2020-2021学年江苏省苏州五中、新区一中、苏大附中高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州五中、新区一中、苏大附中高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为　　

A． B． C． D．

2．（5分）在中，为边上的中线，为的中点，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）在中，若，则此三角形为　　

A．等边三角形 B．等腰三角形 

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

4．（5分）如图，一个大风车的半径是8米，每12分钟旋转一周，最低点离地面2米，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离（米与时间（分钟）之间的函数关系是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）函数，，若对任意，，存在，，使得成立，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

6．（5分）在斜中，设角，，的对边分别为，，，已知，是角的角平分线，且，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得　　

A． B． C． D．

8．（5分）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是　　

A．复数的模为 

B．复数的共轭复数为 

C．复数的虚部为 

D．复数在复平面内对应的点在第一象限

10．（5分）已知函数的图象关于直线对称，则　　

A．函数为奇函数 

B．函数在，上单调递增 

C．若，则的最小值为 

D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

11．（5分）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知的顶点坐标为，，，点的横坐标为14，且，点是边上一点，且，为线段上的一个动点，则　　

A． B．点的纵坐标为 

C． D．的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）向量，，则　　．

14．（5分）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则三棱锥的外接球的表面积是　　．

15．（5分）若，且，则的值是　　．

16．（5分）如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场，，且在广场外修建一块三角形草地，满足，．

①若，则　　；

②欲使、之间距离最长，则　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（10分）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．

在中，角，，的对边分别为，，，，，______，求的面积．

18．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及其单调增区间；

（Ⅱ）当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

19．（12分）如图所示，已知为梯形，，．

（1）设平面平面，证明：；

（2）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

20．（12分）如图所示，、分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，点坐标为，平行四边形的面积为．

（1）求的最大值；

（2）若，求．

21．（12分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边．

（1）设，求三角形铁皮的面积；

（2）求剪下的铁皮三角形面积的最大值．

22．（12分）已知，函数，其中．

（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（2）求函数的最大值（可以用表示）；

（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省苏州五中、新区一中、苏大附中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．【解答】解：复数所对应的点关于虚轴对称的点为，

对应的复数为．

故选：．

2．【解答】解：在中，为边上的中线，为的中点，

，

故选：．

3．【解答】解：在中，由以及正弦定理可知，

，

即．

，，

，．

所以三角形为直角三角形．

故选：．

4．【解答】解：由题意，，，

设，，，，，则，

，，可得：，

的初始位置在最低点，时，有：，即：，解得：，，

，

与的函数关系为：，，

故选：．

5．【解答】解：

当，时，，，

，，，

对于，

，，，，

，，

对任意，，存在，，使得成立，

，解得实数的取值范围是，．

故选：．

6．【解答】解：，

由正弦定理得，

即，则，

是角的角平分线，且，

由三角形的面积公式得，

即，

即，

即，即，

即，

故选：．

7．【解答】解：由图形知，，且，

；

；

．

故选：．

8．【解答】解：中设，，

，

，

即，

，

，

，

，

，根据直角三角形可得，，

，，

以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系可得，，，

为线段上的一点，则存在实数使得，

设，则，

，，，

，则

故所求的最小值为

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．【解答】解：复数满足，整理得．

对于：由于，故，故错误；

对于：由于，故，故错误；

对于：复数的虚部为，故错误；

对于：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故正确；

故选：．

10．【解答】解：函数的图象关于直线对称，，；

，；；

对于，函数，根据正弦函数的奇偶性，所以因此函数是奇函数，故正确．

对于，由于，，，，函数在，上不单调，故错误；

对于，因为，又因为，的周期为，所以则的最小值为，正确；

对于，函数的图象向右平移个单位长度得到函数，故错误．

故选：．

11．【解答】解：（1）若底边长为2，2，2，侧棱长为2，2，1，

设，的中点为，则，，

平面，

，，

，

，

；

（2）若底边长为1，1，1，侧棱长为2，2，2，

设底面中心为，则，

棱锥的高，

；

（3）若底面边长为2，2，1，侧棱长为2，2，1，

设，其余各棱长均为2，

由（1）可知，

，

．

结合选项可得，正确，

故选：．

12．【解答】解：设，则，，

由，得，，，

，解得，，

故错误，正确；

设，则，，

，，即，

又点在上，，即，

联立，解得，，则，

，，，故正确；

为线段上的一个动点，设，且，

则，，，

，

则，

当时，的最小值为，故错误．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【解答】解：，，

故答案为：．

14．【解答】解：三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三条侧棱长分别为1，，，

故可将其补充为一个长宽高分别为1，，的长方体，

则其外接球的直径，

故球的表面积．

故答案为：．

15．【解答】解：若，且，，

则，

故答案为：．

16．【解答】解：①在中，由，，，

得，

，即，

在等腰直角三角形中，可得，

又，，

由余弦定理可得，

；

②设，则，，则，

在中，由正弦定理可得：，

在中，由余弦定理可得，

．

当时，取最大值，

此时．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．【解答】解：若选①：

由正弦定理得，即，

所以，

因为，

所以，

又，

，，所以，

所以．

若选 ②：

由正弦定理得：．

因为，

所以，，

化简得，

即，因为，所以．

又因为，

所以，即，

所以．

若选 ③：

由正弦定理得，

因为，所以，

所以，又因为，

所以，

因为，，所以，

，，

所以．

又，，，

所以，

所以．

18．【解答】解：，

函数的定义域为，周期，

令，解得：，

令，解得：，

所以的递增区间为．

（Ⅱ），，，

当时，取得最大值1，

所以恒成立，即恒成立，

①当时，显然成立；

②当时，若对于，不等式恒成立，

只需△成立，且即可，

解得：，

综上，的取值范围是．

19．【解答】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，

又平面，平面平面，所以；

（2）解：存在为上靠近的三等分点，使得平面，

连结，设，连结，

因为为上靠近的三等分点，又，，

所以，所以，

又平面，平面，所以平面．

20．【解答】解：（1），，，

，

而，

，

，当时，取得最大值为；

（2），，

由得，

又，

结合得，，，，

．

21．【解答】解：（1）设交交于点

，

，（算出一个得2分）

（6分）

（2）设，，，，，，，

．（11分）

令，，

，当，

的最大值为．（14分）

22．【解答】解：（1），，

则，，

所以，

显然，

所以，，

所以，；

（2）的最大值即的最大值

①，即时，在单调递减，；

②，即时，在单调递增，（2）；

③时，在单调递增，单调递减，；

综上，．

（3）由题意可得：，，；

①，即时，在单调递减，

则；

②，即时，在单调递增，

则；

③时，在单调递增，单调递减，

，则．

综上，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/8/3 15:57:09；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394