高考数学一轮复习第1章第4节不等式的性质与基本不等式学案

这是一份高考数学一轮复习第1章第4节不等式的性质与基本不等式学案，共14页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第四节　不等式的性质与基本不等式
考试要求：1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
2．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，能用基本不等式解决简单的最值问题．

一、教材概念·结论·性质重现
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b>0⇔a>b．
(2)a－b＝0⇔a＝b．
(3)a－bc⇒a>c．
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c，
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．(同向可加性)
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc，
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．(正数同向可乘性)
(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
(6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．

倒数性质的两个必备结论
(1)a＞b，ab＞0⇒＜．
(2)a＜0＜b⇒＜．
3．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
5．常用结论
(1)≥(a，b∈R)．
(2)＋≥2(ab＞0)(当且仅当a＝b时取等号)．
(3)≤≤≤ (a＞0，b＞0)．
(4)若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞(b－m＞0)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变． (　×　)
(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小． (　×　)
(3)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的． (　×　)
(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4． (　×　)
2．设b0)，即x＝1时取等号，所以f(x)有最大值1．
4．(2021·南阳统考)已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)
A．P≤Q B．PQ
A　解析：不妨取a＝b＝，则P－Q＝(x＋y)2－x2－y2＝－(x－y)2≤0，所以P≤Q．
5．若0＜a＜b，且a＋b＝1，将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为______________．
a＜2ab＜＜a2＋b2＜b　解析：令a＝，b＝，代入2ab＝，a2＋b2＝，所以a＜2ab＜＜a2＋b2＜b．


考点1　不等式的性质——基础性

1．下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则
b，则a2>b2
C．若a>b，cb－d
D．若a>b，c>d，则ac>bd
C　解析：对于A，若a>b，取a＝1，b＝－1，则b，取a＝0，b＝－1，则a2>b2不成立；对于C，若a>b，cb－d，正确；对于D，若a>b，c>d，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2，则ac>bd不成立．
2．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为(　　)
A．若a>b，则acbc2，则a>b
C．若ab2
D．若a>0>b，则|a|bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若ab2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，故D为假命题．
3．(2022·济南质量检测)已知实数a，b，c满足a