（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点7 指数与指数函数 (含解析)

考点七  指数与指数函数

知识梳理

1．根式

如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根(n>1且n∈N*)，当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，记为：；当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(1)两个重要公式

① ＝

② ()n＝a(注意a必须使有意义)．

(2)0的任何次方根都是0．

(3)负数没有偶次方根．

2．分数指数幂

(1)分数指数幂的概念：

①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

②负分数指数幂：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质：

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ar s(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂ar(a>0，r是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

4．指数函数的图象与性质

典例剖析

题型一  指数幂的化简与求值

例1　 的值是　    　．

答案  －3

解析  　.

变式训练  下列各式正确的是　    　．(填序号)

①     　　 ②              ④a0＝1

答案 

解析　根据根式的性质可知正确．

，a＝1条件为(a≠0)，故①、②、④错．

例2  化简或求值

(1)

(2)

解析　(1)原式=

 =

. 

(2)原式＝＝a·b＝.

解题要点  指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

题型二  指数函数的图象和性质

例3　函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是　   ．(填序号)

①     a>1，b<0    ② a>1，b>0    ③ 0<a<1，b>0      ④ 0<a<1，b<0

答案　④

解析  由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

变式训练  指数函数y=恒过的定点为　     　．

答案　(，2)

解析  由函数y=ax恒过(0，1)点,

可得当3x－2=0，即时，y=2恒成立,

故函数恒过点(，2).

故答案为：(，2)．

题型三  指数值的大小比较

例4　设，则y1、y2、y3 的大小关系是　    　．

答案　y1＞y3＞y2

解析  ．

因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2．

变式训练  若，则x的取值范围是　    　．

答案　(－∞，－3)

解析  原不等式可化为，而指数函数y=是定义在R上的减函数,

所以x＜－3.

解题要点  比较大小时，首先要观察有无同底或是同指数的，①若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；②若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；③若底数不同，指数也不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较.

当堂练习

1．的大小关系是________．

答案　

解析　函数是减函数，由，知；

又，由函数的性质，知，故；

所以.

2．函数y＝ax－3＋3恒过定点________．

答案  (3，4)

解析  当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，所以f(x)必过定点(3，4)．

3. 已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域　    　．

答案  [1,9]

解析  由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，

f(x)max＝f(4)＝9.

4．化简的结果是　    　．

答案 

解析 

5．若指数函数y=(a－2)x在(－∞，+∞)上是减函数，那么解得　    　．

答案  A

解析  ∵指数函数y=(a－2)x在(－∞，+∞)上是减函数，

∴0＜a－2＜1，解得2＜a＜3．

课后作业

一、    填空题

1.设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝　    　．

答案　[1，3)

解析　由|x－1|<2，解得－1<x<3，由y＝2x，x∈[0,2]，解得1≤y≤4，

∴A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．

2．若a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系是　   　    　．

答案  c<b<a

解析  由y＝x在R上单调递减，知<，

而<1<，所以<<.

即c<b<a.

3．的值为　    　．

答案  0

解析  .

4．的值是　    　    　．

答案　0或2(a－b)

解析  当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；

当a－b<0时，原式＝b－a＋a－b＝0.

5．设a＝40.7，b＝0.30.5，c＝log23，则a、b、c的大小关系是　   　    　．

答案  b<c<a

解析  a＝40.7>4＝2,0<b＝0.30.5<1,1<c＝log23<2，所以b<c<a .

6．函数f(x)＝＋的定义域为　    　．

答案  (－3,0]

解析  若使函数有意义，则，解得－3<x≤0.

7．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于　    　．

答案  7

解析  由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7， f(2a)＝7.

8．如果指数函数y=(a2)x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是　    　．

答案  (2，3)

解析  因为指数函数y=(a2)x在x∈R上是减函数，所以有0＜a2＜1，解得2＜a＜3，即a的取值范围为(2，3)．

9．函数y=ax－1+1过定点　    　．

答案  (1，2)

解析  ∵函数f(x)=ax过定点(0，1)，∴当x－1=0时，x=1，∴此时y=ax－1+1=1+1=2，

故y=ax－1+1过定点(1，2)．故答案为：(1，2)．

10．函数的定义域是________．

答案  (－∞，0]

解析  由题意得()x－1≥0，即()x≥1，x≤0.

11．计算：2××＝________.

答案  6

解析  原式＝2×3×()×12＝2×3×3×2×3×2＝2×3×2＝6.

二、解答题

12．计算下列各式的值

(1)×＋80.25×＋(×)6－；

(2) .

解析  (1) 原式＝×1＋×＋(×)6－＝2＋4×27＝110；

(2)原式

            .

13．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．

解析  当a>1时，f(x)＝ax为增函数，在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a.

∴a2－a＝.即a(2a－3)＝0.∴a＝0(舍)或a＝>1.∴a＝.

当0<a<1时，f(x)＝ax为减函数，在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(1)＝a，f(x)最小＝f(2)＝a2.

∴a－a2＝.∴a(2a－1)＝0，

∴a＝0(舍)或a＝.

∴a＝.综上可知，a＝或a＝.