2022北京北师大实验中学高一（下）期中数学 （教师版）

这是一份2022北京北师大实验中学高一（下）期中数学 （教师版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京北师大实验中学高一（下）期中数    学第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 若为第四象限角，则（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，2. 复数（    ）A.  B.  C.  D. 3. 若，，，则，的夹角为（    ）A. 0 B.  C.  D. 4. 已知，则（    ）A.  B.  C. 2 D. 35. 已知，，则（    ）A.  B.  C.  D. 6. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（    ）
 A 6 B.  C.  D. 7. 下列函数中为奇函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 8. 若函数在上单调，则值为（    ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或9. “”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件10. 在平面直角坐标系内，将点向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，所得的点均位于函数的图象C上．则下列结论①可能为；②可能为；③；④其中所有正确结论的序号为（    ）A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知向量，，若，则___________．12. 设复数，___________；记z的共轭复数为，则在复平面内对应的点的坐标为___________．13. 若，则___________；___________．14. 已知对任意，有，写出一个符合题意的的值：___________．15. 周期信号在电子技术领域具有重要作用．某电路中，一个元件输入电流是时间t的函数，其解析式为：，其中参数，m均为常数，且，；这个元件的输出电流为：，记T为电流的最小正周期，在内，记满足的t的区间的长度之和为，称为电流的“占空比”．给出下列四个结论：①若，，则电流的“占空比”为；②保持的值不变，电流的“占空比”随m的增大而增大；③保持m的值不变，电流的“占空比”随的增大而减小；④保持的值不变，记当和时，电流的“占空比”分别为和，则．其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题（本大题共3小题，共35分）16. 已知平面直角坐标系内，角的终边经过点．（1）求，及的值；（2）求和的值．18. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点．（1）求的解析式；（2）求的零点；（3）求的单调递增区间．20. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．（1）当时，求1号座舱与地面的距离；（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）22. 平面直角坐标系内，已知角的终边与单位圆交点的坐标为．（1）若将角的终边关于x轴对称，得到角的终边，则___________；（2）若将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则___________．23. 已知，且满足，则的值为___________；的值为___________．24. 函数的部分图象如图所示，其中M，N分别为图象的最高点和最低点．（1）写出该函数图象的一个对称中心的坐标：___________；（2）函数解析式为___________．25. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P，Q分别为AB，AC上的点，满足，，其中．
 （1）的值为___________；（2）向量，的夹角的取值范围是___________．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26. 已知点，，满足．（1）求m值；（2）设O为坐标原点，动点P满足，求当取最小值时点P的坐标．28. 已知函数．（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）求在上的最大值；（3）若在上单调递减，在上单调递增，其中，且，求值并讨论在上的值域．30. 对于分别定义在，上的函数，以及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有关系．（1）分别判断下列两组函数是否具有关系，直接写出结论；①，；，；②，；，；（2）若与具有关系，求m的取值范围；（3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足：①在上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意，有．求证：与不具有关系．
参考答案第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 若为第四象限角，则（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【1题答案】【答案】B【解析】【分析】依据三角函数定义和象限角定义去判断、的符号即可解决【详解】为第四象限角，依据三角函数定义，则有，故选：B2. 复数（    ）A.  B.  C.  D. 【2题答案】【答案】A【解析】【分析】依据复数除法去求解的值【详解】故选：A3. 若，，，则，的夹角为（    ）A. 0 B.  C.  D. 【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据向量的夹角公式即可求出．【详解】由题意可得，，由于向量夹角的范围为，所以向量与夹角为．故选：B．4. 已知，则（    ）A.  B.  C. 2 D. 3【4题答案】【答案】B【解析】【分析】利用齐次式求值的方法去求的值【详解】故选：B5. 已知，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】利用两角差的余弦公式即可求得的值【详解】由，，可得则故选：C6. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（    ）
 A. 6 B.  C.  D. 【6题答案】【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，表示出向量的坐标，利用坐标法求出数量积；【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，，所以；故选：B7. 下列函数中为奇函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义对选项一一判断即可．【详解】对A，由，不是奇函数；对B，由，不是奇函数；对C，由，不是奇函数；对D，由，又的定义域为关于原点对称，所以D正确．故选：D8. 若函数在上单调，则的值为（    ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【8题答案】【答案】D【解析】【分析】先确定，结合的单调性，得到不等式组，求出的值.【详解】因为，，所以，已知在上单调递增，在上单调递减所以，解得：或，解得：综上：的值为或.故选：D9. “”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【9题答案】【答案】A【解析】【分析】分别求解不等式与，再根据充分条件与必要条件概念求解即可．【详解】因为，解得，由，解得，所以能够推出，反之不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A10. 在平面直角坐标系内，将点向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，所得的点均位于函数的图象C上．则下列结论①可能为；②可能为；③；④其中所有正确结论的序号为（    ）A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【10题答案】【答案】A【解析】【分析】由已知条件可得，从而求得的值，代入解析式即可求得取值.【详解】由题意点向左平移个单位长度，所得点位于函数的图象C上，可得，向右平移个单位长度，所得点位于函数的图象C上，可得，即，可得,解得，当时，，不可能为，故①正确，②不正确，，当k为偶数时，函数值为，当k为奇数时，函数值为，故③正确，④不正确，故选：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知向量，，若，则___________．【11题答案】【答案】【解析】【分析】依据向量垂直的充要条件，列出关于k的方程，即可求得k的值【详解】由，，，可得，解之得故答案为：12. 设复数，___________；记z的共轭复数为，则在复平面内对应的点的坐标为___________．【12题答案】【答案】    ①. 5    ②. 【解析】【分析】利用复数乘法法则求出，求出模长，得到共轭复数，写出对应点的坐标.【详解】，故，，故在复平面内对应的点的坐标为.故答案为：5，13. 若，则___________；___________．【13题答案】【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】利用两角和的正切公式可求得的值，利用二倍角的正切公式可求得的值.【详解】，.故答案为：；.14. 已知对任意，有，写出一个符合题意的的值：___________．【14题答案】【答案】【解析】【分析】利用三角函数诱导公式去求的值【详解】由，可知对任意，有则一个符合题意的的值为故答案为：15. 周期信号在电子技术领域具有重要作用．某电路中，一个元件的输入电流是时间t的函数，其解析式为：，其中参数，m均为常数，且，；这个元件的输出电流为：，记T为电流的最小正周期，在内，记满足的t的区间的长度之和为，称为电流的“占空比”．给出下列四个结论：①若，，则电流的“占空比”为；②保持的值不变，电流的“占空比”随m的增大而增大；③保持m的值不变，电流的“占空比”随的增大而减小；④保持的值不变，记当和时，电流的“占空比”分别为和，则．其中所有正确结论的序号是___________．【15题答案】【答案】①②④【解析】【分析】①中，，则正确；②中随m的增大而增大，而不变从而可以判断结果；③中取时即可判断结果；④中当时，设，则当时，，从而判断结果．【详解】①若，，则，电流的最小正周期，，所以“占空比”为，①正确；②保持的值不变， 随m的增大而增大，而不变，所以电流的“占空比”变大，②正确；③保持m的值不变，取时，电流的“占空比”为，③不正确；④保持的值不变，设当时，，则当时，，所以，④正确．故答案为：①②④三、解答题（本大题共3小题，共35分）16. 已知平面直角坐标系内，角的终边经过点．（1）求，及值；（2）求和的值．【16题答案】【答案】（1）， ，；    （2），．【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可；（2）利用正余弦的二倍角公式求解与，结合正弦和公式求解即可．【小问1详解】角的终边经过点，所以， ；【小问2详解】由，，．18. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点．（1）求的解析式；（2）求的零点；（3）求的单调递增区间．【18题答案】【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）待定系数法去求的解析式；（2）利用解三角方程去求的零点；（3）利用正弦函数的单调增区间去求的单调递增区间．【小问1详解】由函数的最小正周期为，可得又函数的图象经过点，则，又，则则的解析式为【小问2详解】由，可得，解之得则的零点为【小问3详解】由，可得则单调递增区间为20. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．（1）当时，求1号座舱与地面的距离；（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．【20题答案】【答案】（1）    （2）或    （3）【解析】【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式，再令代入计算可得；（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；【小问1详解】解：设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，则，，所以依题意，所以，当时，所以，故，所以，即当时，求1号座舱与地面的距离为；【小问2详解】解：令，即，所以，又，所以，所以或，解得或，即或时1号座舱与地面的距离为17米；【小问3详解】解：依题意，，所以令，解，所以当时取得最大值，依题意可得第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）22. 平面直角坐标系内，已知角的终边与单位圆交点的坐标为．（1）若将角的终边关于x轴对称，得到角的终边，则___________；（2）若将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则___________．【22题答案】【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】(1)利用数形结合，得到，进而求解即可.(2) 利用数形结合，得到，进而求解即可.【详解】(1) 将角的终边关于x轴对称，则必有，所以，，进而得到.(2) 将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则必有，进而得到.故答案为：①；②23. 已知，且满足，则的值为___________；的值为___________．【23题答案】【答案】    ①. ##    ②. ##【解析】【分析】利用正弦的二倍角公式进行化简可求得，利用诱导公式对进行化简可得答案.【详解】,，，，可得，= .故答案为：；.24. 函数的部分图象如图所示，其中M，N分别为图象的最高点和最低点．（1）写出该函数图象的一个对称中心的坐标：___________；（2）函数解析式为___________．【24题答案】【答案】    ①. ，（答案不唯一）    ②. ．【解析】【分析】（1）点与点的中点是函数图象的一个对称中心，利用中点公式求解即可；（2）依题意得，，，解方程即可．【详解】（1）由题意可知，点与点的中点是函数图象的一个对称中心，由，，所以函数图象的一个对称中心为；（2）依题意得，，所以由于，所以又因为，得，且所以，故函数解析式为．故答案为：，（答案不唯一）；25. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P，Q分别为AB，AC上的点，满足，，其中．
 （1）的值为___________；（2）向量，的夹角的取值范围是___________．【25题答案】【答案】    ①. 2    ②. 【解析】【分析】（1）由，根据数量积法则运算即可；（2）由，又，求出模的取值范围，从而得出的取值范围．【详解】（1）；（2）由又因为所以，又因为所以故答案为：2；五、解答题（本大题共3小题，共30分）26. 已知点，，满足．（1）求m的值；（2）设O为坐标原点，动点P满足，求当取最小值时点P的坐标．【26题答案】【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）首先求出，的坐标，再根据数量积的运算律得到，再根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先表示出，再根据向量模的坐标计算及二次函数的性质求出的最小值，即可得解；【小问1详解】解：因为，，，所以，，因为，所以，即，即，所以，解得；【小问2详解】解：因为，，所以，，因为所以所以当时，此时，即；28. 已知函数．（1）求最小正周期和对称轴方程；（2）求在上的最大值；（3）若在上单调递减，在上单调递增，其中，且，求的值并讨论在上的值域．【28题答案】【答案】（1）最小正周期，对称轴方程；    （2）3；    （3），值域见解析【解析】【分析】（1）由恒等变换得，即可利用函数的性质求解；（2）先求的范围，即可结合函数单调性求得最值；（3）由上单调递减，在上单调递增得且为的极小值点，结合的范围与函数单调性，即可求得的值；由，可得，结合函数单调性，即可对的值分类讨论（分界点为的情形），即可判断最值【小问1详解】，所以最小正周期，由得，对称轴方程为；【小问2详解】由，得，所以当时，取得最大值，为3；【小问3详解】由题， ，为的极小值点，又，故，所以，即，由，得，，即，当时，可解得，i.当，即，此时在上的值域为，即；ii. 当，即,此时在上的值域为，即30. 对于分别定义在，上的函数，以及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有关系．（1）分别判断下列两组函数是否具有关系，直接写出结论；①，；，；②，；，；（2）若与具有关系，求m的取值范围；（3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足：①在上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意，有．求证：与不具有关系．【30题答案】【答案】（1）①具有关系；②不具有关系    （2）    （3）证明见详解．【解析】【分析】（1）根据具有关系的定义判断即可；（2）求解的值域即可得出结果；（3）根据性质求出其值域，结合三角函数的值域得出的范围，即可证明结论．【小问1详解】①具有关系；②不具有关系．【小问2详解】，所以，则；【小问3详解】因为在上，当且仅当时，取得最大值1；又为定义在R上的奇函数，故在上，当且仅当时，取得最小值，由对任意，有v，所以关于点对称，又，所以的周期为故的值域为；，当时，；时，若，则，时有；当时，；时，若，则，时有；由于，所以故不存在，，使得，所以与不具有关系．