高考数学一轮复习课时质量评价32空间几何体含答案

课时质量评价(三十二)

A组　全考点巩固练

1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)

A．一个圆台、两个圆锥 

B．两个圆台、一个圆柱

C．两个圆柱、一个圆台 

D．一个圆柱、两个圆锥

D　解析：从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图．

2．如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为(　　)

A．2   B． 

C．2   D．4

D　解析：由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的倍，故原图形的面积为×＝4．

3．棱长为a的正四面体的表面积是(　　)

A．a2   B．a2 

C．a2   D．a2

D　解析：棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×a2＝a2．

4．(2021·江苏高三期末)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S的计算公式为(　　)

A．S＝d2   B．S＝d2

C．S＝d2   D．S＝d2

A　解析：因为＝d，所以V＝＝，所以π＝，所以S＝4π＝4××＝d2．故选A．

5．(多选题)(2021·重庆清华中学月考)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(　　)

A．π   B．(1＋)π

C．2π   D．(2＋)π

AB　解析：如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，所以所形成的几何体的表面积是S＝πrl＋πr2＝π×1×＋π×12＝(＋1)π．如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π××1＝π．综上可知形成几何体的表面积可以为(＋1)π或π．故选AB．

6．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________．

π　解析：设圆锥的底面半径为r，则有2πr＝×2，解得r＝，所以圆锥的表面积为π×2×＋π×＝．

7．(2022·济南高三月考)已知体积为8的正方体内接于球O，则球O的表面积为_________．

12π　解析：由题意可知正方体的边长是2，则球O的直径为2，因此半径是，则球的表面积是4πR2＝12π．

B组　新高考培优练

8．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，用该术可求得圆周率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为(　　)

A．   B．2 

C．3   D．3

A　解析：圆锥的体积V＝πh＝h≈L2h，解得π≈3，则设所求圆锥的底面直径与母线长为x(x>0)，则底面半径为，则S＝π＋πx2＝πx2≈x2＝9，解得x＝2，设高为h，则V＝πh＝π·＝π≈．故选A．

9．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A­BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为(　　)

A．30   B．10 

C．33   D．12

B　解析：因为BC⊥CD，所以BD＝，又AB⊥底面BCD，所以球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为．利用张衡的结论可得＝，则π＝，所以球O的表面积为4π＝10π＝10．故选B．

10．(2021·广东高三二模)已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为(　　)

A．32π   B． 

C．10π   D．24π

A　解析：设圆柱底面圆半径为r，高为h，则r2＋＝(2)2，所以r2＝12－h2>0，所以0<h<4，所以圆柱体积V＝πr2h＝12πh－h3，所以V′＝12π－πh2，令V′＝0，解得h＝4，所以当h∈(0,4)时，V′>0；当h∈(4，4)时，V′<0．

所以V＝12πh－h3在(0,4)上单调递增，在(4,4)上单调递减，所以Vmax＝48π－×64＝32π．故选A．

11．在空间中，定义“点到几何图形的距离”为：这个点到几何图形上各点距离中的最小值．现有边长为2的正方形ABCD，则到定点A距离为1的点围成的几何体的体积为________；该正方形ABCD区域(包括边界以及内部的点)记为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为__________．

　8＋　解析：到定点A距离等于1的点所围成的几何体是半径为1的球，其体积V＝×13＝．由题意可知，几何体为组合体，是一个棱长为2的正方体和四个高为2，底面半径为1的半圆柱及四个半径为1的四分之一球，其体积为V＝2×2×2＋4××π×12×2＋4×××13＝8＋．

12．如图(1)是一水晶饰品，名字叫梅尔卡巴，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成，且所有面都是全等的小正三角形，如图(2)所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体的体积为________．

　解析：由题知星形八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，故体积为×23＋4××13＝．

13．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．

解：如图所示，连接AB1，AC1．

因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．

又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，

所以VA­BEFC＝V＝V．

又V＝S，V＝S＝m，

所以V＝，

所以V＝V－V＝，

所以VA­BEFC＝×＝，

即四棱锥A­BEFC的体积是．