备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第一章 §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第一章 §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词，共13页。试卷主要包含了全称量词和存在量词等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称命题和特称命题
常用结论
1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ )
(3)“三角形的内角和为180°”是特称命题．( × )
(4)命题“∃x0∈R，sin2eq \f(x0,2)＋cs2eq \f(x0,2)＝eq \f(1,2)”是真命题．( × )
教材改编题
1．(2022·中卫模拟)已知命题p：对任意x∈R，总有x2－x＋1≥0；q：若a20”的否定________________．
答案 ∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－2x0＋3≤0
3．若命题“∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))
解析 ∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0，
∴a0，
∴eq \f(1,2x)>0，故A是假命题；
当n为偶数，且x0，ex＋x2－2≥0
D．∀x≤0，ex＋x2－2≥0
答案 C
(2)下列命题是假命题的是( )
A．∀x∈R，－x2－1eq \f(a＋1,b＋1)，eq \f(a＋3,b＋3)>eq \f(a＋2,b＋2)，…，
∴∀b>a>0，m>n>0，eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a＋n,b＋n).
11．(2020·全国Ⅱ)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面；
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①p1∧p4；②p1∧p2；③(綈p2)∨p3；④(綈p3)∨(綈p4)．
答案 ①③④
解析 p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为当空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题．
12．若“∃x0∈(0,2)，2xeq \\al(2,0)－λx0＋10的解集为R.若p∨q为真，p∧q为假，则实数k的取值范围是____________．
答案 (－∞，－3]∪[0,1)∪[5，＋∞)
解析 由集合M＝{x∈R|kx2－2kx＋1＝0}不为空集，得方程kx2－2kx＋1＝0有实数解，
当k＝0时，方程为1＝0，无解；
当k≠0时，则满足Δ＝(－2k)2－4k≥0，解得k0的解集为R，
则满足Δ＝(k－1)2－4×44，
若命题p为真命题，命题q为假命题，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(13,4)≤a≤5，,a≤4，))所以eq \f(13,4)≤a≤4，
综上可得，实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,4)，4)).p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x，有p(x)成立
存在M中的元素x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)