高考数学一轮复习第4章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

这是一份高考数学一轮复习第4章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求：1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．2．借助单位圆的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．一、教材概念·结论·性质重现1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：＝tan α．(3)常见变形：sin α＝±；cos α＝±；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α．利用同角三角函数的基本关系可以实现正弦、余弦、正切值的转化，但一定要注意确定角的终边所在的象限．“同角”有两层含义：一是角相同，二是任意一个角(在有意义的前提下)．2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角απ＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α  口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限 诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限．”其含义理解为：(1)所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数，变与不变是指三角函数名称的变化．(2)结果的符号与把α当成锐角时角k·±α(k∈Z)的三角函数值的符号相同．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (　√　)(2)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝． (　×　)(3)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，则m<－5或m≥3．                             (　×　)2．若α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)A．　 　B．－　 　C．　 　D．－D　解析：因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝±．因为α是第四象限角，所以sin α＝－．3．已知sin＝，则cos＝(　　)A．   B．  C．－   D．－C　解析：因为sin＝，所以cos＝cos＝－sin＝－．故选C．4．若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝_______，tan α＝________．－　　解析：因为α是第三象限角且cos α＝－，所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝．5．已知sin α＝，则·sin(α－π)·cos(2π－α)的值为________．－　解析：原式＝·(－sin α)·cos(－α)＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α＝－．考点1　同角三角函数关系的基本应用——应用性考向1　知弦求弦、切或知切求弦(1)(2022·济南一模)已知α∈(0，π)，若cos α＝－，则tan α的值为(　　)A．　　　　B．－　　　　C．　　　　D．－D　解析：因为α∈(0，π)，cos α＝－，所以sin α＝，则tan α＝－．(2)(2021·安庆一模)已知3sin＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝(　　)A．－   B．－  C．   D．A　解析：由3sin＋sin(θ＋π)＝0，可得3cos θ＝sin θ，可得tan θ＝3．而θ∈(－π，0)，可得sin θ＝－＝－．本例(2)条件不变，求cos θ的值．解：由3sin＋sin(θ＋π)＝0，可得3cos θ＝sin θ，可得tan θ＝3．而θ∈(－π，0)，可得sin θ<0．又tan θ＝3>0，所以cos θ<0，所以cos θ＝－＝－．1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现正弦、余弦的互化，利用tan α＝可以实现弦切互化．2．由一个角的任意一个三角函数值可以求出这个角的另外两个三角函数值，求值时要注意角所在的象限，以免出现符号错误．考向2　弦切互化求值(1)已知cos θ＝，则sin θ·的值为(　　)A．   B．－  C．3   D．－3 C　解析：原式＝sin θ＝sin θ·＝＝3．(2)(2021·新高考全国Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)A．－   B．－  C．   D．C　解析：将式子进行齐次化处理，得＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝．本例(2)条件不变，求cos2θ－sin 2θ的值．解：cos2θ－sin 2θ＝＝＝＝1．1．弦化切的常见结构(1)形如“asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α”的二次式，分母看作1，利用1＝sin2α＋cos2α将原式转化为齐次式求值．(2)形如“”的齐次分式．2．切化弦当要化简的式子中同时出现正弦、余弦、正切时，一般利用公式tan α＝，把式中的正切化为弦．考向3　sin α±cos α，sin αcos α之间的关系(1)已知sin α＋cos α＝，且α∈(0，π)，则sin α－cos α＝(　　)A．±　   B．－  C．   D．C　解析：把sin α＋cos α＝，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝－<0．因为0<α<π，故sin α>0，cos α<0．所以sin α－cos α＝＝＝＝．(2)已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x等于(　　)A．－   B．  C．   D．－D　解析：由题意可知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则(sin x＋cos x)2＝．因为sin2x＋cos2x＝1，所以2sin xcos x＝－，即＝＝－，得tan x＝－或tan x＝－．当tan x＝－时，sin x＋cos x<0，不合题意，舍去．所以tan x＝－．注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．1．(2021·海南模拟)已知tan θ＋＝4，则sin4θ＋cos4θ＝(　　)A．   B． C．   D．D　解析：由tan θ＋＝＋＝＝＝4，得sin θcos θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×＝．2．若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝(　　)A．   B．－  C．   D．－B　解析：因为sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，所以两边平方，可得1＋2sin αcos α＝，可得2sin αcos α＝－＜0，所以sin α＞0，cos α＜0，可得cos α－sin α＝－＝＝－＝－，所以＝＝－＝－．考点2　诱导公式的应用——综合性(1)sin·cos·tan的值是________．－　解析：原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－．(2)(2021·北京卷)若P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值：________．(答案不唯一)　解析：因为P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，故其横坐标相反，纵坐标相等，即sin θ＝sin且cos θ＝－cos，由诱导公式sin θ＝sin(π－θ)，cos θ＝－cos(π－θ)，所以θ＋＝π－θ，解得θ＝，则符合题意的θ值可以为．1．诱导公式的两个应用口诀(1)求值：负化正，大化小，化到锐角就终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少目的到．2．角的变化的通式特殊角±已知角＝所求角．1．下列各选项中与sin 2 022°最接近的是(　　)A．   B．  C．－   D．－D　解析：sin 2 022°＝sin(1 800°＋222°)＝sin 222°＝sin(180°＋42°)＝－sin 42°≈－．2．已知sin＝－，则cos＝(　　)A．   B．  C．－  　D．－B　解析：cos＝cos＝－cos＝－sin＝．已知3cos x＋4sin x＝5，求tan x的值．[四字程序]读想算思求tan x的值1．同角的正弦、余弦和正切有什么关系？2．3cos x＋4sin x的最大值是多少？3．由已知条件联想点A(cos x，sin x)在哪条直线上1．求sin x和cos x．2．辅助角公式 1．方程思想．2．数形结合．3．转化与化归 3cos x＋4sin x＝51．sin2x＋cos2x＝1，tan x＝．2．3cos x＋4sin x的最大值为5．3．点A(cos x，sin x)在直线3x＋4y＝5上1．联立3cos x＋4sin x＝5与sin2x＋cos2x＝1．2．3cos x＋4sin x＝5sin(x＋φ) 1．tan x可看作直线的斜率．2．将已知条件变为cos x＋sin x＝1思路参考：解方程组解：由消去cos x，整理得(5sin x－4)2＝0，解得sin x＝，cos x＝．故tan x＝＝．思路参考：注意到3cos x＋4sin x的最大值为5，利用辅助角公式推出x与辅助角的关系．解：3cos x＋4sin x＝5＝5sin(x＋φ)＝5，其中cos φ＝，sin φ＝，所以tan φ＝，所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．于是tan x＝tan＝＝．思路参考：令tan x＝t，借助已知条件用t表示sin x和cos x．解：令tan x＝t，即tcos x＝sin x，代入3cos x＋4sin x＝5，得3cos x＋4tcos x＝5，所以cos x＝，sin x＝．再代入sin2x＋cos2x＝1，得＋＝1，解得t＝，即tan x＝．思路参考：设P(m，n)为角x终边上任意一点，r＝，利用三角函数的定义求解．解：设P(m，n)为角x终边上任意一点，点P到原点O的距离为r，则r＝．把sin x＝，cos x＝代入已知等式得3·＋4·＝5，即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)，整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n．显然m≠0，故tan x＝＝．思路参考：设点A(cos x，sin x)是直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1的切点，而tan x＝kOA．解：由3cos x＋4sin x＝5可知点A(cos x，sin x)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线3x＋4y＝5与单位圆的切点．由于直线3x＋4y＝5的斜率为－，所以OA的斜率为，即tan x＝．思路参考：m＝(cos x，sin x)，n＝，证明m∥n．解：因为cos x＋sin x＝1，不妨令m＝(cos x，sin x)，n＝，可知|m|＝1，|n|＝1，所以m，n均为单位向量，且m·n＝1．由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为m∥n，则有cos x＝sin x，即tan x＝．1．本题考查同角三角函数基本关系的应用，基本解题方法是构建方程(组)、数形结合等．在求解过程中，应注意同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程．2．基于课程标准，解答本题一般需要有良好的运算求解能力、转化与化归的能力．本题的解答体现了数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题的多种解法中涉及同角三角函数基本关系式、方程、辅助角公式、直线与圆、向量等知识，渗透着函数与方程、等价转换、数形结合等思想方法，对提升思维的灵活性起到了积极的作用．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，求sin θ＋cos θ的值．解：因为sin θ－2cos θ＝－，所以sin θ＝2cos θ－，所以＋cos2θ＝1，所以5cos2θ－cos θ－＝0，即＝0．又因为θ为第一象限角，所以cos θ＝，所以sin θ＝，所以sin θ＋cos θ＝．