　(2019·广西桂林市、贺州市、崇左市3月联合调研)甲、乙两辆汽车在同一平直公路上行驶，在t＝0时刻两车正好相遇，在之后一段时间0～t2内两车速度—时间图象(v－t图象)如图7所示，则在0～t2这段时间内有关两车的运动，下列说法正确的是(　　)

图7

A．甲、乙两辆车运动方向相反

B．在t1时刻甲、乙两车再次相遇

C．乙车在0～t2时间内的平均速度小于

D．在t1～t2时间内乙车在甲车前方

答案　C

解析　由题图可知，二者速度均为正值，即二者均向正方向运动，故甲、乙两辆车运动方向相同，故选项A错误；由题图可知，在0～t1时间内，二者位移不相等，即在t1时刻甲、乙两车没有相遇，在该时刻二者速度相等，二者之间的距离是最大的，故选项B错误；若乙车在0～t2时间内做匀变速运动，则平均速度为，如图所示，

由v－t图象与t轴所围面积代表位移可知，匀变速运动的位移较大，故乙车在这段时间内的平均速度小于，故选项C正确；由于甲的初速度大于乙的初速度，所以开始时甲车在乙车前面，由v－t图象与t轴所围面积代表位移可知，在0～t2时间内甲的位移大于乙的位移，故整个过程中甲车一直在乙车前面，故选项D错误.

1．分析思路

可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．

(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；

(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．

2．临界法

寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离．

3．函数法

设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇．

4．图象法

(1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇．

(2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积．

5．特别提醒

若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动．

例5　甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？

答案　6 m/s2

解析　方法一　临界法

设两车减速后速度相同时为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，t＝t－x0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后到停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞．满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2.

方法二　函数法

甲运动的位移x甲＝v1t－a1t2，乙运动的位移x乙＝v2t－a2t2

避免相撞的条件为x乙－x甲≤x0

即(a2－a1)t2＋(v1－v2)t＋x0≥0

代入数据有(a2－2)t2－16t＋16≥0

由数学知识得，不等式成立的条件是162－4×16(a2－2)≤0，且a2－2>0

解得a2≥6 m/s2.

变式3　(2019·山东烟台市期末)甲、乙两辆汽车在平直的高速公路上行驶，某时刻两车正好并排行驶，从该时刻起两车的速度－时间图象如图8所示，则下列说法正确的是(　　)

图8

A．t0时刻两车相遇

B．0～t1时间内，甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小且方向相同

C．0～t0时间内，甲车的平均速度小于乙车的平均速度

D．t1时刻甲、乙两车一定再次相遇，之后甲车将一直在乙车前方

答案　C

解析　根据速度－时间图象与时间轴所围的“面积”表示位移，知0～t0时间内乙车的位移比甲车的大，则t0时刻两车没有相遇，故A错误；0～t1时间内，甲、乙两车图象斜率的绝对值均逐渐减小，则它们的加速度大小均逐渐减小，甲图象切线斜率为正，乙图象切线斜率为负，则加速度方向相反，故B错误；0～t0时间内甲车的位移比乙车的小，则甲车的平均速度小于乙车的平均速度，故C正确；0～t1时间内，甲车的位移比乙车的大，则甲、乙两车没有在t1时刻相遇，之后甲车的速度比乙车的大，则甲车将一直在乙车前方，故D错误.

1．(2019·山东潍坊市第二次模拟)甲、乙两辆货车在平直公路上从同一位置同向行驶，两车的v－t图象如图1所示，则在0～4 s时间内(　　)

图1

A．甲车做曲线运动

B．乙车一直在甲车的后方

C．甲车的平均速度小于6 m/s

D．乙车位移的大小为8 m

答案　C

解析　由题图可知，甲车做加速度减小的减速直线运动，乙车做匀加速直线运动，故选项A错误；开始时乙的速度小于甲的速度，由图线与时间轴所围“面积”代表位移可知，开始一段时间内乙车在甲车后方，但是在0～4 s内，通过“面积”分析可知乙车位移大于甲车位移，即乙车没有一直在甲车的后方，故选项B错误；若甲车一直做匀减速直线运动，则图象如图所示：

则平均速度为：v＝＝ m/s＝6 m/s，但是通过图形面积可知，甲车的实际位移小于匀减速的位移，故甲车实际的平均速度小于6 m/s，故选项C正确；由图形的“面积”代表位移可知，乙车的位移为：x＝×(2＋10)×4 m＝24 m，故选项D错误．

2．(多选)(2019·河北唐山市第一次模拟)如图2所示的x－t图象反映了甲、乙两车在同一平直公路上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则0～10 s过程中(　　)

图2

A．甲车的速度大小为4.0 m/s

B．乙车的平均速度大小为4.0 m/s

C．甲车的位移大小为40 m

D．乙车的位移大小为80 m

答案　ACD

解析　甲车做匀速直线运动，速度v甲＝＝ m/s＝4 m/s，在0～10 s内位移为：x甲＝v甲t＝4×10 m＝40 m，故A、C正确；乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则t＝10 s时，速度为零，根据逆向思维法，乙车匀减速到速度为0的减速过程，其逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，则根据位移与时间关系x＝at2，结合图象有：x0＝at2＝a·

(10 s)2,20 m＝at＝a·(5 s)2，解得：a＝1.6 m/s2，x0＝80 m，则平均速度大小为：乙＝＝ m/s＝8 m/s，故B错误，D正确．

3.(2019·山东日照市上学期期末)一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的关系图线如图3所示．下列说法正确的是(　　)

图3

A．物体运动的最大速度是4 m/s

B．t＝4 s时物体回到出发点

C．t＝4 s时物体开始反向运动

D．t＝1 s时和t＝3 s时物体的瞬时速度相同

答案　D

解析　图象与时间轴所围“面积”表示速度变化量，由题图可知，物体运动的最大速度为vmax＝×2×2 m/s＝2 m/s，A错误；0～1 s物体做加速度增大的加速运动，1～2 s物体做加速度减小的加速运动，2～3 s物体做加速度反向增大的减速运动，3～4 s，物体做加速度反向减小的减速运动，根据对称性可知，物体在4 s末时速度减为零，4 s后物体又重复前面的运动，故B、C错误；由B、C项分析可知，t＝1 s时和t＝3 s时物体的瞬时速度相同，故D正确．

4．(2020·辽宁沈阳市第一次质检)如图4为一个质点做直线运动的v－t图象，该质点在前2 s内向西运动，则该质点(　　)

图4

A．在前2 s内加速度方向也向西

B．在前4 s内加速度方向始终向东

C．在4～6 s内加速度方向始终向东

D．在0～6 s内加速度方向始终不变

答案　B

解析　由题意结合图象可知向西为负方向，向东为正方向，该质点在前2 s内向西减速运动，则该段时间加速度向东，而2～4 s向东做加速运动，则加速度方向仍然向东，故选项A错误，B正确；由题图图象可知质点在4～5 s内向东做减速运动，而5～6 s内向西做加速运动，所以在4～6 s这段时间内加速度方向一直向西，故选项C错误；由上面分析可知，在0～4 s内加速度方向向东，在4～6 s内加速度方向向西，即在6 s内加速度方向发生变化，故选项D错误．

5．(2019·安徽合肥市第一次质检)甲、乙两物体由同一点沿同一条直线运动，它们的v－t图象如图5所示，则在0～4 s内(　　)

图5

A．两物体始终同向运动

B．2 s末两物体相距最远

C．两物体平均速度相等

D．4 s末两物体相遇

答案　A

解析　0～4 s内，甲、乙两物体的v－t图象均在横轴的上方，速度均为正，故两物体始终同向运动，A正确；由题意可知，甲、乙两物体同时同地沿同向运动，在0～4 s内，甲在前，乙在后，甲的速度大于乙的速度，两物体距离越来越大，在4 s时速度相同，此时两物体距离最远，B、D错误；0～4 s内，由图象可知，甲的位移大于乙的位移，即x甲>x乙，根据＝，两物体的平均速度甲>乙，故C错误．

6．(2019·贵州省部分重点中学质量评测卷(四))甲、乙两物体从同一地点出发沿同一直线运动，它们的位移—时间图象如图6所示，则(　　)

图6

A．前3 s内甲、乙的平均速度相等

B．3 s末时甲、乙两物体的速度相同

C．前3 s内甲、乙的运动方向始终相同

D．前3 s内甲、乙两物体的最大距离为1 m

答案　A

解析　因为乙物体的位移—时间图象是过坐标原点的直线，所以乙物体做匀速直线运动，甲物体的位移—时间图象是曲线，所以甲物体做的是变速直线运动．因为两物体同时同地出发，开始时甲的速度大于乙的速度，在第3 s末两图线相交，则位移相等，所以前3 s内甲、乙的平均速度相等，故A正确；由题图可知，3 s末时甲、乙两物体的速度方向相反，故B错误；由题图可知，甲在位移达到3 m时速度减小为零，然后反方向运动，故C错误；由题图可知，前3 s内甲、乙两物体的最大距离大于1 m，故D错误．

7．(2019·河北邢台市期中)有四个物体A、B、C、D，物体A、B从同一地点沿同一方向运动的x－t图象如图7甲所示，物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图象如图乙所示．根据图象做出的以下判断中正确的是(　　)

图7

A．物体A和B均做匀变速直线运动

B．在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小

C．t＝3 s时，物体C、D的速度相同

D．在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐减小

答案　C

解析　x－t图象的斜率表示速度，由题图甲看出，物体A和B位移—时间图线都是倾斜的直线，斜率都不变，则速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故A错误；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体A的速度大于B的速度，所以物体A、B的间距逐渐增大，故B错误；由题图乙可以看出C、D两物体的图线在t＝3 s时交于一点，所以在t＝3 s时，C、D的速度一定相同，故C正确；由题图乙看出，前3 s内，D的速度较大，C、D间距离增大，3 s后C的速度较大，两者距离减小，t＝3 s时，物体C与物体D之间有最大间距，故D错误．