高中北师大版 (2019)4.2 二项式系数的性质同步训练题

第五章　§4　4.2　

A　组·素养自测

一、选择题

1．若n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是(　C　)

A．第3项　　 B．第4项　　

C．第5项　　 D．第6项

[解析]　令x＝1，得出n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；

∴8的展开式通项公式为：

Tk＋1＝C·(3)8－k·k＝(－1)k·38－k·C·x4－k，

令4－k＝0，解得k＝4.

∴展开式的常数项是Tk＋1＝T5，即第5项．故选C．

2．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　B　)

A．64　　 B．32

C．63　　 D．31

[解析]　由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，

则C＋C＋C＝C＋C＋C＝6＋20＋6＝32，故选B．

3．若a为正实数，且2 020的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2 020项为(　D　)

A．　　 B．－

C．　　 D．－

[解析]由条件知，(a－1)2 020＝1，∴a－1＝±1，

∵a为正实数，∴a＝2.

∴展开式的第2 020项为：

T2 020＝C·(2x)·2 019

＝－2C·x－2 018＝－4 040x－2 018，故选D．

4．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　C　)

A．2　　 B．　　

C．1　　 D．

[解析]　二项式7的通项公式为Tk＋1＝C(2x)7－kk＝C27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.

5．对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论不成立的是(　B　)

A．a2＝－144　　　　

B．a0＝1

C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1　　　　

D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39

[解析]　对任意实数x，

有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9

＝[－1＋2(x－1)]9，

所以a2＝－C×22＝－144，故A正确；

故令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；

令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；

令x＝0，可得a0－a1＋a2＋…－a9＝－39，故D正确．

6．(多选)对于6的展开式，下列说法正确的有(　BC　)

A．有理项有3项

B．第4项的系数为－160

C．常数项为－160

D．各项系数之和为36

[解析]　∵Tk＋1＝C·26－k·(－1)k·x3－k

∴展开式共有7项全部为有理项，A错误；展开式第4项的系数为－C·8＝－160，B正确；令3－k＝0，得k＝3.

∴常数项为－160，C正确；令x＝1，得各项系数和为1，D错误．故选BC．

二、填空题

7．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是_1或38__.

[解析]　Tk＋1＝Cx8－kk

＝(－a)k·C·x8－2k，令8－2k＝0得k＝4，

由条件知，a4C＝1 120，∴a＝±2，

令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.

8．若(x－3)3(2x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a0＝_－27__，a0＋a2＋…＋a8＝_－940__.

[解析]　令x＝0，得(－3)3＝a0，所以a0＝－27，

令x＝1，得(－2)3×35＝a0＋a1＋a2＋…＋a8，

令x＝－1，得(－4)3×(－1)5＝a0－a1＋a2－…＋a8，

两式相加得2(a0＋a2＋…＋a8)＝－1 880，

所以a0＋a2＋…＋a8＝－940.

三、解答题

9．设(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021(x∈R)．

(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；

(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值．

[解析]　(1)令x＝1，得：

a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1.①

(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…－a2 021＝32 021②

①－②得：

2(a1＋a3＋…＋a2 019＋a2 021)＝－1－32 021，

∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－.

(3)∵Tk＋1＝C·12 021－k·(－2x)k

＝(－1)k·C·(2x)k，

∴a2m－1<0(m∈N*)，a2m>0(m∈N*)．

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 021|

＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 020－a2 021

＝32 021.

10．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.

(1)求x2的系数取最小值时n的值；

(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．

[解析]　(1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·＝2＋.

因为m∈N*，

所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.

(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，

所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，

设这时f(x)的展开式为

f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，

令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，

两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.

B　组·素养提升

一、选择题

1．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图“0－1三角”．在“0－1三角”中，从第1行起，设第n(n∈N＋)次出现全行为1时，1的个数为an，则a3等于(　D　)

A．26　　 B．27　　

C．7　　 D．8

[解析]　第1行和第3行全是1，已经出现了2次，依题意，第6行原来的数是C，而C＝6为偶数，不合题意；第7行原来的数是C，即1,7,21,35,35,21,7,1全为奇数，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情况．

2．设(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021，则＋＋…＋的值为(　C　)

A．2　　 B．0　　

C．－1　　 D．1

[解析]　令x＝0，可得a0＝1，

令x＝，可得0＝1＋＋＋…＋，

∴＋＋…＋＝－1，故选C．

3．关于下列(a－b)10的说法，错误的是(　C　)

A．展开式中的二项式系数之和是1 024

B．展开式的第6项的二项式系数最大

C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

[解析]　由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正确．二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，故D正确．

4．若9n＋C9n－1＋…＋C9＋C是11的倍数，则自然数n为(　A　)

A．奇数　　 B．偶数

C．3的倍数　　 D．被3除余1的数

[解析]　∵9n＋C9n－1＋…＋C9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，∴n＋1为偶数，即n为奇数．

二、填空题

5．记f(m，n)为(1＋x)6(1＋y)4展开式中xm·yn项的系数，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝_120__.

[解析]　f(3,0)＝C＝20，f(2,1)＝CC＝60，f(1,2)＝CC＝36，f(0,3)＝C＝4，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝20＋60＋36＋4＝120.

6．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝___.

[解析]　设f(x)＝(1＋x＋x2)n，

则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①

f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②

由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，

所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n

＝＝.

三、解答题

7．在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

[解析]　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)

由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．

(1)二项式系数和为

C＋C＋…＋C＝210.

(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.

(3)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；

x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.

8．在n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.

(1)求n的值；

(2)求展开式中所有的有理项；

(3)求展开式中系数最大的项．

[解析]　(1)由题意知：Tk＋1＝C2kx2n－k，则第4项的系数为C23，倒数第4项的系数为C2n－3，则有＝，即＝，所以n＝7.

(2)由(1)可得Tk＋1＝C2kx14－k(k＝0,1，…，7)，

当k＝0,2,4,6时，所有的有理项为T1，T3，T5，T7，

即T1＝C20x14＝x14，T3＝C22x9＝84x9，

T5＝C24x4＝560x4，T7＝C26x－1＝448x－1.

(3)设展开式中第k＋1项的系数最大，则

，⇒，⇒≤k≤，所以k＝5，故系数最大项为T6＝C25x＝672x.