2021北京八中高一（上）期中数学（教师版）

2021北京八中高一（上）期中

数    学

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）若集合，，则集合　　

A． B． C． D．

2．（4分）已知，则等于　　

A．1 B． C．2 D．

3．（4分）的值为　　

A．2 B． C． D．

4．（4分）给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数的序号是　　

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

5．（4分）设，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

6．（4分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（4分）设集合，，若，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

8．（4分）已知函数，在下列说法中正确的是　　

A．是函数的一个零点 

B．函数只有两个零点 

C．函数在上至少有一个零点 

D．函数在上没有零点

9．（4分）函数的最小值为　　

A．2 B． C．3 D．

10．（4分）设集合，，，则　　

A． B． C． D．

11．（4分）已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当，时，．则方程在区间，，内解的个数是　　

A．18 B．12 C．11 D．10

12．（4分）对于集合，定义了一种运算“⊕”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有⊕⊕，则称元素是集合对运算“⊕”的单位元素．例如：，运算“⊕”为普通乘法：存在，使得对任意都有，所以元素1是集合对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：

①，运算“⊕”为普通减法；

②，运算“⊕”为普通加法；

③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．

其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为　　

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．

13．（4分）若命题是“对所有正数，均有”，则是 　　．

14．（4分）若关于的方程的两个实数根为，，且，则实数的值为 　　．

15．（4分）设集合，4，，，，，若，则实数的值为 　　．

16．（4分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨之间的函数关系式可以近似的表示．已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为 　　吨时，可以获得最大利润是 　　万元．

17．（4分）设集合，，，，，，若，则实数的值为 　　．

18．（4分）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 　　．

19．（4分）已知，，给出下列四个条件：①；②；③；④．使“”成立的必要不充分条件是 　　．

20．（4分）称有限集的所有元素的乘积为的“积数”，给定数集，，，，，则集合的所有有偶数个元素的子集的“积数”之和为 　　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

21．（15分）（1）求方程组的解集；

（2）求关于的方程的解集；

（3）求不等式的解集．

22．（14分）已知函数，．

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并予以证明；

（3）求使成立的的取值范围．

23．（13分）已知函数．

（1）若函数的单调减区间为，，则实数　　；

（2）解关于的不等式．

24．（14分）已知函数，．

（1）若使，求实数的取值范围；

（2）设，且在，上单调递增，求实数的取值范围．

25．（14分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．

（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；

（2）设函数的图像与的图像有公共点，证明：函数属于集合；

（3）是否存在实数，使得属于集合？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．

【解答】解：．故选．

【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．

2．【分析】利用分段函数，直接求解函数值即可．

【解答】解：因为，

则．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．

3．【分析】利用对数的运算性质求解．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．

4．【分析】对所给的函数进行判断即可．

【解答】解：该函数在上单调递增，故不满足题意；

该函数在上单调递减，满足题意；

该函数在上单调递减，满足题意；

该函数在上单调递增，不满足题意；

故选：．

【点评】本题考查了基本函数的单调性，学生的数学运算能力，属于基础题．

5．【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可．

【解答】解：指数函数在上单调递增，

，

即，

故选：．

【点评】本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，是基础题．

6．【分析】由，推出且，因此前者是后者的必要不充分条件．

【解答】解：由，得且，能够推出，

而由，不能推出且；

因此前者是后者的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次方程的解法，属于基础题型．

7．【分析】先求出集合，然后对集合为空集和不是空集分类讨论，进而可以求解．

【解答】解：因为集合，则集合，

又因为，则当时，，解得，

当时，，解得，

综上，的取值范围为：，，

故选：．

【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

8．【分析】求出函数的零点，逐一对选项进行判断即可．

【解答】解：，

令，

解得或1或，

结合选项可知正确，

故选：．

【点评】本题考查了零点的判定，属于基础题．

9．【分析】利用对勾函数的单调性即可求解函数的最值．

【解答】解：根据对勾函数的性质可知，在，上单调递增，

所以当时，函数取得最小值3．

故选：．

【点评】本题主要考查了利用函数单调性求解函数的最值，属于基础题．

10．【分析】根据已知分别求出集合，，进而可以判断求解．

【解答】解：因为集合，

所以集合，1，，

又集合，，

所以集合，1，，

所以，

故选：．

【点评】本题考查了集合间的包含关系，涉及到二次函数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

11．【分析】欲判断方程在区间，，内的解个数，利用图解法，在同一坐标系中画出函数与函数的图象，利用图象的交点情况研究解的个数来解答本题．

【解答】解：在同一坐标系中画出满足条件：

①定义域为；

②，有；

③当，时，，

的函数与函数的图象：

观察图象可得：两个函数的图象共有11个交点，

则方程在区间，，内的解的个数是：11．

故选：．

【点评】本小题主要考查根的存在性及根的个数判断、函数图象的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

12．【分析】由新定义依次对3个命题判断即可．

【解答】解：对于①，运算“⊕”为普通减法，

普通减法不满足交换律，故不成立；

对于②，运算“⊕”为普通加法，

存在，使得对任意都有，故成立；

对于③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，

存在，使得对任意都有，故成立；

故选：．

【点评】本题考查了集合及新定义的应用，利用了转化思想及集合思想，属于中档题．

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．

13．【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．

【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题是“对所有正数，均有”，则是：存在正数，．

故答案为：存在正数，．

【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．

14．【分析】根据根与系数的关系得到关于的等式，转化后求解即可．

【解答】解：方程的两个实根为，，

故△，①

则，，

，

，

结合①得．

故答案为：1．

【点评】本题考查了二次函数的性质，考查根与系数的关系以及转化思想，是基础题．

15．【分析】由交集定义解得或，再由集合中元素的性质能求出实数的值．

【解答】解：集合，4，，，，，

，解得或，

当时，，4，，，0，，，成立；

当时，，4，，，5，，不成立，

则实数的值为1．

故答案为：1．

【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16．【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．

【解答】解：生产的总成本（万元）与年产量（吨之间的函数关系式可以近似的表示．

设每吨的平均成本为（万元，

则，

当且仅当，时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．

设年利润为（万元），则．

所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．

故答案为：210；1660．

【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：一正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴，是中档题．

17．【分析】推导出直线和直线平行，由此能求出结果．

【解答】解：集合，，，

，，，，

，当时，，

此时，，解得，

当时，直线和直线平行，

，解得．

故答案为：或4．

【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．【分析】，由题意可得的最小值，然后求解的范围．

【解答】解：关于的不等式解集为，

可设，可得的最小值1，

由，

当且仅当，上式取得等号，

则，

实数的取值范围为：，．

故答案为：，．

【点评】本题考查绝对值不等式的性质，以及不等式恒成立思想，考查运算能力，属于中档题．

19．【分析】根据必要不充分条件的概念，只要看能得到哪个选项，而由该选项得不到即可．

【解答】解：使成立的必要不充分条件，即能得到哪个条件，而由该条件得不到，

对于①，当时，能得到，反之不成立，故①正确，

对于②，当时，不能得到，故②错，

对于③，当时，能得到，反之当 时，不能得到，比如，，故③正确，

对于④，当，时，满足，但不满足，④错．

故答案为：①③．

【点评】本题考查必要不充分条件的概念，不等式的性质．

20．【分析】令，

则集合，，，的所有偶数个元素的子集的“积数”之和，即展开式中所有奇次项数之和．

【解答】解：令，

令，

则，

则集合，，，的所有元素的子集的“积数”之和为，的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为，即展开式中所有奇次项数之和，的所有奇数个元素的子集的“积数”之和为，即展开式中所有偶次项数之和，

则，

令，则，

则，

，

得的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为．

故答案为：．

【点评】本题考查了集合的新定义问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

21．【分析】（1）利用代入消元法消去，然后结合一元二次方程的求法先求出，进而可求；

（2）先对方程进行整理，然后结合一次方程的解法即可求解；

（3）先进行移项，通分化解，然后转化为高次方程，进而可求．

【解答】解：（1）把代入到方程，整理得，，

解得，或，

所以方程组的解集，，；

（2）整理得，

当时，解集为，

当时，解集为；

（3）由得，，

整理得，，

即，

解得，或或，

所以原不等式的解集为或或

【点评】本题主要考查了二元二次方程组的求解，含参数一次方程的求解，还考查了分式不等式的求解，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．

22．【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；

（2）根据函数的奇偶性的定义证明即可；

（3）根据对数函数的性质得到关于的不等式，解出即可．

【解答】解：（1）由，

要使函数有意义，需，解得：

函数的定义域为；

（2）函数是奇函数，

证明如下：令，

对任意的，，

，

是奇函数

函数是奇函数；

（3），即，

故，解得：，

故的取值范围是，．

【点评】本题考查了求对数函数的定义域，奇偶性问题，考查转化思想，是基础题．

23．【分析】（1）由题意可知函数为二次函数，且开口向上，对称轴为，即可解得；

（2）化简为，分类讨论解不等式即可．

【解答】解：（1）函数的单调减区间为，，

，

解得，；

（2）可化为，

当时，原不等式可化为，

解得，即不等式的解集为；

当时，解不等式得，

故不等式的解集为；

当时，解不等式得或，

故不等式的解集为或；

当时，解不等式得或，

故不等式的解集为或．

【点评】本题考查了二次函数的性质及二次不等式的解法，利用了分类讨论的思想，属于中档题．

24．【分析】（1）把使，转化为，，再利用二次函数的性质得△，解出实数的取值范围；

（2）先求得，再对其对应方程的判别式分△和当△两种情况，分别找到满足在，上单调递增的实数的取值范围，最后综合即可．

【解答】解：（1）由，，得，，

△，解得或，

实数的取值范围是，，；

（2）由题设得，

对称轴方程为，△，

由于在，上单调递增，则有：

①当△即时，有，解得，

②当△即或时，设方程的根为，，

若，则，有即为解得；

若，即，有，；得，有，

；

综上所述，实数的取值范围是，，．

【点评】本题的（1）考查了存在性问题，存在性问题是只要能找到即可，并不要求所有的都成立．

25．【分析】（1）将代入定义验证知；

（2）由题意知方程有解，即存在使，化简可证明函数属于集合；

（3）先假设存在，则由新定义知且，方程组无解，故不存在．

【解答】解：（1），证明如下，

当时，则，，

当时，，，故，故不成立，

故；

（2）证明：函数的图像与的图像有公共点，

方程有解，即存在，使，

于是对于函数，，

故；

（3）若，

当时，，，

故，又，，即，

则，，

当且时，，，

故且，方程组无解，

故不存在实数，使得属于集合．

【点评】本题考查了函数的新性质的判断与证明，考查了转化法及反证法，属于中档题．