2023版新教材高中数学本册素养检测卷新人教A版选择性必修第一册

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册全册综合习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知空间向量a＝(－3，2，4)，b＝(1，－2，2)，则|a－b|＝( )
A． eq \r(40) B. 6 C. 36 D. 40
2. 已知直线l1：x＋2y＋2＝0，l2：x－ay－1＝0.若l1∥l2，则实数a的值为( )
A．－2 B. －1 C. 1 D. 2
3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－6，0)，则其欧拉线的一般式方程为( )
A．3x＋y＝1 B. 3x－y＝1 C. x＋3y＝0 D. x－3y＝0
4．若圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值等于( )
A．0 B．2 C．1 D．±2
5．四面体ABCD中，AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＝2，则∠BAC＝( )
A．60° B. 90° C. 120° D. 150°
6．已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，若 eq \(OA,\s\up6(→))＝2 eq \(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为( )
A． eq \f(\r(17),3) B． eq \f(\r(15),3) C． eq \f(\r(11),3) D． eq \f(\r(7),3)
7. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的洞门．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5 m，地面宽为1 m，则该洞门的半径为( )
A．1.1 m B. 1.2 m C. 1.3 m D. 1.5 m
8．椭圆E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E上存在两点A，B满足F1A＝2F2B，|AF2|＝ eq \f(4,3)a，则E的离心率为( )
A． eq \f(\r(5),3) B. eq \f(2,3) C. eq \f(\r(3),2) D. eq \f(1,2)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论错误的是( )
A．过点A(1，3)，B(－3，1)的直线的倾斜角为30°
B．若直线2x－3y＋6＝0与直线ax＋y＋2＝0垂直，则a＝－ eq \f(2,3)
C．直线x＋2y－4＝0与直线2x＋4y＋1＝0之间的距离是 eq \f(\r(5),2)
D．已知A(2，3)，B(－1，1)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值是5
10．在空间直角坐标系O ­ xyz中，A(1，0，0)，B(1，2，－2)，C(0，0，－2)，则( )
A． eq \(OC,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝4 B．异面直线OC与AB所成角等于 eq \f(π,3)
C．点B到平面AOC的距离是2 D．直线OB与平面AOC所成角的正弦值为 eq \f(1,3)
11．已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则有( )
A．公共弦AB所在的直线方程为x＋y＝0
B．公共弦AB的长为 eq \f(\r(2),2)
C．圆O2上到直线AB的距离等于1的点有且只有2个
D．P为圆O1上的一个动点，则P到直线AB距离的最大值为 eq \f(\r(2),2)＋1
12．已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)，若圆(x－2)2＋y2＝1与双曲线C的渐近线相切，则( )
A．双曲线C的实轴长为6
B．双曲线C的离心率为e＝ eq \f(2\r(3),3)
C．点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2＝ eq \f(3,4)
D．直线y＝k1x＋m与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2＝ eq \f(1,3)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1与双曲线 eq \f(x2,m)－ eq \f(y2,5)＝1有共同的焦点，则m＝________．
14．已知直线l过点(2，3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为________．
15．如图，平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________．
16．已知不经过坐标原点O的直线l与圆C：x2＋y2－4x＋4y＝0交于A，B两点，若锐角△ABC的面积为2 eq \r(3)，则|AB|＝________，cs ∠AOB＝________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)在平行四边形ABCD中，A(－1，1)，B(1，2)，C(3，－2)，点E是线段BC的中点．
(1)求直线CD的方程；
(2)求四边形ABED的面积．
18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ ABCD中，AD＝AB＝ eq \f(1,2)CD＝1，∠ADC＝90°，AB∥CD，点M为棱PA的中点．
(1)设 eq \(DA,\s\up6(→))＝a， eq \(DC,\s\up6(→))＝b， eq \(DP,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示 eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(CM,\s\up6(→))；
(2)若PD⊥底面ABCD，且PD＝2，求平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值．
19．(本小题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点，一个焦点为F(4，0)，点D(3， eq \r(15))在椭圆Γ上．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)已知直线l平行于直线DF，且l与椭圆Γ有且只有一个公共点M，求l的方程．
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(2，0)，|AB|＝2，∠AOB＝30°，且点B在第一象限．记△OAB的外接圆为圆E.
(1)求圆E的方程；
(2)过点D(0， eq \r(3))且不与y轴重合的直线l与圆E交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点， eq \f(1,x1)＋ eq \f(1,x2)是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
21. (本小题满分12分)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AC＝4 eq \r(2)，以AC的中线BD为折痕，将△ABD沿BD折起，构成二面角A ­ BD ­ C，在平面BCD内作CE⊥CD，且CE＝ eq \r(2)，连接DE，AE，AC，如图所示．
(1)求证：CE∥平面ABD；
(2)若二面角A ­ BD ­ C的大小为90°，求平面ABC与平面ACE夹角的余弦值．
22．(本小题满分12分)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线 E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长 AF交抛物线E于点 B，证明：以点F为圆心且与直线 GA相切的圆，必与直线GB相切．
本册素养检测卷
1．答案：B
解析：由题意，|a－b|＝|(－4，4，2)|＝ eq \r(（－4）2＋42＋22)＝6.故选B.
2．答案：A
解析：由题意，在直线l1：x＋2y＋2＝0和l2：x－ay－1＝0中，l1∥l2，∴－a＝2，解得a＝－2.故选A.
3．答案：C
解析：显然△ABC为直角三角形，且BC为斜边，
所以其欧拉线方程为斜边上的中线，
设BC的中点为D，由B(0，2)，C(－6，0)，
所以D(－3，1)，由kAD＝ eq \f(1－0,－3－0)＝－ eq \f(1,3)，
所以AD的方程为y＝－ eq \f(1,3)x，
所以欧拉线的一般式方程为x＋3y＝0.故选C.
4．答案：B
解析：圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的标准方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2＋(y－1)2＝ eq \f(a2,4)，圆心坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，
圆x2＋y2－4x＋3＝0的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2，0)，半径为1，连心线所在直线的斜率为 eq \f(1,\f(a,2)－2)＝ eq \f(2,a－4)，中点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋4,4)，\f(1,2)))，由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)＝1，,\f(2,a－4)·1＝－1，,\f(a＋4,4)－\f(1,2)－1＝0，)))解得a＝2.
5．答案：C
解析：由题知，AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°，
所以 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))·( eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AD,\s\up6(→))|cs ∠BAD－| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AC,\s\up6(→))|cs ∠BAC＝2，
所以1·2cs 60°－1·2cs ∠BAC＝2，解得∠BAC＝120°.故选C.
6．答案：A
解析：
设双曲线的一条渐近线方程为y＝ eq \f(b,a)x，H为AB的中点，可得FH⊥AB，
由F(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为FH＝d＝ eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，
所以BH＝ eq \r(a2－b2)，又 eq \(OA,\s\up6(→))＝2 eq \(OB,\s\up6(→))，所以OH＝3BH＝3 eq \r(a2－b2)，
因为OH＝ eq \r(OF2－HF2)＝ eq \r(c2－b2)，
所以3 eq \r(a2－b2)＝ eq \r(c2－b2)，整理可得：9a2－c2＝8b2，
即9a2－c2＝8c2－8a2，所以17a2＝9c2，可得e2＝ eq \f(c2,a2)＝ eq \f(17,9)，所以e＝ eq \f(\r(17),3)，所以双曲线C的离心率为 eq \f(\r(17),3).
7．答案：C
解析：如图所示设圆的半径为r.
由题意知：在Rt△OFD中，|OF|＝ eq \r(r2－（\f(1,2)）2)＝ eq \r(r2－\f(1,4)) ，
又因为|EF|＝2.5，所以r＋|OF|＝2.5，
所以 eq \r(r2－\f(1,4))＋r＝2.5，解得r＝1.3.故选C.
8．答案：A
解析：作点B关于原点的对称点C，连接BF1，CF1，CF2，BC，
则O为BC，F1F2的中点，故四边形BF1CF2为平行四边形，故CF1∥BF2且|CF1|＝|BF2|，则，
所以，故A，F1，C三点共线，
由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，有|AF1|＝ eq \f(2,3)a，所以|CF1|＝ eq \f(a,3)，则|AC|＝a，
再由椭圆定义|CF1|＋|CF2|＝2a，有|CF2|＝ eq \f(5a,3)，
因为|CF2|2＝|AC|2＋|AF2|2，所以∠CAF2＝90°，
在△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2即4c2＝ eq \f(20,9)a2，所以，离心率e＝ eq \f(\r(5),3).故选A.
9．答案：ABC
解析：kAB＝ eq \f(3－1,1＋3)＝ eq \f(1,2)≠tan 30°，故A错误；
若两条直线垂直，则2a－3＝0，得a＝ eq \f(3,2)，故B错误；
直线x＋2y－4＝0可化为2x＋4y－8＝0，则两条直线间的距离d＝ eq \f(|1＋8|,\r(22＋42))＝ eq \f(9\r(5),10)，故C错误；
如图，设点B关于x轴的对称点为C(－1，－1)，
则|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝ eq \r(32＋42)＝5，当且仅当A，P，C三点共线时取“＝”，故D正确．故选ABC.
10．答案：AC
解析：∵A(1，0，0)，B(1，2，－2)，C(0，0，－2)，
eq \(OC,\s\up6(→))＝(0，0，－2)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，2，－2)，∴ eq \(OC,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2)×(－2)＝4，所以A正确．
设OC与AB所成的角为θ，则cs θ＝ eq \f(|\(OC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))|,|\(OC,\s\up6(→))|·|\(AB,\s\up6(→))|)＝ eq \f(4,2×2\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，且θ∈(0， eq \f(π,2)]，所以θ＝ eq \f(π,4)，故B不正确．
设平面AOC的法向量为n＝(x，y，z)，
并且 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0，0)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(0，0，－2)，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))·n＝0,\(OC,\s\up6(→))·n＝0))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,－2z＝0))⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,z＝0))，所以n＝(0，1，0)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，2，－2)，所以点B到平面AOC的距离为 eq \f(|\(OB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(|2|,1)＝2，故C正确．
eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，2，－2)，设直线OB与平面AOC所成角为θ，则sin θ＝ eq \f(|\(OB,\s\up6(→))·n|,|\(OB,\s\up6(→))|·|n|)＝ eq \f(|2|,3×1)＝ eq \f(2,3)，故D不正确．故选AC.
11．答案：CD
解析：圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为O1(1，0)，r1＝1；圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为O2(－1，2)，r2＝ eq \r(5)；
两圆相交且交于A，B两点，故AB所在直线方程为：x2＋y2－2x－(x2＋y2＋2x－4y)＝0，整理得x－y＝0，故A不正确；
圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d1＝ eq \f(1,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，故|AB|＝2 eq \r(r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －d eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )＝ eq \r(2)，故B错误；
因为O2到直线x－y＝0的距离d2＝ eq \f(3,\r(2))＝ eq \f(3\r(2),2)，而r2－d2＝ eq \r(5)－ eq \f(3\r(2),2)<1，
则圆O2上到直线AB的距离等于1的点有且只有2个，故C正确；
因为圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d1＝ eq \f(1,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，
故圆O1上的动点P到直线x－y＝0的最大值为d1＋r＝ eq \f(\r(2),2)＋1，故D正确．故选CD.
12．答案：BCD
解析：由题意知C的渐近线方程为x±ay＝0，所以 eq \f(2,\r(1＋a2))＝1，因为a>0，则a＝ eq \r(3)，
所以双曲线C的实轴长为2a＝2 eq \r(3)，故A错误；
c＝ eq \r(a2＋b2)＝2，所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2,\r(3))＝ eq \f(2\r(3),3)，故B正确；
设P(x0，y0)，则x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －3y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，d1d2＝ eq \f(|x0－\r(3)y0|,2)· eq \f(|x0＋\r(3)y0|,2)＝ eq \f(|x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －3y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) |,4)＝ eq \f(3,4)，故C正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －3y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝3,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －3y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝3))，两式作差得(x1＋x2)(x1－x2)＝3(y1＋y2)(y1－y2)，
所以k1k2＝ eq \f(y1－y2,x1－x2)· eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝ eq \f(1,3)，D对．故选BCD.
13．答案：4
解析：由题意得椭圆的焦点为(－3，0)和(3，0)，
所以3＝ eq \r(m＋5)，所以m＝4.
14．答案：3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
解析：若l在坐标轴的截距均为0，即l过原点，满足题意，
此时l方程为y＝ eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0，
当l在坐标轴截距不为0时，设其在y轴截距为b，
则l方程为 eq \f(x,2b)＋ eq \f(y,b)＝1，代入(2，3)，解得b＝4，
∴l方程为x＋2y－8＝0.
综上，直线l方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
15．答案： eq \r(2)
解析：∵＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋，
∴2＝ eq \(AB,\s\up6(→))2＋ eq \(AD,\s\up6(→))2＋2＋2 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＋2 eq \(AB,\s\up6(→))·＋2 eq \(AD,\s\up6(→))·
＝1＋1＋1＋2×1×1×(－ eq \f(1,2))＋2×1×1×(－ eq \f(1,2))＋2×1×1× eq \f(1,2)＝2，∴|AC1|＝ eq \r(2).
16．答案：2 eq \r(2) eq \f(\r(3),2)或－ eq \f(\r(3),2)
解析：因为圆C的半径为r＝2 eq \r(2)，所以△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)r2sin ∠ACB＝4sin ∠ACB＝2 eq \r(3)，所以sin ∠ACB＝ eq \f(\r(3),2).又△ABC为锐角三角形，所以∠ACB＝60°，∴|AB|＝r＝2 eq \r(2).
因为点O在圆C上，所以∠AOB＝30°或150°，
故cs ∠AOB＝ eq \f(\r(3),2)或－ eq \f(\r(3),2).
17．解析：(1)由AB∥CD，kAB＝ eq \f(1－2,－1－1)＝ eq \f(1,2)，∴直线CD的方程为y－(－2)＝ eq \f(1,2)(x－3)，即x－2y－7＝0.
(2)四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，则E( eq \f(1＋3,2)， eq \f(2－2,2))，即E(2，0)，
直线AD的方程为y－1＝ eq \f(－2－2,3－1)(x＋1)，即2x＋y＋1＝0，则E到直线AD的距离为 eq \f(|2×2＋0＋1|,\r(4＋1))＝ eq \r(5)，|BC|＝ eq \r(（－2－2）2＋（3－1）2)＝2 eq \r(5).
故四边形ABED的面积为 eq \f(（\r(5)＋2\r(5)）×\r(5),2)＝ eq \f(15,2).
18．解析：(1) eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(DC,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(DC,\s\up6(→))＝a－ eq \f(1,2)b；
eq \(CM,\s\up6(→))＝ eq \(DM,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(DP,\s\up6(→)))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(DA,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(DP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a－b＋ eq \f(1,2)c.
(2)由PD⊥平面ABCD，DA，DC⊂平面ABCD，则PD⊥DA，PD⊥DC，
又∠ADC＝90°，则DA⊥DC，故DA，DC，DP两两垂直，
以 eq \(DA,\s\up6(→))方向为x轴， eq \(DC,\s\up6(→))方向为y轴， eq \(DP,\s\up6(→))方向为z轴，建立空间直角坐标系，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，M( eq \f(1,2)，0，1)，
可设平面ABCD的法向量为n1＝(0，0，1)， eq \(BM,\s\up6(→))＝(－ eq \f(1,2)，－1，1)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，
设平面BCM的法向量为n2＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2·\(BM,\s\up6(→))＝0,n2·\(BC,\s\up6(→))＝0))，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)－y＋z＝0,x－y＝0))，令x＝1，n2＝(1，1， eq \f(3,2))，
故cs 〈n1，n2〉＝ eq \f(\f(3,2),\r(\f(9,4)＋2))＝ eq \f(3\r(17),17)，
所以平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值为 eq \f(3\r(17),17).
19．解析：(1)因为椭圆Γ的中心在原点，一个焦点为F(4，0)，
所以c＝4，且另一个焦点为F′(－4，0)，
又点D(3， eq \r(15))在椭圆Γ上，
所以2a＝ eq \r(（3－4）2＋（\r(15)）2)＋ eq \r(（3＋4）2＋（\r(15)）2)＝12，
解得a＝6，则b2＝a2－c2＝20，
所以椭圆Γ的方程为 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,20)＝1.
(2)由题意，设直线l的方程为y＝－ eq \r(15)x＋m，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\r(15)x＋m,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1))，化简得140x2－18 eq \r(15)mx＋9m2－180＝0，
因为l与椭圆Γ有且只有一个公共点，
所以Δ＝(18 eq \r(15)m)2－4×140(9m2－180)＝0，
即m2＝560，解得m＝±4 eq \r(35)，
所以直线的方程为y＝－ eq \r(15)x±4 eq \r(35).
20．解析：(1)由题意可得|OA|＝2，
所以|OA|＝|AB|＝2，
又因为∠AOB＝30°，点B在第一象限，
所以直线AB的倾斜角为60°，
所以xB＝2＋|AB|·cs 60°＝2＋1＝3，yB＝|AB|·sin 60°＝ eq \r(3)，
所以B(3， eq \r(3))，
设△OAB的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0,2D＋F＋4＝0,3D＋\r(3)E＋F＋12＝0))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0,D＝－2,E＝－2\r(3)))，
所以△OAB的外接圆的方程为x2＋y2－2x－2 eq \r(3)y＝0.
(2)由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋ eq \r(3)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\r(3),x2＋y2－2x－2\r(3)y＝0))，可得(1＋k2)x2－2x－3＝0，
所以Δ＝4＋12(1＋k2)>0，
x1＋x2＝ eq \f(2,1＋k2)，x1x2＝－ eq \f(3,1＋k2)，
所以 eq \f(1,x1)＋ eq \f(1,x2)＝ eq \f(x1＋x2,x1x2)＝ eq \f(\f(2,1＋k2),－\f(3,1＋k2))＝－ eq \f(2,3)，
所以 eq \f(1,x1)＋ eq \f(1,x2)是定值－ eq \f(2,3).
21．解析：(1)证明：翻折前，AB＝BC＝4，AC的中线为BD，则BD⊥AC，
在平面BCD内，BD⊥CD，又因为CE⊥CD，所以BD∥CE，
因为CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD.
(2)翻折前，BD⊥AC，翻折后，则有BD⊥AD，BD⊥CD，
所以二面角A ­ BD ­ C的平面角为∠ADC，则∠ADC＝90°，即AD⊥CD，
以点D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，2 eq \r(2))，B(2 eq \r(2)，0，0)，C(0，2 eq \r(2)，0)，D(0，0，0)，E(－ eq \r(2)，2 eq \r(2)，0)，
设平面ABC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(2 eq \r(2)，0，－2 eq \r(2))， eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，2 eq \r(2)，－2 eq \r(2))，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(AB,\s\up6(→))＝2\r(2)x1－2\r(2)z1＝0,m·\(AC,\s\up6(→))＝2\r(2)y1－2\r(2)z1＝0))，取z1＝1，可得m＝(1，1，1)，
设平面ACE的法向量为n＝(x2，y2，z2)， eq \(CE,\s\up6(→))＝(－ eq \r(2)，0，0)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(CE,\s\up6(→))＝－\r(2)x2＝0,n·\(AC,\s\up6(→))＝2\r(2)y2－2\r(2)z2＝0))，取y2＝1，可得n＝(0，1，1)，
cs 〈m，n〉＝ eq \f(m·n,|m|·|n|)＝ eq \f(2,\r(3)×\r(2))＝ eq \f(\r(6),3)，
因此平面ABC与平面ACE夹角的余弦值为 eq \f(\r(6),3).
22．解析：方法一 (1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋ eq \f(p,2).
因为|AF|＝3，即2＋ eq \f(p,2)＝3，解得p＝2，所以抛物线Ε的方程为y2＝4x.
(2)因为点A(2，m)在抛物线Ε：y2＝4x上，
所以m＝±2 eq \r(2)，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2 eq \r(2)).
由A(2，2 eq \r(2))，F(1，0)可得直线ΑF的方程为y＝2 eq \r(2)(x－1)．
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)（x－1）,y2＝4x))，得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝ eq \f(1,2)，从而B( eq \f(1,2)，－ eq \r(2)).
又G(－1，0)，
所以kGA＝ eq \f(2\r(2)－0,2－（－1）)＝ eq \f(2\r(2),3)，kGB＝ eq \f(－\r(2)－0,\f(1,2)－（－1）)＝－ eq \f(2\r(2),3)，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠ΑGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，
故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
方法二 (1)同方法一
(2)证明：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2 eq \r(2)，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2 eq \r(2)).
由A(2，2 eq \r(2))，F(1，0)可得直线ΑF的方程为y＝2 eq \r(2)(x－1).
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)（x－1）,y2＝4x))，得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝ eq \f(1,2)，从而B( eq \f(1,2)，－ eq \r(2)).
又G(－1，0)，故直线GA的方程为2 eq \r(2)x－3y＋2 eq \r(2)＝0，
从而r＝ eq \f(|2\r(2)＋2\r(2)|,\r(8＋9))＝ eq \f(4\r(2),\r(17)).
又直线GΒ的方程为2 eq \r(2)x＋3y＋2 eq \r(2)＝0，
所以点F到直线GΒ的距离d＝ eq \f(|2\r(2)＋2\r(2)|,\r(8＋9))＝ eq \f(4\r(2),\r(17))＝r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．