2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）是虚数，复数　　A． B． C． D．2．（5分）在中，若，则的形状为　　A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．（5分）已知、是不共线的向量，，、，当且仅当　　时，、、三点共线．A． B． C． D．4．（5分）若非零向量，满足，，则与的夹角为　　A． B． C． D．5．（5分）已知是关于的方程的根，则实数　　A． B． C．2 D．46．（5分）当复数满足时，则的最小值是　　A． B． C． D．7．（5分）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为　　A． B． C．3 D．8．（5分）以为钝角的中，，，当角最大时，面积为　　A．3 B．6 C．5 D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　A． B．复数的共轭复数为 C． D．10．（5分）下列说法中正确的为　　A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为11．（5分）的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是　　A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若为钝角三角形，则 D．若，，则面积的最大值为12．（5分）如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是　　A．是等边三角形 B．若，则，，，四点共圆 C．四边形面积最大值为 D．四边形面积最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知为虚数单位，则的虚部是　　．14．（5分）在中，若，，，则的外接圆半径长为　　．15．（5分）如图，正方形边长为1，点在线段上运动，则的取值范围为 　　．16．（5分）如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边，分别交于，两点，则的最小值为　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．平面内给定三个向量，，．（1）若，求实数；（2）若，求实数．18．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若为纯虚数，求实数的值．19．如图，在菱形中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形的边长为6，求的取值范围．20．在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．问题：的内角，，的对边分别为，，，已知_____．（1）求；（2）若为的中点，，求的面积的最大值．21．如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设．（1）当时，求的值，并求此时防护网的总长度；（2）若，问此时人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？22．如图，海上有，两个小岛，在的正东方向，小船甲从岛出发以海里小时的速度沿北偏东方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过小时与小船甲相遇．（1）若相距2海里，为海里小时，小船乙从岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先从岛以16海里小时匀速沿射线方向行驶小时，再以8海里小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下的最大值．
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【分析】直接利用分子分母同乘以分母的共轭复数求解．【解答】解：．故选：．2．【分析】由已知利用向量的减法可得，即可判断得解．【解答】解：若，则若，则为等边三角形．故选：．3．【分析】设、、三点共线，则向量、共线，根据向量共线的条件列式即可解出、满足的等式，得到本题答案．【解答】解：设、、三点共线，则向量、共线，即存在实数，使得且，可得，解之得因此，当且仅当时，、、三点共线．故选：．4．【分析】根据题意，设与的夹角为，，由向量垂直的判断方法可得，求出的值，结合的范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，设与的夹角为，，则，若，则，即，又由，则，故选：．5．【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数．【解答】解：已知是关于的方程的根，是关于的方程的根，，解得，故选：．6．【分析】用复数的几何意义两复数和的模大于或等于模的差，直接求最小值．【解答】解：的最小值是．故选：．7．【分析】利用角平分线的性质，分别在，中，利用余弦定理用表示出，，然后列方程求出的值，最后再求出，，最后求出的值．【解答】解：因为，所以由正弦定理可得，可得，因为，所以，所以，由，，所以，在，中，由余弦定理得：，，故，解得：，故，在中，由余弦定理得：，即，故．故选：．8．【分析】建立坐标系，设，，，，，根据向量的几何意义可得，分别求出，，根据两角和的正切公式，求出的最大值，即可求出的面积．【解答】解：中，，，，即，其几何意义：在方向上的正投影长度始终为4，过作，垂足为，设，，，，，，，，，，（当且仅当，即时去等号），当时，角最大，此时边上的高，的面积．故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．【分析】由题设利用复数的相关概念及运算法则逐个选项判断正误即可．【解答】解：，，，故选项、正确；又，故选项错误；，选项正确，故选：．10．【分析】直接利用平面向量的数量积，向量的夹角的应用，向量的共线的应用判断、、、的结论．【解答】解：对于：已知，，由于与的夹角为锐角，故，且，故实数的取值范围是，故错误；对于：向量，，满足，所以和共线，所以不能作为平面内的一组基底，故正确；对于：非零向量，，满足且与同向，则是错误的，向量不能比较大小，故错误；对于：非零向量和，满足，则以这三边构成的三角形为等边三角形，所以与的夹角为，故正确．故选：．11．【分析】由已知结合正弦定理可检验；结合正弦定理及三角形大边对大角可检验选项；结合余弦定理可检验选项；结合余弦定理及基本不等式，三角形的面积公式可检验选项．【解答】解：，正确；因为，，，由正弦定理得，，故，因为，所以，故有两角，正确；为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角，则不一定成立，不符合题意；因为，，由余弦定理得，，当且仅当时取等号，故，面积，即最大值为，正确．故选：．12．【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知为等边三角形，从而判断；利用四点，，，共圆，四边形对角互补，从而判断；设，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求，利用正弦函数的性质，求出最值，判断．【解答】解：，，即，由，可得，或．又．，故正确；若四点，，，共圆，则四边形对角互补，由正确知，在中，，，，故错；等边中，设，，在中，由余弦定理，得，由于，，代入上式，得，，，，四边形面积的最大值为，无最小值，故正确，错误，故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，的虚部是．故答案为：．14．【分析】设的外接圆半径为，由余弦定理求得，进而可求得，再由正弦定理可得答案．【解答】解：设的外接圆半径为．由余弦定理得：由正弦定理得，故答案为：15．【分析】借助正方形的两邻边建立直角坐标系，将向量的运算转化为坐标形式的运算，利用向量的坐标形式的数量积公式表示成二次函数，通过配方找出对称轴，求出最值．【解答】解：以， 为，轴建立直角坐标系则，，，，设，，，，，，所以当时，函数有最大值；当时函数有最小值．故答案为：，．16．【分析】利用重心的性质得到，由，，三点共线，得，再求出，利用基本不等式求最值即可．【解答】解：设，，，，，则，，，三点共线，，即，，当且仅当时取等号，的最小值为．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．【分析】（1）利用向量坐标运算法则求出，，再由，列方程能求出实数．（2）利用向量坐标运算法则求出，，再由，能求出实数．【解答】解：（1）向量，，．，，，，解得实数．（2），，，，解得实数．18．【分析】（Ⅰ）设，且，由条件可得①，②．由①②联立的方程组得、的值，即可得到的值；（Ⅱ）根据实部为0，虚部不为0即可求解．【解答】解：（Ⅰ）设，，，．由题意：．①，得，，②①②联立，解得．；得．（Ⅱ）；由题意可知；解得．19．【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解，即可．（2）利用已知向量，表示数量积的向量，然后求解即可．（3）利用向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可．【解答】解：（1）因为，，所以，，所以，，故．（2），为菱形，，即．（3），，的取值范围：．20．【分析】（1）选①，结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求； 选②，由正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；（2）由已知得，然后结合向量数量积性质及基本不等式可求的范围，再由三角形面积公式可求．【解答】解：（1）选①，由正弦定理得，因为，所以得，即，所以；选②，由正弦定理得，，因为，所以，即，所以，所以；（2）若为的中点，则，所以，即，所以，的面积，即面积最大值．21．【分析】（1）在三角形中，由余弦定理得的值，利用勾股定理可得三角形是直角三角形，可求的值，求得是等边三角形，即可得解．（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由于以为顶点时，和的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．（3）由已知利用正弦定理求出，，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求的面积关于的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值．【解答】解：（1）在三角形中，由余弦定理得，所以，所以三角形是直角三角形，所以，．由于，所以，所以是等边三角形，周长为，也即防护网的总长度为．（2）时，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，，由正弦定理得．所以．以为顶点时，和的高相同，所以，即人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍．（3）在三角形中，，由正弦定理得．在三角形中，，由正弦定理得．所以．由于，所以当，时，最小值为．22．【分析】（1）设乙速度为海里小时，利用余弦定理列方程求得的值；（2）由题意利用余弦定理可得关于的一元二次方程，利用换元法与判别式，即可求得的最大值．【解答】解：（1）设乙速度为海里小时， 由余弦定理可知，整理得；由于，所以；答：乙的速度为海里小时．（2）由题意知，两边同除以得：，设，其中，则有，其中，即关于的方程在上有解，则必有△，解得，当时，可得，因此为最大值为．答：小船甲在能与小船乙相遇的条件下的最大值海里小时．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/3/11 19:08:18；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367