2022-2023学年陕西省西安市高新一中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安市高新一中九年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在227，0，3.1415926，2.010010001…，− 3，3343，−π3这些数中，无理数的个数为( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2. 如图，已知AD // BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
3. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000108m，该数值用科学记数法表示为( )
A. 1.08×10−4B. 1.08×10−5 C. −1.08×105 D. 108×10−6
4. 下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a6B. (ab)2=ab2
C. (a+b)2=a2+b2D. (a+b)(a−b)=a2−b2
5. 如图，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE沿着DE对折，点A落在BC边上的点F，若∠B=50°，则∠BDF的度数为( )
A. 50°B. 70°C. 75°D. 80°
6. 若直线l1经过点(0,3)，直线l2经过点(5,2)，且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为( )
A. (−2,0)B. (2,0)C. (−3,0)D. (3,0)
7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD=2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是( )
A. 30°
B. 35°
C. 45°
D. 60°
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
有下列四个结论：①abc3，则m>n．
其中正确结论的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 把多项式xy2−36x分解因式的结果是 ．
10. 将正六边形ABCDEF和正五边形BCGHI按如图所示的位置摆放，连接DG，则∠CDG= ______ ．
11. 在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是______ ．
12. 正比例函数y=kx与反比例函数y=1x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则代数式x1y2+x2y1的值是______．
13. 如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF，连OF，线段OF的最小值为______．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题4.0分)
计算：2sin 45°− 4+(−13)−1+| 2−3|．
15. (本小题4.0分)
解不等式组：╔╔ \ begin{cases}2(x-3) \ leqslant x-4\\\dfrac{x-2}{2}
16. (本小题4.0分)
化简：(3x−3−3xx2−9)÷3x−9x2−6x+9，然后从−3，1，3中选一个合适的值代入求解．
17. (本小题5.0分)
如图，在矩形ABCD中，AD=AE，在AE上找一点F，使得DF=DC(保留作图痕迹，不写作法)．
18. (本小题5.0分)
我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F，求证OE=OF;
19. (本小题5.0分)
如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C点的坐标为(1,2)．
(1)直接写出点B的坐标为______；
(2)求△ABC的面积；
(3)将△ABC向左平移1个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
20. (本小题6.0分)
为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查的样本容量是______，B项活动所在扇形的圆心角的大小是______，条形统计图中C项活动的人数是______；
(2)若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
21. (本小题6.0分)
数学活动课上，小明同学利用无人机测量大楼CD的高度.无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为120米，楼AB的高度为18米的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B、C、D、P在同平面内)．
(1)求楼CD的高度(结果保留根号)；
(2)求此时无人机距离地面BC的高度．
22. (本小题6.0分)
2023年第19届亚运会的吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”.如图，现有三张正面印有这三种吉祥物的不透明的卡片，依次记为A、B、C，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，小亮从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的概率．
23. (本小题6.0分)
在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A、B两种型号客车作为交通工具.下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
(1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式(也称关系式)，请直接写出x的取值范围;
(2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案?哪种租车方案最省钱?
24. (本小题8.0分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
(1)求证：AE与⊙O相切；
(2)当BC=6，csC=13时，求⊙O的半径．
25. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
26. (本小题12.0分)
综合与实践
【知识方法】
(1)如图1，在△ABC与△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，CE=CD，连接AE、BD，则AE与BD的数量关系是______ ；
【类比迁移】
(2)如图2，正方形ABCD与正方形DEFG共用点D，连接BF、AE、CG，试探究AE与CG之间的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】
(3)如图3，点P是矩形ABCD边CD上的动点，连接BP，将BP绕点P顺时针旋转90°至EP，EP交AD于点G，将CP绕点P顺时针旋转90°至FP，连接FG、FA、AE，若AB=3，BC=6，求四边形AEGF面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2.010010001…，− 3，−π3是无理数，
故选：B．
根据无理数的定义即可求出答案．
本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
考查了平行线的性质、角平分线的概念，要熟练掌握．
根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等及角平分线的定义解答．
【解答】
解：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠B=30°，
再根据角平分线的概念，得：∠BDE=∠ADB=30°，
再根据两条直线平行，内错角相等得：∠DEC=∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°，
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：0.0000108=1.08×10−5．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|n，④正确，符合题意．
故选：B．
先通过表格及待定系数法求出函数解析，从而判断①②，然后通过二次函数图象的对称性可得x=0和x=1时，y=−4，从而判断③，再根据抛物线的对称性可得t=3时，n=m，进而判断④．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
9.【答案】x(y+6)(y−6)
【解析】解：xy2−36x
=x(y2−36)
=x(y+6)(y−6)，
故答案为：x(y+6)(y−6)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意必须先提公因式．
10.【答案】24°
【解析】解：由题意得，CG=CD．
∴∠CGD=∠CDG．
∵多边形ABCDEF是正六边形、多边形BCGHI是正五边形．
∴∠BCG=120°，∠BCD=108°．
∴∠DCG=360°−∠BCG−∠BCD=360°−120°−108°=132°．
∴∠CGD+∠CDG=180°−∠GCD=48°．
∴2∠CDG=48°．
∴∠CDG=24°．
故答案为：24°．
由题意得，CG=CD，根据等腰三角形的性质，得∠CGD=∠CDG.根据正多边形的性质，由多边形ABCDEF是正六边形、多边形BCGHI是正五边形，得∠BCG=120°，∠BCD=108°，从而得到∠DCG=360°−∠BCG−∠BCD=360°−120°−108°=132°，那么∠CGD+∠CDG=180°−∠GCD=48°.，进而解决此题．
本题主要考查正多边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握正多边形的性质、等腰三角形的性质是解决本题的关键．
11.【答案】( 5−1)
【解析】解：∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比，
∴该雕像的下部设计高度= 5−12×2=( 5−1)m，
故答案为：( 5−1)．
根据黄金分割的定义可得：该雕像的下部设计高度= 5−12×2全部高度，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
12.【答案】−2
【解析】解：∵A(x1,y1)、B(x2,y2)在反比例函数y=1x的图象上，
∴x1y1=x2y2=1，
∵正比例函数y=kx与反比例函数y=1x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴x1=−x2，y1=−y2，
∴x1y2+x2y1
=−x1y1−x2y2
=−1−1
=−2，
故答案为：−2．
根据反比例函数图象上点的坐标图象以及正比例函数的性质可得答案．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数、反比例函数的图象和性质是正确解答的前提．
13.【答案】5 102−2
【解析】解：如图，连接CO，将线段CO绕点C逆时针旋转90°得CM，连接FM，OM，
则∠ECF=∠OCM=90°，
∴∠ECO=∠FCM，
∵CE=CF，CO=CM，
∴△ECO≌△FCM(SAS)，
∴FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，AB=5，O是AB边的中点，
∴OB=2.5，
∴OC= 52+(52)2=5 52，
而在△OCM中，OC2+MC2=OM2，
∴OM= 2OC=5 102，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥5 102−2．
∴线段OF的最小值为5 102−2．
如图，如图，连接CO，将线段CO绕点C逆时针旋转90°得CM，连接FM，OM，根据全等三角形的性质得到FM=OE=2，根据勾股定理得到OC= 52+(52)2=5 52，求得OM= 2OC=5 102，于是得到结论．
本题考查图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系等．解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
14.【答案】解：原式=2× 22−2−3+3− 2
= 2−2−3+3− 2
=−2．
【解析】分别根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知特殊角的三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则是解题的关键．
15.【答案】解：2(x−3)≤x−4①x−22−2，
∴不等式组的解集为−2