2022-2023学年湖北省部分普通高中联盟高二下学期期中联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖北省部分普通高中联盟高二下学期期中联考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省部分普通高中联盟高二下学期期中联考数学试题 一、单选题1．下列导数运算正确的（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：A2．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列．故选：C.3．已知等比数列的前项和是，且，则（    ）A．24 B．28 C．30 D．32【答案】C【分析】由条件求出,代入等比数列求和公式即可.【详解】因为，代入得：，即，解得，故，故选：C.4．如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算一步步将向量化为关于，，，即可整理得出答案.【详解】，，，，.故选：B.5．等比数列的前项和为，，，则为（    ）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根据等比数列片段和性质可构造方程求得，再由可得最终结果.【详解】由题意知：，，成等比数列，，解得：或；，.故选：A.6．已知为等差数列的前n项和，若，，则当取得最大值时，n的取值为（    ）A．7 B．9 C．16 D．18【答案】B【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式，可推得，，从而得解．【详解】因为等差数列中，，，所以，，即，，所以，，所以，，由为等差数列，得时，；时，，所以当时，取得最大值．故选：B．7．函数的大致图像为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出函数的定义域，然后求导，判断单调性；另一方面，当时，从函数值的正负性加以判断，最后选出答案.【详解】函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递增；当或时，，所以在和上单调递减，显然当时，，当时，.故选：B.8．设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】当时，，则且不恒为零，所以，函数在上单调递增，所以，，又因为，所以，函数在上只有一个零点；因为函数只有一个零点，则函数在上无零点，则当时，，则，由可得，由可得.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，只需，解得.故选：C. 二、多选题9．已知是椭圆上一点，是左､右焦点，下列选项中正确的是（    ）A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率C． D．的面积的最大值是2【答案】BCD【分析】对于ABC，由椭圆的标准方程求得，再利用椭圆的定义与性质即可判断；对于D，由椭圆的几何性质与的面积公式即可判断．【详解】对于A，因为椭圆，所以知，所以椭圆的焦距为，故A错误；对于B，椭圆的离心率为，故B正确；对于C，由椭圆的定义可得，故C正确；对于D，设，由椭圆的几何性质可知，所以，即的面积的最大值是2，故D正确.故选：BCD．10．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（    ）A．在区间上，单调递增B．在区间上，单调递增C．在区间上，单调递增D．在区间上，单调递增【答案】BC【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案.【详解】由题图知当时，，所以在区间上，单调递增，BC正确；当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.在上递增，A错误；当时，，所以在区间上，单调递减，D错误；故选：BC11．如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）A． B．C． D．不存在正整数，使得为质数【答案】BCD【分析】根据每层的球的个数可得，利用累加法求得，即可求得的值，判断A，B；根据，可判断C；根据，结合数的奇偶性，可判断D.【详解】依题意因为，以上n个式子累加可得︰,又满足上式，所以,故，故A错误；因，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，故当且为整数时，，此时必为偶数，则为整数，且为合数，则不存在正整数，使得为质数，D正确，故选：BCD12．已知函数，则（    ）A．当时，函数的极大值为B．若函数图象的对称中心为，则C．若函数在上单调递增，则或D．函数必有3个零点【答案】BD【分析】根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.【详解】A项：当时，，则，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误；B项：因为函数图象的对称中心为，所以有，故正确；C项：恒成立，显然必有两根，则在递减，故错误；D项：必有2相异根，且非零，故必有3个零点，故正确．故选择：BD 三、填空题13．写出过点且与圆相切的一条直线的方程______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意：先讨论斜率不存在的情况是否成立；斜率存在时，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】当过点的直线斜率不存在时：方程为：，此时直线到圆心的距离，满足题意；当过点的直线斜率存在时：设方程为：，即，因为直线与圆相切，所以，解得：，所以直线方程为：，所以过点且与圆相切的一条直线的方程或，故答案为：（答案不唯一）.14．设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，且，则_________.【答案】/【分析】设的公差为，根据得到，确定的公比，代入数据计算得到答案.【详解】，设的公差为，则，所以，的公比，所以.故答案为：15．若，是双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则______．【答案】【分析】根据给定条件，探求四边形的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出，再求出作答.【详解】依题意，点与，与都关于原点O对称，且，因此四边形是矩形，如图，由双曲线：得：，，于是，显然四边形的外接圆半径为，因此，所以.故答案为：16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________.【答案】/【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为，再次构造函数求得最值即可得解.【详解】因为，所以可化为，令，则，所以在上递增，因为，，所以，，，所以可化为，则，即在上恒成立，即，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用同构法将题设不等式转化为，从而构造函数得到，由此得解. 四、解答题17．已知函数．(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)求的极值．【答案】(1)(2)极大值为，极小值为 【分析】(1)先求，再根据点斜式即可求解.（2）先求函数单调区间，再根据单调区间，即可求解极值.【详解】（1），，∵，，则切点坐标为，切线斜率，∴函数的图象在处的切线方程为，即．（2）令，解得或，故在，上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，在处取得极小值，极大值为，极小值为．18．已知数列{an}前n项和Sn＝n2+n．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】(1)an＝2n，n∈N*(2)Tn= 【分析】（1）根据已知条件并结合公式即可计算出数列{a}的通项公式；（2）先根据第（1）题结果计算出数列{b}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和T．【详解】（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a＝S﹣＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，∵当n＝1时，也满足上式，∴a＝2n，n∈N*．（2）由（1），可得b＝＝＝＝则T＝b1+b2+•••+b＝＝＝＝19．已知数列满足，．(1)求证：数列是等比数列；(2)若，为数列的前n项和，求．【答案】(1)证明见解析(2)， 【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；（2）先由（1）求得数列的通项，从而可得数列的的通项，再利用错位相减法求解即可.【详解】（1）因为，所以，又，所以是以为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）知，故，所以，故，则，两式相减得，所以.20．如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P是圆柱OQ的底面圆周上的一个动点,G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,圆柱的高为.(1)求证:BP⊥平面PAD;(2)当三棱锥D-APB体积最大时,求平面PAG与平面BAG夹角的余弦值;【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)根据四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,可知,根据为底面圆的直径,可知,根据线面垂直的判定定理即可证明结论;(2) 当三棱锥D-APB体积最大时,即底面面积最大,即,故以为原点建立空间直角坐标系,求出各个点的坐标,分别求出平面PAG与平面BAG的法向量,进而求得法向量夹角的余弦值,即可得平面PAG与平面BAG夹角的余弦值.【详解】（1）证明:因为四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,所以平面,因为平面,所以,因为为底面圆的直径,所以,因为平面,平面,且,所以平面,得证;（2）由圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,圆柱的高为,即,当三棱锥D-APB体积最大时,即底面面积最大,即, 连接,可知平面,以为原点,方向分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:故可知: ,所以,,记平面法向量,所以,即,取,可得,记平面法向量,所以,即,取,可得,所以,故平面PAG与平面BAG夹角的余弦值为.21．点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K．(1)求抛物线的方程；(2)设C、D是抛物线上异于A、B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E、G、K三点共线．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）写出A、B点坐标，代入方程求得参数即可；（2）设求出直线BD、直线AC得交点E，求出直线AD、直线BC得交点G，说明直线EK的斜率与直线GK的斜率相同即可得证.【详解】（1）由题意，得，因为，轴，不妨设，代入抛物线，得，所以抛物线的方程为；（2），准线为，，设直线AC为①，直线BD为②，联立①②，解得，即，直线AD为③，直线BC为②，联立③④，解得，即，直线EK的斜率直线GK的斜率，则直线EK的斜率与直线GK的斜率相同，所以E、G、K三点共线.22．已知函数（为常数）.(1)讨论函数的单调性；(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增(2) 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；（2）分离参变量得在上恒成立，令，问题转化为求函数的最大值的问题，求解即可．【详解】（1）定义域为，，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增.（2）由题意知：在上恒成立，即：在上恒成立，令，则，由，得，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，只需，所以实数的取值范围是.