2022-2023学年山东省淄博市张店区七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市张店区七年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，是二元一次方程的为(    )

A.  B.
C.  D.

2.  对于方程，用含的代数式表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列语句中，真命题是(    )

A. 若，则
B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C. 是的平方根
D. 相等的两个角是对顶角

4.  已知二元一次方程，其中与互为相反数，则，的值为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  如图，直线，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一副直角三角板如图摆放，点在的延长线上，，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  九章算术是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，为延长线上一点，与的平分线相交于点，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  若是关于，的二元一次方程的解，则的值为          ．

12.  如图，，，垂足为点，，则的度数是______．

13.  已知，则整式的值为          ．

14.  已知直线和交于点，则关于的方程的解为______．

15.  如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是______度．
 

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程组：；
解方程组：．

17.  本小题分
如图，已知，，，求证：．
 

18.  本小题分
小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究
如图，已知，小宋把三角板的直角顶点放在直线上若，直接写出的度数；若，直接写出的度数用含的式子表示．

如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的直角顶点与角的顶点重合于点，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边上，求的度数．

19.  本小题分
甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发小时，如图，线段表示货车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离千米与时间时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
求线段对应的函数表达式；
在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距千米．

20.  本小题分
淄博烧烤因其味美价廉和特殊的炙烤方式，给人们带来了独特的烧烤体验，为了更好的服务远道而来的客人，为游客保驾护航，助力城市旅游服务的完善，淄博市政府准备购进一批新能源汽车，开设烧烤专线，方便游客的出行据了解在某汽车公司辆型汽车、辆型汽车的共计售价万元；辆型汽车、辆型汽车的共计售价万元．
问、两种型号的汽车每辆售价分别为多少万元？
市政府计划正好用万元从该汽车公司购买以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，已知销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，市政府共有几种购买方案？汽车公司最大利润是多少元？

21.  本小题分
某班“数学兴趣小组，对函数的图象与性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整．
自变量可以是全体实数，与的几组对应值列表如下：

其中______．
根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．
观察函数图象发现：
该函数的最小值为______；该函数是轴对称图形吗？______填“是”或“否”；若是，其对称轴是______．
若与该函数有两个交点，则的取值范围是______．
继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出方程组：的解是______．

22.  本小题分
如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．
证明：；
如图，若，求的度数；
如图，连接，若求证：．
 

23.  本小题分
如图，，，，已知点和点的坐标分别为和，过点、的直线关系式为．
求点的坐标和直线的函数关系式；
在第二象限的图象上是否存在点，使的面积为？若存在；请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是二元一次方程，故本选项符合题意；
B.含有三个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C.分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不合题意；
D.含有个未知数，且未知数的最高次数是，是二元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
故选：．
先移项，再根据等式的性质求出即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、若，则或，原命题是假命题；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题；
C、是的平方根，是真命题；
D、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
故选：．
根据等式的性质、平方根、对顶角和点到直线的距离进行判断即可．
本题考查了命题，真假命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，即，
代入，得
，
解得，
则．
故选：．
与互为相反数，那么，然后代入求出的值，即可求解．
此题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程解的含义是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，，，
，
，，
．
故选：．
先根据两直线平行，同位角相等求出，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出的度数．
本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：与为一副直角三角板，
，，
，
，
．
故选：．
本题根据一副直角三角板，可知，，再借助平行线的性质，先求出，从而求出的大小．
本题考查了平行线的性质，学生需悉知一副直角三角板各个角的大小特点，再结合平行线的性质便可解决问题．体现了数学的转化思想、模型思想．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

，，，
，
故选：．
如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知，，，由此不难证明结论．
本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
根据题意可得等量关系：人数物品价值；人数物品价值，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】
解：设有人，物品价值元，由题意得：
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：的平分线与的平分线交于点，
，，
，
即，
，
，
，，
，
．
故选：．
先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形外角性质得，代入得：，可得结论．
本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是和三角形外角性质进行计算．
 

10.【答案】 

【解析】解：设长方形的长为，宽为，
由题意得：，
解得：，
则，；
点在第二象限，
，
故选：．
设长方形的长为，宽为，由图中信息结合的坐标列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把与的值代入方程计算即可求出的值．
【解答】
解：把代入方程中得：，
解得：．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质求出，根据垂直求出，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，垂直定义，平行线的性质等知识点，能根据平行线的性质求出的度数是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用字母表示数，整式的加减，熟练掌握整体代入的数学思想是解题的关键．
根据已知可得，再利用是的倍即可解答．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
所以

，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：直线和交于点，
当时，，
即关于的方程的解为．
故答案为：．
利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解决问题．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据图示可知．
故答案为：．
解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
本题考查图形的翻折变换．
 

16.【答案】解：得：
，
解得，
把代入得：
，
解得，
方程组的解为；
由得，
得：，
得：，
解得，
把代入得：
，
解得，
方程组的解为． 

【解析】用加减消元法，先消去，求出的值，再代入可得的值，即可得到答案；
先化简，再用加减消元法，先消去，求出的值，然后代入可得的值，即可得到答案；
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法，把二元化为一元．
 

17.【答案】证明：，已知，
垂直于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
又已知，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
等量代换． 

【解析】先由已知证明，再证明，，等量代换得出．
此题的关键是理解平行线的性质及判定．两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．
 

18.【答案】解：，
，
，
当时，，．
当时，；

如图，延长交于点．

，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用平行线的性质证明，求出的度数，可得结论；
延长交于点首先证明，推出，可得结论．
本题考查平行线的性质和判定，三角形内角和定理，特殊三角形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：由图象可得，
货车的速度为千米小时，
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是千米，
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是千米；
设线段对应的函数表达式是，
点，点，
，
解得，
即线段对应的函数表达式是；
当时，两车之间的距离为：，
，
在轿车行进过程，两车相距千米时间是在之间，
由图象可得，线段对应的函数解析式为，
则  ，
解得，，
轿车比货车晚出发小时，小时，小时，
在轿车行进过程，轿车行驶小时或小时，两车相距千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶小时或小时，两车相距千米． 

【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出轿车到达乙地时，货车与甲地的距离；
根据函数图象中的数据，可以得到线段对应的函数表达式；
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距千米．
 

20.【答案】解：设种型号的汽车每辆售价为万元，种型号的汽车每辆售价为万元，
由题意得：，
解得：，
答：种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元；
设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
或或，
市政府共有三种购买方案，
当，时，汽车公司获得的利润为：元，
当，时，汽车公司获得的利润为：元，
当，时，汽车公司获得的利润为：元，
，
汽车公司最大利润是元． 

【解析】设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据辆型汽车、辆型汽车的共计售价万元；辆型汽车、辆型汽车的共计售价万元．列出二元一次方程组，然后求解即可；
设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据市政府计划正好用万元从该汽车公司购买以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

21.【答案】    是  轴    

【解析】解：时，，故，
故答案为：．

函数图象如图所示：

观察函数图象发现：
该函数的最小值为；该函数是轴对称图形；其对称轴是轴．
若与该函数有两个交点，则的取值范围是．
故答案为：；是；轴；．
方程组：的解是，
故答案为：．
求出时的函数值即可；
利用描点法画出函数图象即可；
结合图象即可得出结论；
根据图象即可得到方程组的解．
本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与二元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想．
 

22.【答案】解：中，，
，
又，
，
；
在延长线上标上点，如图所示．

，
，．
平分，平分，
，，
，
．
证明：如图，由知：，，
，
． 

【解析】利用三角形内角和定理以及平角的定义，即可得到；
在图中添上点，由结合外角的性质可得出，再根据角平分线的性质可得出，由此可得出，从而得出，根据的度数即可得出结论；
由可得知：，，再结合已知，即可得出，根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”即可证出．
本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等或互补的角是关键．
 

23.【答案】解：作轴于，
，，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，
代入得，，
，
直线的解析式为；
存在，
直线为；
，
，
设，
，
，
解得，
 

【解析】作轴于，通过证得≌即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得的解析式；
设，由题意可得，求得的值，即可求得的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得的坐标是解题的关键；得到关于的方程是解题的关键．