高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案，共15页。
第二章　直线和圆的方程
2.5.2　圆与圆的位置关系
基础过关练
题组一　圆与圆的位置关系
1.(2023福建宁德期中)圆(x-2)2+(y-2)2=1与圆(x+1)2+(y+2)2=25的位置关系是(　　)
A.相切　　　　B.相交
C.内含　　　　D.外离
2.(2023天津铁厂第二中学期中)若圆x2+4x+y2=0与圆(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)有三条公切线,则r=(　　)
A.5　　B.4　　C.3　　D.2
3.(2022四川南充阆中中学期中)已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是(　　)
A.5　　B.7　　C.9　　D.11
4.(2022山东枣庄期末)已知圆O1的方程为(x-a)2+(y-b)2=4,圆O2的方程为x2+(y-b+1)2=1,其中a,b∈R.那么这两个圆的位置关系不可能为(　　)
A.外离　　　　B.外切　　
C.内含　　　　D.内切
5.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离等于(　　)
A.4　　B.42　　C.8　　D.82
6.(2023山东四市联考)我们把圆心在一条直线上且相邻圆彼此外切的一组圆叫作“串圆”.在如图所示的“串圆”中,圆A的方程为x2+(y-1)2=2,圆C的方程为(x-6)2+(y-7)2=2,则圆B的方程为　　　　　　　　. 

题组二　两圆的公共弦问题
7.(2023江苏常州二中期中)圆O1:x2+y2-4x+6y+2=0和圆O2:x2+y2-2x=0的公共弦AB的垂直平分线的方程为(　　)
A.3x-y-3=0　　　　B.x+3y-1=0
C.x+3y+1=0　　　　D.3x+y-3=0
8.已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0相交于A,B两点,则圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上的动点P到直线AB的距离的最大值为　　　　. 
9.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求它们的内公切线方程;
(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=22.求圆O2的方程.
能力提升练
题组一　圆与圆的位置关系
1.(2023浙江省舟山中学月考)已知圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最小值为　(　　)
A.32　　　　B.−32
C.6　　　　D.-6
2.已知圆C1:x2+y2=4与x轴交于A,B两点,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=a,若圆C2上存在点P使得∠APB=90°,则a的取值范围是(　　)
A.[7,+∞)　　　　B.[9,+∞)
C.[9,49]　　　　D.[3,7]
3.(2023浙江湖州六校联考)在平面直角坐标系Oxy中,若圆C1:(x-2)2+(y-1)2=4上存在点M,且点M关于直线x+y+1=0的对称点N在圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)上,则r的取值范围是(　　)
A.[17-2,17+2]　　　　
B.[22-2,22+2]
C.[13-2,13+2]　　　　
D.[5-2,5+2]
4.(多选题)(2023山东烟台期中)圆C1:x2+y2+2x-6y+6=0与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0相交于A,B两点,则(　　)
A.直线AB的方程为4x-4y+5=0
B.公共弦AB的长为148
C.圆C1与圆C2的公切线的长为7
D.线段AB的中垂线方程为x+y-2=0
5.(2023江苏省金湖中学、洪泽中学联考)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆M:(x-6)2+y2=4.
(1)若圆O与圆M有公共点,求r的取值范围;
(2)求过点H(4,3)且与圆M相切的直线l的方程;
(3)当r=2时,设P为平面上的定点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆O和圆M相交,且直线l1被圆O截得的弦的长与直线l2被圆M截得的弦的长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.





题组二　圆与圆的位置关系的综合运用
6.(2023河南安阳期中)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:x2+y2+8x+6y+16=0交于A,B两点,且四边形OACB的面积为3r,则|AB|=(　　)
A.95　　B.165　　C.245　　D.365
7.(多选题)(2023广东深圳实验学校期中)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列结论正确的是(　　)
A.x1+x2=a,y1+y2=b　　　　
B.00),直线l:y=kx(k>0)分别交圆C1,C2于点A,B(A,B在第一象限内),过点A作x轴的平行线交圆C2于M,N两点(N在第一象限内),若点A既是线段OB的中点,又是线段MN的三等分点,求k的值.



10.(2022湖北黄冈期中)已知圆C过点M(1,4),N(3,2),且圆心在直线4x-3y=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知平面上有两点A(-2,0),B(2,0),点P是圆C上的动点,求|AP|2+|BP|2的最小值;
(3)若Q是x轴上的动点,QR,QS与圆C相切,切点分别为R,S,试问直线RS是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.




答案与分层梯度式解析
第二章　直线和圆的方程
2.5.2　圆与圆的位置关系
基础过关练
1.B
2.C
3.C
4.C
5.C
7.D


1.B　圆(x-2)2+(y-2)2=1的圆心坐标为(2,2),半径为1,
圆(x+1)2+(y+2)2=25的圆心坐标为(-1,-2),半径为5,
则两圆圆心距为(2+1)2+(2+2)2=5,
又5-1r1+r2=4,所以两圆外离,从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C.
4.C　根据题意,圆O1的圆心为O1(a,b),半径r=2,圆O2的圆心为O2(0,b-1),半径R=1,
所以r+R=3,r-R=1,
因为|O1O2|=a2+1≥1,所以|O1O2|≥r-R,
故两圆的位置关系不可能是内含.故选C.
5.C　∵两圆都与两坐标轴相切,且都经过点(4,1),
∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.
设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),a>0,b>0,
则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
∴a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2,即x2-10x+17=0的两个实数根,∴a+b=10,ab=17.
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
∴|C1C2|=(a−b)2+(a−b)2=32×2=8.
6.答案　(x-3)2+(y-4)2=8
解析　依题意可得,A(0,1),C(6,7),且B为线段AC的中点,所以B(3,4).
又|AC|=62,圆A,圆C的半径都是2,所以圆B的半径r=22.
故圆B的方程为(x-3)2+(y-4)2=8.
7.D　圆O1:x2+y2-4x+6y+2=0可化为(x-2)2+(y+3)2=11,其圆心为O1(2,-3),
圆O2:x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,其圆心为O2(1,0),
由于O1O2垂直平分弦AB,所以所求直线即为直线O1O2,因为kO1O2=−3−02−1=-3,
所以两圆的公共弦AB的垂直平分线的方程为y-0=-3(x-1),即3x+y-3=0.故选D.
8.答案　722+1
解析　圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0的方程相减,可得x-y-1=0,即直线AB的方程为x-y-1=0.
圆C:(x+3)2+(y-3)2=1的圆心为C(-3,3),半径r=1,
点C(-3,3)到直线AB的距离d=|−3−3−1|2=722,
则圆C上的动点P到直线AB的距离的最大值为d+r=722+1.
9.解析　(1)由圆O1的方程可得其圆心为O1(0,-1),半径r1=2,设圆O2的半径为r2(r2>0),
由题意可得|O1O2|=22+(1+1)2=22,
由两圆外切可得r1+r2=|O1O2|,即2+r2=22,可得r2=22-2,
所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=(22-2)2.
将圆O1与圆O2的方程作差,可得x+y+1-22=0,即内公切线方程为x+y+1-22=0.
(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).
将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程,即4x+4y+r2-8=0,
O1(0,-1)到直线AB的距离d=|−4+r2−8|42+42=|r2−12|42,
由弦长|AB|=24−d2=22,可得d2=2,即|r2−12|422=2,可得r2=4或r2=20,所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
方法归纳　将两圆方程作差得直线方程时,若两圆外切,则此直线方程是两圆的内公切线方程;若两圆内切,则此直线方程是两圆的外公切线方程;若两圆相交,则此直线方程是两圆公共弦所在的直线方程.
能力提升练
1.B
2.C
3.D
4.ACD
6.C
7.ACD
8.B

1.B　圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0可化为(x+a)2+y2=4,其圆心为(-a,0),半径r1=2.
圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0可化为x2+(y-b)2=1,其圆心为(0,b),半径r2=1.
由题意知两圆外切,∴a2+b2=3,得a2+b2=9.
∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立),(a+b)2-2ab=a2+b2=9,
∴(a+b)2=9+2ab≤9+9=18,∴-32≤a+b≤32,
∴a+b的最小值为-32.故选B.
2.C　由题意可得AB为圆C1的直径,要使圆C2上存在点P使得∠APB=90°,只需两个圆有交点即可.由题意知两圆圆心距|C1C2|=32+42=5,
而圆C1的半径r1=2,圆C2的半径r2=a,
所以|r1-r2|≤5≤r1+r2,即|2-a|≤5≤2+a,
可得3≤a≤7,可得9≤a≤49.故选C.
3.D　设圆C1:(x-2)2+(y-1)2=4关于直线x+y+1=0对称的圆为C0:(x-a)2+(y-b)2=4,
则a+22+b+12+1=0,b−1a−2=1,解得a=−2,b=−3,
故C0:(x+2)2+(y+3)2=4.
由题意可知,圆C0:(x+2)2+(y+3)2=4与圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)有交点,
圆C0与圆C2的圆心分别为C0(-2,-3),C2(-1,-1),半径分别为2,r,
则两圆圆心距|C0C2|=(−2+1)2+(−3+1)2=5,
则满足|r-2|≤5≤r+2,解得5-2≤r≤5+2.
∴r的取值范围是[5-2,5+2].故选D.
4.ACD　圆C1与圆C2的方程相减可得直线AB的方程,即为4x-4y+5=0,故A正确;
圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心为C2(1,1),半径r2=1,则|AB|=21−4−4+516+162=144,故B错误;
圆C1:x2+y2+2x-6y+6=0的圆心为C1(-1,3),半径r1=2,由|C1C2|=(−1−1)2+(3−1)2=22,r1=2,r2=1,可得公切线的长度为(22)2−(2−1)2=7,故C正确;
易知线段AB的中垂线为直线C1C2,其方程为y-1=3−1−1−1(x-1),即x+y-2=0,故D正确.故选ACD.
5.解析　(1)因为圆M与圆O有公共点,所以|r-2|≤|MO|=6≤r+2,即4≤r≤8.故r的取值范围为[4,8].
(2)当直线l的斜率不存在时,其方程为x=4,符合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y+3-4k=0,因为直线l与圆M相切,
所以|2k+3|k2+1=2,解得k=-512,
此时直线l的方程为5x+12y-56=0.
综上,直线l的方程为x=4或5x+12y-56=0.
(3)设点P的坐标为(m,n).
由题可设直线l2与l1的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-1k(x-m),即kx-y+n-km=0,-1kx−y+n+1km=0.因为直线l1被圆O截得的弦的长与直线l2被圆M截得的弦的长相等,两圆半径相等,所以由垂径定理可得,原点O到直线l1的距离与圆心M到直线l2的距离相等,故有n+1km1k2+1=|6k+n−km|k2+1,
即(6-m-n)k=m-n或(6-m+n)k=-m-n,由题知此关于k的方程有无穷多个解,故有6−m−n=0,m−n=0或6−m+n=0,−m−n=0,解得m=3,n=3或m=3,n=−3,
故点P的坐标为(3,3)或(3,-3).
6.C　圆C:x2+y2+8x+6y+16=0的圆心为C(-4,-3),半径为3.圆O与圆C的方程相减可得直线AB的方程,即为8x+6y+16+r2=0,
由弦长公式可得|AB|=29−|−32−18+16+r2|64+362=29−(r2−34)2100.
易知OC⊥AB,且|OC|=5,又四边形OACB的面积为3r,故3r=12|AB|·5,即|AB|=6r5,
所以29−(r2−34)2100=6r5,解得r=4(负值舍去),
则|AB|=245.故选C.
7.ACD　设线段AB的中点为M,则M的坐标为x1+x22,y1+y22,
又两圆半径相等,故M也是线段OC的中点,M的坐标为a2,b2,故x1+x2=a,y1+y2=b,故A正确;
设两圆圆心距为d,则d=|OC|=a2+b2,因为两圆相交,所以0