2022-2023学年辽宁省锦州市黑山县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省锦州市黑山县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了下列命题中，假命题的是，如果不等式等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省锦州市黑山县八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（本大题共8个题．每小题的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内．）
1．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．﹣a＜﹣b D．a﹣b＜0
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．不等式组的解表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列命题中，假命题的是（　　）
A．若a≥b，则ac2≥bc2
B．到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上
C．斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形一定全等
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形
5．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有2道题没答，竞赛成绩超过80分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（　　）
A．10x﹣5（18﹣x）≥80 B．10x﹣（18﹣x）≥80
C．10x﹣5（18﹣x）＞80 D．10x﹣（18﹣x）＞80
6．如果不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集是x＜﹣1，则有（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＝2 D．m≠2
7．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（　　）
A．45°或36° B．72°或36°
C．45°或72° D．45°或36°或72°
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论：①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共8个小题．请将正确的答案填写在横线上．）
9．命题“对顶角相等”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
10．不等式3（x﹣2）≤x+4的非负整数解有　 　．
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为　 　．
12．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为　 　．

13．如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集是 　 　．

14．将点P（﹣5，4）向右平移4个单位，得到点P的对应点P′的坐标是 　 　．
15．若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 　 　．
16．如图，将等边△OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为 　 　．

三、解答题（本题共2个题．）
17．（1）解不等式：5x+3＜3（2+x），并把解集表示在数轴上．
（2）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解不等式：．
解：去分母，得：2（x+2）﹣6＜3（2x﹣1）第一步
去括号，得2x+4﹣6＜6x﹣3第二步
移项，合并同类项，得﹣4x＜﹣1第三步
两边同时除以﹣4，得第四步
任务：
①上述过程中，第一步的依据是 　 　，第 　 　步出现错误，具体错误是 　 　；
②写出正确的解答过程．
18．解下列不等式组．
（1）；
（2）．
四、解答题（本题共3个题．）
19．“剧本杀”作为新的娱乐形式受到青年人的追捧，喵喵“剧本杀”为扩大经营欲购进“青春学园”和“未来纪元”两种剧本配套设备，已知购买一套“青春学园”和两套“未来纪元”设备共需1450元，购买两套“青春学园”和一套“未来纪元”设备共需1700元．
（1）问“青春学园”和“未来纪元”设备的单价各为多少元？
（2）根据经营情况，需要购买“青春学园”和“未来纪元”设备共计20套，且总费用不超过10000元，则最多可购买“青春学园”设备多少套？
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），请按下列要求画图：
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．

21．已知：如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD＝CE，猜测∠DFB的度数，并说明理由．

五、探究题（本题共2个题．）
22．小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证：
已知：如图，∠ABP＝∠CBP，点D在射线BP上，　 　，
求证：　 　．
​
（1）补全图形，已知和求证；
（2）按小颖的想法写出证明过程．
（3）请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．
23．如图：直线CD是经过∠ACB顶点C的一条直线，AC＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠AEC＝∠CFB＝∠α．

【数学思考】
（1）若直线CD是经过∠ACB的内部，且E、F在射线CD上．请解决下面两个问题：
①如图1，∠ACB＝90°，∠α＝90°，则AE　 　CF（填＞，＜或＝），猜测线段EF与线段AE、BF的数量关系，并证明你的猜想；
②如图2，若0°＜∠ACB＜90°，当∠ACB与∠α之间满足 　 　时，能够使得①中的结论仍然成立，并证明两个结论．
【问题拓展】
（2）如图3．若直线CD经过∠ACB的外部，∠ACB＝∠α，请直接写出EF、AE、BF三条线段的数量关系．


参考答案
一．选择题（本大题共8个题．每小题的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内．）
1．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．﹣a＜﹣b D．a﹣b＜0
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故C不符合题意；
D、两边都减b，不等号的方向不变，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．不等式组的解表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先解不等式组求得解集，再在数轴上表示出来．
解：解不等式组得﹣1＜x≤2，所以在数轴上表示为

故选：D．
【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．下列命题中，假命题的是（　　）
A．若a≥b，则ac2≥bc2
B．到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上
C．斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形一定全等
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形
【分析】利用不等式的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的判定及直角三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、若a≥b，则ac2≥bc2，正确，是真命题，不符合题意；
B、到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
C、斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形一定全等，正确，是真命题，不符合题意；
D、若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形，错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的判定及直角三角形的判定方法，难度不大．
5．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有2道题没答，竞赛成绩超过80分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（　　）
A．10x﹣5（18﹣x）≥80 B．10x﹣（18﹣x）≥80
C．10x﹣5（18﹣x）＞80 D．10x﹣（18﹣x）＞80
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：﹣5（18﹣x），不等关系：小聪得分超过80分．
解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x﹣5（18﹣x）＞80．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
6．如果不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集是x＜﹣1，则有（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＝2 D．m≠2
【分析】根据不等式的性质不等式两边同除以负数不等号的方向改变，进而得出答案．
解：∵（m﹣2）x＞2﹣m的解集是x＜﹣1，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的性质：①不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变，②不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
7．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（　　）
A．45°或36° B．72°或36°
C．45°或72° D．45°或36°或72°
【分析】分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案．
解：①设三角形底角为α，顶角为2α，
则α+α+2α＝180°，
解得：α＝45°，
②设三角形的底角为2α，顶角为α，
则2α+2α+α＝180°，
解得：α＝36°，
∴2α＝72°，
∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，
故选：C．
【点评】本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类思想是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论：①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等角对等边，互余角的关系，等腰三角形的判定等推理判断即可．
解：因为∠ACB＝90°，DE⊥AB，∠DCA＝∠DAC，
所以90°﹣∠DCA＝90°﹣∠DAC，
所以∠E＝∠B＝∠DCB，
所以①正确；

因为∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠B，
所以DC＝DA，DC＝DB即DC＝DA＝DB，
所以DC是直角三角形斜边AB上的中线，
所以，
所以②正确；
根据已知，只能判断△ADC是等腰三角形，
所以③错误；
因为∠E＝30°，
所以△ADC是等边三角形，
所以∠E＝∠B＝∠DCB＝∠CDF＝30°，
所以CF＝DF，
所以DE＝EF+DF＝EF+CF，
所以④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了等角对等边，互余角的关系，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题．请将正确的答案填写在横线上．）
9．命题“对顶角相等”的逆命题是　假　命题（填“真”或“假”）．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．不等式3（x﹣2）≤x+4的非负整数解有　0.1.2.3.4.5　．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
解：去括号得：3x﹣6≤x+4，
解得：x≤5，
则满足不等式的非负整数解为：0.1.2.3.4.5，
故答案为0.1.2.3.4.5．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为　20°或70°　．
【分析】根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论，①如图1，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD＝50°时，②如图2，当一腰上的高在三角形外部时，即∠ABD＝50°时；根据等腰三角形的性质，解答出即可．
解：①如图1，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°；

②如图2，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠ABC＝∠BAD＝×40°＝20°．　
故答案为：70°或20°．


【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，知道等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，有两种情况，一种是高在三角形内部，另一种是高在三角形外部，读懂题意，是解答本题的关键．
12．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为　17　．

【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC＝10，又由条件AB＝7可得△ABC的周长．
解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，
∵AB＝7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+7＝17．
故答案为17．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
13．如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集是 　x＜﹣1　．

【分析】观察函数图象得到当x＜﹣1时，直线y1＝x+m都在直线y2＝kx﹣1下方，即x+m＜kx﹣1．
解：根据题意得当x＜﹣1时，y1＜y2，
所以不等式x+m＜kx﹣1的解集为x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．将点P（﹣5，4）向右平移4个单位，得到点P的对应点P′的坐标是 　（﹣1，4）　．
【分析】根据向右移动，横坐标加，纵坐标不变，即可得到点P的对应点P′的坐标．
解：∵将P（﹣5，4）向右平移4个单位长度得到对应点P′，
∴P′的坐标为（﹣5+4，4），
即P′（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键．
15．若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 　0＜a≤1　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数可得答案．
解：解不等式3x≤4x+1，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜a，
∵不等式组的整数解有2个，
∴0＜a≤1，
故答案为：0＜a≤1．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．如图，将等边△OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为 　　．

【分析】如图所示，过点B作BH⊥OA于H，先由等边三角形的性质得到OA＝OB＝AB＝1，∠OAB＝∠AOB＝60°，再由旋转的性质得到∠ABB′＝∠AOB＝60°，BB′＝OB＝1，进而证明BB′∥OA，再求出OH，BH的长即可求出点B′的坐标．
解：如图所示，过点B作BH⊥OA于H．

∵A（1，0），△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝1，∠OAB＝∠AOB＝60°，
由旋转的性质可得∠ABB′＝∠AOB＝60°，BB′＝OB＝1，
∴∠ABB′＝∠OAB，
∴BB′∥OA，
∵BH⊥OA，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题（本题共2个题．）
17．（1）解不等式：5x+3＜3（2+x），并把解集表示在数轴上．
（2）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解不等式：．
解：去分母，得：2（x+2）﹣6＜3（2x﹣1）第一步
去括号，得2x+4﹣6＜6x﹣3第二步
移项，合并同类项，得﹣4x＜﹣1第三步
两边同时除以﹣4，得第四步
任务：
①上述过程中，第一步的依据是 　不等式性质2　，第 　四　步出现错误，具体错误是 　在不等式两边同时除以﹣4，不等号的方向未改变　；
②写出正确的解答过程．
【分析】（1）根据不等式的性质直接解不等式，然后将解集表示在数轴上；
（2）①根据不等式性质2直接解答即可，根据不等式性质3判断因未变不等号而出现错误；
②将第四步中不等式符号取相反即可．
解：5x+3＜3（2+x），
去括号，得：5x+3＜6+3x，
移项，合并同类项，得：2x＜3，
系数化为1，得：．
在数轴上表示为：

（2）①上述过程中，第一步的依据是不等式性质2（在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变），第四步出现错误，具体错误是在不等式两边同时除以﹣4，不等号的方向未改变；
②，
解：去分母，得：2（x+2）﹣6＜3（2x﹣1），
去括号，得2x+4﹣6＜6x﹣3，
移项，合并同类项，得﹣4x＜﹣1，
两边同时除以﹣4，得．
【点评】此题考查解一元一次不等式，解题关键是根据运算过程直接判断使用的是性质几，然后直接解不等式即可．
18．解下列不等式组．
（1）；
（2）．
【分析】（1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
解：（1），
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：；
（2），
由①得：x＞1，
由②得：1+2x+3＞3x，
∴x＜4，
∴不等式组的解集为1＜x＜4．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
四、解答题（本题共3个题．）
19．“剧本杀”作为新的娱乐形式受到青年人的追捧，喵喵“剧本杀”为扩大经营欲购进“青春学园”和“未来纪元”两种剧本配套设备，已知购买一套“青春学园”和两套“未来纪元”设备共需1450元，购买两套“青春学园”和一套“未来纪元”设备共需1700元．
（1）问“青春学园”和“未来纪元”设备的单价各为多少元？
（2）根据经营情况，需要购买“青春学园”和“未来纪元”设备共计20套，且总费用不超过10000元，则最多可购买“青春学园”设备多少套？
【分析】（1）设“青春学园”设备的单价为x元，“未来纪元”设备的单价为y元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买“青春学园”设备m套，则购买“未来纪元”设备（20﹣m）套，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过10000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设“青春学园”设备的单价为x元，“未来纪元”设备的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：“青春学园”设备的单价为650元，“未来纪元”设备的单价为400元．
（2）设购买“青春学园”设备m套，则购买“未来纪元”设备（20﹣m）套，
依题意得：650m+400（20﹣m）≤10000，
解得：m≤8．
答：最多可购买“青春学园”设备8套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），请按下列要求画图：
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．

【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到对应点，再顺次连接即可得；
（2）将△ABC的三个顶点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接可得．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．


（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（5，﹣1）．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点．
21．已知：如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD＝CE，猜测∠DFB的度数，并说明理由．

【分析】利用SAS证明△CAD≌△BCE得到∠CBE＝∠ACD，根据∠ACD+∠BCD＝60°即可利用三角形外角的性质得到∠DFB＝∠CBE+∠BCD＝60°．
解：猜测∠DFB＝60°，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝CA，∠CAD＝∠BCE＝60°，
又∵AD＝CE，
∴△CAD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，
∴∠DFB＝∠CBE+∠BCD＝60°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明△CAD≌△BCE是解题的关键．
五、探究题（本题共2个题．）
22．小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证：
已知：如图，∠ABP＝∠CBP，点D在射线BP上，　DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E，F　，
求证：　DE＝DF　．
​
（1）补全图形，已知和求证；
（2）按小颖的想法写出证明过程．
（3）请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．
【分析】（1）根据角平分线的性质直接画图，直接填写已知条件和结论即可；
（2）通过证明全等三角形得到边相等即可；
（3）根据逆命题的定义直接写出逆命题，然后证明全等三角形，再证明角平分线即可．
解：（1）补全图形如图所示．

已知：如图，∠ABP＝∠CBP，点D在射线BP上，DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
求证：DE＝DF．
（2）∵DE⊥BA，DF⊥BC．
∴∠DEB＝∠DFB＝90°．
在△BED和△BFD中，

∴△BED≌△BFD（AAS）．
∴DE＝DF．
（3）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
它是真命题．
已知：如图，点P为∠ABC内一点，PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，且PD＝PE．
求证：BP平分∠ABC．
证明：∵PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E．
∴∠BDP＝∠BEP＝90°．
在Rt△DBP和Rt△EBP中，

∴Rt△DBP≌Rt△EBP（HL）．
∴∠1＝∠2（全等三角形的对应角相等）．
∴BP平分∠ABC．

【点评】此题考查角平分线的性质和判定，解题关键是通过全等三角形证明对应边和对应角的等量关系
23．如图：直线CD是经过∠ACB顶点C的一条直线，AC＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠AEC＝∠CFB＝∠α．

【数学思考】
（1）若直线CD是经过∠ACB的内部，且E、F在射线CD上．请解决下面两个问题：
①如图1，∠ACB＝90°，∠α＝90°，则AE　＝　CF（填＞，＜或＝），猜测线段EF与线段AE、BF的数量关系，并证明你的猜想；
②如图2，若0°＜∠ACB＜90°，当∠ACB与∠α之间满足 　∠ACB+∠α＝180°　时，能够使得①中的结论仍然成立，并证明两个结论．
【问题拓展】
（2）如图3．若直线CD经过∠ACB的外部，∠ACB＝∠α，请直接写出EF、AE、BF三条线段的数量关系．
【分析】（1）①证明△ACE≌△CBF（AAS），然后推论出边的数量关系；
②证明全等后以上结论仍然成立；
（2）同上证明△ACE≌△CBF（AAS）即可推论出边的数量关系．
解：（1）①∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCF＝90°，
∵∠AEC＝∠CFB＝∠α＝90°，
∴∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACF＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，BF＝CE，
∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝AE﹣BF，
故答案为：＝；

②∠ACB+∠α＝180°．
证明：∵∠AEC＝∠CFB＝∠α，∠ACB+∠α＝180°，
∠AEC+∠AEF＝180°，∠AEC＝∠CFB＝∠α，
∴∠ACB＝∠AEF，
∵∠AEF＝180°﹣∠α，∠CAE+∠ACF＝180°﹣∠α，
∴∠AEF＝∠CAE+∠ACF，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF，
∴∠CAE+∠ACF＝∠ACF+∠BCF，
∴∠CAE＝∠BCF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，BF＝CE，
∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝AE﹣BF，
故答案为：∠ACB+∠α＝180°；

（2）EF＝AE+BF．
证明：与（2）同理可得，△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，BF＝CE，
∵EF＝CF+CE，
∴EF＝AE+BF．
【点评】此题考查全等三角形，解题关键是全等三角形对应的边相等，即可推论出边的数量关系．