【全套专题】初中数学同步 8年级上册 第02课三角形的高线、中线和角平分线（教师版含解析）

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第02课  三角形的高线、中线和角平分线  课程标准课标解读1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念．2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点．1、掌握三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达．2、掌握钝角三角形的高的画法． 知识点01  三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，                    叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如图2，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝90°。AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；要点诠释：　　①三角形的高是                    ；　　②三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。　　③三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形   ，三条高的交点也在三角形                  ； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的     ，且三条高的交点在三角形的                ；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是       。知识点02  三角形的中线三角形的一个顶点与它的                    的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如图3，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC。　AD是ΔABC的中线BD＝CD＝BC。要点诠释：　　①三角形的中线是                                      ；②三角形三条中线全在三角形             ；③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的          ．④中线把三角形分成                    相等的两个三角形。知识点03  三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的             之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线的数学语言：如图4，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上。即AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC)要点诠释：　　①三角形的角平分线是                   ；②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的                 ；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的     ．④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。知识点04  三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的            ．要点诠释：　　①三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指     ．　　②三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．　　③四边形          ，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．考法01   三角形的高线的概念【典例1】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是( )A．B．C． D．【典例2】三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是_____．考法02  三角形的中线的概念和性质【典例3】如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于A．16 B．14 C．12 D．10【典例4】BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是_____．考法03  三角形的角平分线的概念和性质【典例5】如图，点O在ABC内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．【典例6】如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D.若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是(　　)　　A．10° B．12° C．15° D．18°  题组A  基础过关练1．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是(    )A．59° B．60° C．56° D．22°2．如图，在中，分别为的中点，且，则S阴影为(    )A．2 B．1 C． D．3．不一定在三角形内部的线段是(　　)A．三角形的角平分线 B．三角形的中线C．三角形的高 D．以上皆不对4．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是(  )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定5．给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．下列说法正确的是(       )①三角形的角平分线是射线；        ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部；       ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．①② B．②③ C．③④ D．②④7．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______．8．如图在△ABC中,∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为___.题组B  能力提升练1．已知∠AOB=3∠BOC,射线0D平分∠AOC,若∠BOD=30°,则∠BOC的度数为________.2．下列叙述正确的是(    )①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点；④三角形的三条角平分线交于一点．A．②④ B．①②④ C．③④ D．④3．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB=__________4．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：(1)AD的长；(2)△ABE的面积；(3)△ACE和△ABE的周长的差．5．如图，已知在中，，AD是BC边上的高，AE是的平分线，求证：．6．如图，的两条外角平分线交于点，，三角形的内角和为，求的度数.题组C  培优拔尖练1．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．2．如图，在中，，边上的高，为边上任一点，于点，于点，求的值.3．如图(1)所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90+∠A．变式1：如图(2)所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC=∠A．变式2：如图(3)所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，求证：∠BOC=90-∠A．4．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．(1)如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；(2)如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；(3)如图3，在 (2)的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．