随机事件的概率学案——2024届高三数学一轮复习

第十二章 第一节　随机事件的概率

一、学习目标

1.结合具体实例,理解事件的相关概念.

2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.

3.通过实例理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.

4.结合实例,会用频率估计概率.

二、基本知识回顾

2.频率与概率

(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=     为事件A出现的频数.

(2)随机事件概率的定义:在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A),有0≤P(A)≤1.

(3)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率来估计概率P(A).

【微点拨】频率是随机的,试验次数不同,得到的频率可能不同;概率是频率的稳定值,反映了随机事件发生的可能性的大小.

3.事件的关系与运算

(1)互斥事件:在一个随机试验中,把一次试验下　　　　　　　　发生的两个事件A与B称作互斥事件. 

(2)和事件:给定事件A,B,我们规定A+B为一个事件,事件A+B发生是指事件A和事件B　　　　　         　. 

(3)和事件的概率:在一个随机试验中,如果随机事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A+B)=　　　　　　;如果随机事件A1,A2,…,An中任意两个是互斥事件,那么有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 

(4)对立事件:在每一次试验中,相互对立的事件A和事件　　　　　　同时发生,并且一定　　　　　　　.所以有P()=　　　　　　　. 

【微点拨】

1.对立事件一定是互斥事件,而互斥事件未必是对立事件.

2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件:

(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

4.概率的几个基本性质

性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1.

性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(∅)=0.

性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).

性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).

性质5:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

三、习题精讲精炼

考点一 随机事件的关系

【典例突破】

例1.(1)(2021吉林三模)口袋中装有3个红球和4个黑球,每个球编有不同的号码,现从中取出3个球,则互斥而不对立的事件是(　　)

A.至少有1个红球与至少有1个黑球

B.至少有1个红球与都是黑球

C.至少有1个红球与至多有1个黑球

D.恰有1个红球与恰有2个红球

(2)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是(　　)

A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件

B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件

C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件

D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件

【对点训练】

 (1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,则事件A表示“甲分得语文书”,事件B表示“乙分得数学书”,事件C表示“丙分得英语书”,则下列说法正确的是(　　)

A.A与B是不可能事件

B.A+B+C是必然事件

C.A与B不是互斥事件

D.B与C既是互斥事件也是对立事件

(2)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示“向上的一面出现奇数点”,事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”,事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”,则(　　)

A.A与B是互斥而不对立事件

B.A与B是对立事件

C.B与C是互斥而不对立事件

D.B与C是对立事件

考点二 随机事件的频率与概率

【典例突破】

例2.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;

(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

对点训练2(2020全国Ⅰ,文17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:

甲分厂产品等级的频数分布表                 乙分厂产品等级的频数分布表

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?

考点三 互斥事件、对立事件的概率(多考向探究)

考向1. 互斥事件的概率

【典例突破】

例3.某保险公司利用简单随机抽样的方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下.

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;

(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.

考向2. 对立事件的概率

【典例突破】

例4.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).

对点训练4某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:

(1)P(A),P(B),P(C);

(2)1张奖券的中奖概率;

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.