2022-2023学年上海市向明中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市向明中学高二下学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市向明中学高二下学期期中数学试题 一、填空题1．过，的直线的斜率为______．【答案】1【分析】根据斜率公式运算求解.【详解】由题意可得：.故答案为：1.2．椭圆的长轴长为______．【答案】8【分析】根据椭圆方程分析运算.【详解】由题意可得：，所以长轴长.故答案为：8.3．抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是______．【答案】【分析】根据题意求，进而可得结果.【详解】由题意可得：，则，所以抛物线的标准方程是.故答案为：.4．函数的导函数为______．【答案】【分析】根据复合函数的导函数运算求解.【详解】由题意可知：，所以.故答案为：.5．函数的零点为____________.【答案】【分析】令，根据余弦函数的性质，即可求得答案【详解】令，解得.故答案为：6．双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是______．【答案】【分析】设双曲线的方程为，根据题意列式求解即可.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得：，解得，所以双曲线的标准方程是.故答案为：.7．已知直线与直线平行，则___________.【答案】【分析】由两直线平行，可得，即可求解.【详解】由得，，则，故答案为：8．已知，则曲线在处的切线方程为______．【答案】【分析】运用导数几何意义求切线斜率，再结合直线点斜式方程可得结果.【详解】因为，所以，又因为，所以切线方程为，即：.故答案为：.9．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______．【答案】【分析】根据椭圆方程分析运算.【详解】由题意可得且，若表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，所以实数k的取值范围为.故答案为：.10．已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为______.【答案】/【分析】先由双曲线的标准方程求得其渐近线方程，再利用点线距离公式及双曲线的几何性质求得的范围，从而得解.【详解】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，设是双曲线上任意一点，则，所以，则，由点线距离公式得，两边平方得，所以，即的最小值为.故答案为：.11．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．【答案】/【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，的最小值即为的最小值减去半径．因为，，设，，由于恒成立，所以函数在上递减，在上递增，即，所以，即的最小值为．故答案为：．12．设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【详解】试题分析：因为,故得不等式,即,由于,令得方程,因 , 故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.【解析】1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数的到函数，令考虑判别式大于零，根据韦达定理求出的值，代入不等式，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实数的取值范围. 二、单选题13．经过点，且方向向量为的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】直线的方向向量为，直线的斜率，直线的方程为，即.故选：A.14．圆上到直线距离为的点有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果.【详解】因为化为标准方程为，所以圆心，圆的半径，又因为圆心C到直线的距离为，所以，所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，所以圆C上到直线的距离为的点共有3个.故选：B.15．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ）A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值【答案】C【分析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论．【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；根据函数的导数图象，函数在时，，故函数在区间上单调递减，故正确；由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，故正确，故选：16．考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆：上，且其中恰有两个顶点为的顶点．这样的等腰三角形的个数为（    ）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】D【分析】对椭圆顶点连线是等腰三角形的腰还是底，进行讨论即可求出结果.【详解】因为椭圆的方程为，所以，①如图1连接，当为等腰三角形的底时，作的垂直平分线交椭圆于两点，连接，则此时为等腰三角形，满足题意；同理当为等腰三角形的底时，也可以各作出2个满足题意的等腰三角形；②如图2连接，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为，联立，解得或或，即圆与椭圆交于，连接，则此时为等腰三角形，满足题意；同理当为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足题意的等腰三角形；③如图③，以为圆心，为半径作圆，同理可以证明圆与椭圆交于，连接，则此时为等腰三角形，满足题意；④如图④，以为圆心，为半径作圆，同理可以作出2个等腰三角形；⑤因为由于椭圆性质知为椭圆最长弦，所以它不能为等腰三角形的腰；综上所述满足题意的等腰三角形的个数有20个.故选：D.【点睛】多种情况的题目需要对情况进行详细讨论，做到不重不漏. 三、解答题17．若圆C经过点和，且圆心C在直线上，求圆C的方程.【答案】【详解】因为,AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y+4=－2x，即2x+y+4=0，解方程组得所以圆心C为(－1，－2).根据两点间的距离公式，得半径r=,因此，所求的圆C的方程为.18．设抛物线的焦点为F，过F作直线l与 C交于A、B两点．(1)若弦长，求直线l的方程；(2)求证：当直线轴时，的面积最小．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，运用韦达定理及抛物线的焦点弦公式可求得结果.（2）由韦达定理及三角形面积公式可得，转化为求此函数的最小值即可.【详解】（1）如图所示，设，,因为直线l过焦点，所以直线l的方程为，联立，所以，，所以，由抛物线的定义知，，又因为，所以，解得：，所以直线l的方程为：.（2）如图所示，证明：由（1）知，，，所以，所以当时，△的面积取得最小值2，此时直线轴.19．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，（1）若的周长为16，求；（2）若，求椭圆的离心率.【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）由题意可以求得，而的周长为，再由椭圆定义可得.故.（2）设出，则且.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出的关系，从而，，则，故，为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.（1）由，得.因为的周长为，所以由椭圆定义可得.故.（2）设，则且.由椭圆定义可得.在中，由余弦定理可得，即，化简可得，而，故.于是有.因此，可得，故为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.【解析】1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解. 20．已知函数和．(1)当时，求证：是方程的唯一实根；(2)若对任意，函数的图像总在函数图像的上方，求实数m的取值范围．【答案】(1)详见解析；(2) 【分析】（1）先利用导数求得有唯一零点，进而证得是方程的唯一实根；（2）先将题给条件转化为在上恒成立，按m分类讨论并利用导数求得的单调性和极值，进而求得实数m的取值范围．【详解】（1）令，则，则在上为减函数，又，则有唯一零点，则当时，是方程的唯一实根.（2）对任意，函数的图像总在函数图像的上方，则在上恒成立，令， 则，若时，在上恒成立，则在上单调递减，又，则恒成立，这与在上恒成立矛盾，不符合题意；若时，方程的判别式当即时，在上恒成立，则在上恒成立，则在上单调递增，又，则在上恒成立，即对任意，函数的图像总在函数图像的上方；当即时，方程有两个不相等的实根，设两根为，且，则，则方程有两个不相等的正实根，且则当时，，则在上单调递减，又，则在上，这与在上恒成立矛盾，不符合题意.综上，实数m的取值范围为．21．如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线Г：的左､右焦点，点D为线段的中点，直线MN过点且与双曲线右支交于两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点.(1)已知点，求点D到直线MN的距离；(2)求证：；(3)若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k1､k2.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)(2)证明见解析(3)是定值. 【分析】（1）求得点坐标和直线的方程，由此求得到直线的距离.（2）对的斜率是否存在进行分类讨论，由此证得结论成立.（3）设出直线的方程并代入双曲线方程，求得的坐标，由此计算是定值.【详解】（1），所以，则，直线的方程为，即，所以到直线的距离为.（2）直线的斜率不存在时，，直线的斜率存在时，，，整理得.综上所述，成立.（3）依题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，代入双曲线并化简得：①，由于，则代入①并化简得：，设，则，代入，得，即，所以，所以是定值.