江苏省常州市溧阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

期末调研测试高一数学试题

2023.6

注意事项：1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上；

2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数对应的点在（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.若向量，，则在上的投影向量为（    ）

A. B. C. D.

3.甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（    ）

A.两人都做对的概率是0.72 B.恰好有一人做对的概率是0.26

C.两人都做错的概率是0.15 D.至少有一人做对的概率是0.98

4.在中，若，则此三角形一定是（    ）

A.等腰三角形  B.直角三角形

C.等腰直角三角形  D.既非等腰三角形也非直角三角形

5.设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题正确的是（    ）

A.若，，则 B.若，，，则

C.若，，则 D.若，，，则

6.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ）

A. B. C. D.

7.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为（    ）

A. B. C. D.

8.1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线上两点，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线垂直于平面，上的两点，位于平面同侧，求平面上一点，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系，设，，，，当最大时，（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.

9.某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下：

则下列说法正确的是（    ）

A.甲种水稻产量的众数为250

B.乙种水稻产量的极差为70

C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产最的平均数

D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差

10.正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为1，则下列结论正确的是（    ）

A.该四棱台的体积为 B.该四棱台的侧棱长为

C.与所成角的余弦值为 D.与平面所成的角大小为

11.已知，，分别是三个内角，，的对边，则下列命题中正确的是（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

12.如图，正方体棱长为2，点是其侧面上的动点（含边界），点是线段上的动点，下列结论正确的是（    ）

A.存在点，，使得平面与平面平行

B.当点为中点时，过，，点的平面截该正方体所得的截面是梯形

C.过点，，的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形

D.当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某校举行演讲比赛，10位评委给甲选手的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.1，8.3，8.3，8.7，则这组数据的75百分位数为______.

14.若复数满足，其中为虚数单位，则______..

15.18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.

例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.

类似地，运用该公式求解下列问题：已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为______.

16.已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知向量，.

（1）若，求；

（2）若向量，，求与夹角的余弦值.

18.（12分）

已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

19.（12分）

如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是线段，的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）记平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由.

20.（12分）

某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求出的值；

（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率.

21.（12分）

如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：面；

（3）求二面角的余弦值.

22.（12分）

在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求的值；

（2）若，求的最小值.

期末调研测试高一数学试题参考答案及评分标准

2023.6

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.A   2.C   3.C   4.A   5.C   6.A   7.B   8.B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.

9.ABD   10.AB   11.ACD   12.ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.8.3   14.   15.   16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.（10分）

解：（1）因为，，

所以，，……1分

由，可得，

即，解得，……3分

所以，故.……5分

（2）因为向量，，所以，所以.……7分

则，，

所以，

所以与夹角的余弦值为.……10分

18.（12分）

解：（1），

即，……4分

令，，

解得，，

所以函数的单调递增区间为，……8分

（2）因为，所以，

则，所以，

所以函数的最大值为1，最小值为.……12分

19.（12分）

（1）证明如下：

因为平面，平面，所以.……1分

因为是以为直径的圆上的点，所以.……2分

因为，分别是，的中点，所以，……3分

所以，

又，且，平面，

所以平面.……6分

又平面，故平面平面.……8分

（2），证明如下：

由（1），，又平面，平面，

所以平面.……10分

又平面，平面平面，

所以.……12分

20.（12分）

解：（1）由，得.……2分

（2）平均数为：岁；……4分

设中位数为，则，

∴岁.……6分

（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，

则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，……8分

分别记为，，，，，

设从5人中随机抽取2人，

有，，，，，，，，，共10个样本点，

记“这2人恰好在同一组”为事件，

包含，，，共4个样本点，

所以，

故所求概率为.……12分

21.（12分）

（1）证明：取线段的中点，连接、，

翻折前，在矩形中，∵为的中点，，

则，所以，，……1分

翻折后，在三棱锥中，∵、分别为、的中点，则，平面，平面，∴平面，……1分

∵为的中点，且，则，所以，为的中点，

又因为为的中点，所以，，

∵平面，平面，所以，平面，

∵，且，平面，

所以，平面平面，……1分

因为平面，平面.……4分

（2）证明：在矩形中，，，

，，

因为，则，

因为，为的中点，所以，，则，

所以，，所以，，则，……2分

在三棱锥中，则有，，

因为，且，平面，

所以，平面.……8分

（3）过点在平面内作，垂足为点，连接，

由（2）知，平面，平面，∴，

因为，，且，平面，

∴平面，

∵平面，∴

所以，二面角的平面角为，……2分

在三棱锥中，，，，

.所以，，∴，

所以在直角中，由得，

所以，

所以，即所求二面角的余弦值为.……12分

22.（12分）

解：（1）因为，

所以，

所以，……2分

因为，所以，……1分

所以，所以，，

由得，

所以或（舍去）……1分

所以.……6分

（2）因为，由正弦定理得，

所以，……1分

由（1）知，，且，

所以，，……1分

所以

，……3分

当且仅当时取等号，所以最小值为.……12分