207.2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（4）

这是一份207.2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（4），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（4）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知为虚数单位，复数满足，则复数所对应的点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知，，，则　　
A．， B． C．， D．，
3．（5分）“，使”是“”成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果　　

A． B． C． D．
6．（5分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　

A． B． C． D．
7．（5分）等差数列的前项和为，若，则下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　　

A．3 B．4 C．5 D．6
9．（5分）用秦九韶算法计算多项式，当时，的值为　　
A．9 B．24 C．71 D．134
10．（5分）已知不等式组，所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则实数的取值范围为　　
A．， B．，，
C．，， D．，
11．（5分）给出下列三个结论：
①设回归直线方程为，当变量增加1个单位时，平均增加2个单位；
②若命题，，，则，；
③已知直线，，则的充要条件是；
其中正确结论的个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（5分）已知函数，，用，表示，中的最小值，设函数，，则函数的零点个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，若，则等于　 　．
14．（5分）在区间上随机取两个实数，，则关于的一元二次方程有实数根的概率为　 　．
15．（5分）过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到轴的距离等于　 　．
16．（5分）已知圆，点在直线上，若圆上存在两点、使得，则点的横坐标的取值范围是　 　．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）设的三个内角，，所对的边分别为，，，点为的外接圆的圆心，若满足．
（1）求角的最大值；
（2）当角取最大值时，已知，点为外接圆圆弧上点，若，求的最大值．
18．（12分）骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学 （常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学，对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）

有骨质疏松症状
无骨质疏松症状
总计
常喝碳酸饮料的同学
22
8
30
不常喝碳酸饮料的同学
8
12
20
总计
30
20
50
（1）能否据此判断有的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？
（2）记常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学为，，，从8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，求，至少有一个被抽到的概率．
附表及公式．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
．
19．（12分）如图，正三棱柱中，，，分别是线段，，的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求点到面的距离．

20．（12分）已知椭圆中，，且椭圆上任一点到点的最小距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图4，过点作两条倾斜角互补的直线，，不重合）分别交椭圆于点，，，，求证：．

21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若曲线在，（2）处的切线过，求的值；
（Ⅱ）求证：当时，不等式在，，上恒成立．
[选修4-4：坐标系与参数方程]．
22．（10分）已知圆和圆的极坐标方程分别为和，点为圆上任意一点．
（1）若射线交圆于点，且其方程为，求得长；
（2）已知，若圆和圆的交点为，，求证：为定值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．若，且．
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由．

2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（4）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知为虚数单位，复数满足，则复数所对应的点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】：复数的代数表示法及其几何意义
【专题】31：数形结合；35：转化思想；：数系的扩充和复数
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：，，，
则复数所对应的点在第一象限．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知，，，则　　
A．， B． C．， D．，
【考点】：补集及其运算
【专题】37：集合思想；49：综合法；：集合
【分析】分别求出关于，的范围，从而求出的补集即可．
【解答】解：，
，，
则，，
故选：．
【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．
3．（5分）“，使”是“”成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；：简易逻辑
【分析】由于“，使”与“”成立等价，即可判断出关系．
【解答】解：“，使” “”，
“，使”是“”成立的充要条件．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值
【专题】36：整体思想；49：综合法；56：三角函数的求值
【分析】由二倍角公式可得，整体利用诱导公式可得，代值可得．
【解答】解：，
，


故选：．
【点评】本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和诱导公式，属基础题．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果　　

A． B． C． D．
【考点】：程序框图
【专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出的值，用裂项法即可计算求值得解．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出的值．
而
．
故选：．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
6．（5分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　

A． B． C． D．
【考点】：茎叶图；：古典概型及其概率计算公式
【专题】12：应用题；：概率与统计
【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．
【解答】解：由已知中的茎叶图得，
甲的平均成绩为；
设污损的数字为，
则乙的平均成绩为，
当，甲的平均数乙的平均数，
即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，
当，甲的平均数乙的平均数，
即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，
所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．
故选：．
【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．
7．（5分）等差数列的前项和为，若，则下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
【考点】85：等差数列的前项和
【专题】36：整体思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列
【分析】由等差数列的求和公式和性质可得，解方程可得．
【解答】解：等差数列的前项和为，且，
，由等差数列的求和公式和性质可得：
，
故选：．
【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　　

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】：由三视图求面积、体积
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离
【分析】由三视图，得到几何体为四棱锥，依据图中数据计算体积．
【解答】解：由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为2，下底为4，高为2 的直角梯形，棱锥的高为2，
所以体积为；
故选：．
【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．
9．（5分）用秦九韶算法计算多项式，当时，的值为　　
A．9 B．24 C．71 D．134
【考点】：秦九韶算法
【专题】11：计算题；：转化法；：算法和程序框图
【分析】用秦九韶算法求多项式，即可得出．
【解答】解：用秦九韶算法求多项式，
当时，，，，．
故选：．
【点评】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）已知不等式组，所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则实数的取值范围为　　
A．， B．，，
C．，， D．，
【考点】：简单线性规划
【专题】31：数形结合；：转化法；：不等式
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：画出可行域（如图阴影部分所示），直线恒过点，
则直线与区域有公共点时满足或．
而，，
则或，
故选：．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率以及数形结合是解决本题的关键．
11．（5分）给出下列三个结论：
①设回归直线方程为，当变量增加1个单位时，平均增加2个单位；
②若命题，，，则，；
③已知直线，，则的充要条件是；
其中正确结论的个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】：命题的真假判断与应用
【专题】11：计算题；49：综合法；：简易逻辑
【分析】利用回归直线方程判断①的正误；命题的否定判断②的正误；直线垂直的充要条件判断③的正误；
【解答】解：①设回归直线方程为，当变量增加1个单位时，平均减少2.5个单位；所以①不正确；
②若命题，，，则，；不满足命题的否定形式；所以②不正确；
③已知直线，，则的充要条件是；因为，两条直线也垂直，所以③不正确；
故选：．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
12．（5分）已知函数，，用，表示，中的最小值，设函数，，则函数的零点个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】53：函数的零点与方程根的关系
【专题】31：数形结合；：转化法；51：函数的性质及应用
【分析】根据，的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出函数和的图象如图，两个图象的下面部分图象，
由，得，或，
由，得或，
（e），
当时，函数的零点个数为3个，
故选：．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用．
二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，若，则等于　5　．
【考点】91：向量的概念与向量的模
【专题】38：对应思想；：转化法；：平面向量及应用
【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程求出，再根据向量模的定义即可求出．
【解答】解：，，
，
，
，解得，，
，
，
故答案为：5．
【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量的数量积公式，向量的模，属于基础题．
14．（5分）在区间上随机取两个实数，，则关于的一元二次方程有实数根的概率为　　．
【考点】：几何概型
【专题】11：计算题；31：数形结合；：数学模型法；：概率与统计
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出对应图形的面积，及满足条件“关于的一元二次方程方程有实数根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解
【解答】解：要使方程有实数根，
只需满足△，即，
又，是从区间上随机取两个数，
则满足条件的，，如图所示，
关于的一元二次方程有实数根的概率为
；
故答案为：

【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关
15．（5分）过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到轴的距离等于　4　．
【考点】：抛物线的性质
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】过、、 分别作准线的垂线，垂足分别为、、，如图所示：由为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出，则 为所求．
【解答】解：抛物线焦点，准线为，
由于的中点为，过、、 分别作准线的垂线，
垂足分别为、、，交纵轴于点，如图所示：
则由为直角梯形的中位线知，，
，
故答案为：4．

【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
16．（5分）已知圆，点在直线上，若圆上存在两点、使得，则点的横坐标的取值范围是　　．
【考点】：直线与圆的位置关系
【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：直线与圆
【分析】由题意可得圆心，推导出点到圆上的点的最小距离应小于或等于半径．设点的坐标为，则，由此能求出点的横坐标的取值范围．
【解答】解：由题意可得圆心，
点在直线上，圆上存在两点、使得，
如图，，，
点到圆上的点的最小距离应小于或等于半径．
设点的坐标为，
则，
化简可得，解得，
点的横坐标的取值范围是：
故答案为：．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，判断点到圆上的点的最小距离应小于或等于半径，是解题的关键，体现了转化的数学思想，属于中档题．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）设的三个内角，，所对的边分别为，，，点为的外接圆的圆心，若满足．
（1）求角的最大值；
（2）当角取最大值时，已知，点为外接圆圆弧上点，若，求的最大值．
【考点】：平面向量数量积的性质及其运算
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；：平面向量及应用；：不等式
【分析】（1）由余弦定理可以得到，而由即可得出的范围，从而得出的范围，进一步便可得到，从而有，这便说明角的最大值为；
（2）时便可得出为等边三角形，从而可求得外接圆半径为1，并可求得，从而对两边平方便可得到，这样便可得出的最大值．
【解答】解：（1）在中由余弦定理得，；
；
；
；
；
，当且仅当时取“”；
；
即；
；
角的最大值为；
（2）当角取最大值时，；
为等边三角形；
为的中心，如图所示，为边的中点，连接，则：
，且；
，即外接圆半径为1，且；
；
对两边平方得，；
；
，当且仅当时取“”；
；
的最大值为1．

【点评】考查余弦定理，不等式的性质，基本不等式及不等式的运用，以及向量数量积的运算及计算公式，清楚三角形外接圆的概念．
18．（12分）骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学 （常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学，对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）

有骨质疏松症状
无骨质疏松症状
总计
常喝碳酸饮料的同学
22
8
30
不常喝碳酸饮料的同学
8
12
20
总计
30
20
50
（1）能否据此判断有的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？
（2）记常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学为，，，从8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，求，至少有一个被抽到的概率．
附表及公式．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
．
【考点】：独立性检验；：列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【专题】11：计算题；35：转化思想；：概率与统计
【分析】（1）能否据此判断求出观测值，判断是否有的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关．
（2）从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有28种，找出含有病症的数目，然后求解概率．
【解答】解：（1）由表中数据得的观测值．
所以根据统计有的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关．
（2）由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有28种，
，，，，，，
，，，，，
，，，，
，，，
，，

其中，两人至少有一个被抽到的事件有，，，，，，
，，，，， 13种，．
【点评】本题考查独立检验的应用，古典概型的概率公式的应用，考查计算能力．
19．（12分）如图，正三棱柱中，，，分别是线段，，的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求点到面的距离．

【考点】：直线与平面平行；：点、线、面间的距离计算
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离
【分析】（1）连接，设为，的交点，连接，，，推出四边形为平行四边形，得到，即可证明平面．
（2）说明三角形是直角三角形，利用，求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接，设为，的交点，
由题意可知为的中点，连接，，，
，分别为，中的边上的中位线，
，，，
四边形为平行四边形，．
又平面，平面，
平面．
（2）解：是线段的中点，点到面的距离，就是点到面的距离，设为：；正三棱柱中，，可得，，，，可得三角形是直角三角形，
，
可得，
解得．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20．（12分）已知椭圆中，，且椭圆上任一点到点的最小距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图4，过点作两条倾斜角互补的直线，，不重合）分别交椭圆于点，，，，求证：．

【考点】：椭圆的标准方程；：直线与椭圆的综合
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（1）设为椭圆上任一点，由，椭圆的方程可化为，通过求解椭圆上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．
（2）直线，不重合，则直线，的斜率均存在，设直线，点，，，．
直线．联立消去，由韦达定理以及弦长公式化简，可得．
【解答】（1）解：设为椭圆上任一点，由，
则椭圆的方程可化为，
从而．
由于，则当时，，
故椭圆的标准方程为．
（2）证明：由于直线，不重合，则直线，的斜率均存在，
设直线，点，，，．
易知直线，
由得，
由韦达定理有：，，
则；
同理可得，
从而有．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若曲线在，（2）处的切线过，求的值；
（Ⅱ）求证：当时，不等式在，，上恒成立．
【考点】：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】35：转化思想；48：分析法；：转化法；52：导数的概念及应用
【分析】（Ⅰ）将代入原函数和导函数，求出切点坐标和切线斜率，得到切线的点斜式方程，将代入，可求的值；
（Ⅱ）若证：当时，不等式在，，上恒成立．只需证：在恒成立，设，，，利用导数法求其最值后，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）解由得：函数的定义域为，，，
（2），，
（2），
曲线在，（2）处的切线
将代入，得，
解得：
证明：（Ⅱ）
若证：当时，不等式在，，上恒成立．
只需证：在，，上恒成立，
，，时，恒成立，
只需证：在恒成立
设，，
恒成立
只需证：在，恒成立
，
恒成立，
单调递增，

单调递增，

在，恒成立
即在，，上恒成立．
【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上过某点的切线方程，难度中档．
[选修4-4：坐标系与参数方程]．
22．（10分）已知圆和圆的极坐标方程分别为和，点为圆上任意一点．
（1）若射线交圆于点，且其方程为，求得长；
（2）已知，若圆和圆的交点为，，求证：为定值．
【考点】：简单曲线的极坐标方程
【专题】17：选作题；34：方程思想；：演绎法；：坐标系和参数方程
【分析】（1）代入，可得，即可求出；
（2）求出，，的直角坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．
【解答】（1）解：代入，可得，
；
（2）证明：由题意，，，，，，
设，则，为定值．
【点评】本题考查极坐标方程，考查两点间的距离公式，比较基础．
[选修4-5：不等式选讲]
23．若，且．
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由．
【考点】：基本不等式及其应用
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；59：不等式的解法及应用
【分析】（1）利用已知条件用表示的，化简所求表达式，利用基本不等式求解最值即可．
（2）利用基本不等式求出表达式的最小值，判断是否存在，即可．
【解答】解：（1）由条件知，．所以．
当且仅当，即，时取等，所以的最小值为6．
（2）因为，当且仅当，时取等，
所以，故不存在，使得．
【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想，以及计算能力．
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