2023届湖北省襄阳市第四中学高三下学期5月适应性考试（三）数学试题含解析

2023届湖北省襄阳市第四中学高三下学期5月适应性考试（三）数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由一元二次不等式的解法求A，再根据对数函数的定义域及单调性求B，最后求并集即可.

【详解】由，即，

由，即，

故.

故选：C

2．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数概念和乘除运算即可求解.

【详解】因为复数满足，所以，

所以复数的虚部为，

故选：B.

3．在的展开式中，的系数为（    ）．

A． B．5 C． D．10

【答案】C

【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

【详解】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

4．已知平面直角坐标系内直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，设，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】求出，利用向量共线定理即可求解.

【详解】因为和，所以，

所以在l上的投影向量满足：.

又由与的方向相同, ，

故由得：.

故选：D

5．已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，过点向轴作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由双曲线的定义可得，根据题意得到,求得，结合，得到，进而求得双曲线的离心率.

【详解】如图所示，由双曲线的定义可得，

又由以为直径的圆与双曲线交点为，可得,

由，可得，

因为，可得，

又因为，可得，即，

又由，可得.

故选：A.

6．已知矩形，，，沿折起成，若点在平面上的射影落在的内部（包括边界），则四面体的体积的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，确定点在平面上的射影点位置，再求出点到平面的距离最大和最小作答.

【详解】在矩形中，，过点作于，交边于，如图，

，，，

，则，

把沿折起的过程中，，平面，

于是平面，而平面，则平面平面，因此点在平面上的射影在直线上，

因为点在平面上的射影落在的内部（包括边界），则当平面时，点到平面的距离最大，如图，

于是，

当平面时，点到平面的距离最小，如图，此时

于是，从而，而，

因此四面体的体积，

所以四面体的体积的取值范围是.

故选：C

7．为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（    ）元（参考数据：，）

A．35200 B．43200 C．30000 D．32000

【答案】D

【分析】根据题意，由条件可得数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得到结果.

【详解】设2022年6月底小王手中有现款为元，

设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，

则，即，

所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，

∴，即，

年所得收入为元.

故选：D.

8．已知函数存在零点，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将问题转化为有实数根，构造函数，利用导数求解的最值，利用基本不等式求解的最值，即可求解.

【详解】有零点，

则有实数根，

即有实数根，

记，则有实数根，

由于，，

故当时， ，单调递增，

 当时，，单调递减，所以当时， 取极大值也是最大值，所以，

对于,所以，

当且仅当时，即时，等号成立，此时取最小值4，

要使有实数根，则需满足，此时 ，

故选：B.

【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过等价变换，转化两个函数与函数图象交点个数，数形结合推理作答.

二、多选题

9．下列命题中，正确的是（    ）

A．夹在两个平行平面间的平行线段相等

B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直

C．如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在内

D．已知，为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于

【答案】ABD

【分析】利用平面平行的性质，平面垂直，线面平行的相关性质逐项进行分析即可求解.

【详解】如图，,且，求证：.

因为,所以过可作平面，且平面与平面和分别相交于和.

因为，所以，因此四边形是平行四边形，所以,故选项A正确；

如图所示，平面，，，，，，

在平面内作异于的直线，因为，，所以，

因为，所以，，，所以，则，

又因为，，所以，则，

同理可得：，所以，故选项B正确；

若直线平面，，在平面内过点且平行于直线的直线有且只有一条，故选项C错误；

因为，为异面直线，平面，平面，则与相交，但未必垂直，且交线垂直于直线，，

又直线满足，，则交线平行于，故选项D正确，

故选：ABD.

10．已知函数的图像相邻两个对称中心之间的距离是，将的图像先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的最小正周期是

B．在上单调递增

C．的图像关于直线对称

D．的图像关于点对称

【答案】ACD

【分析】根据题意，由三角函数的图像变换可得的解析式，从而得到函数的解析式，再由余弦型函数的性质，对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】由题意可得，则，从而，故，

从而，因为是奇函数，所以，

解得，因为，所以，则，

因为的最小正周期是，所以A错误；

令，解得，

当时，，因为，

所以B正确；

当时，，，所以直线不是的对称轴，所以C错误；

当时，，所以的图像关于点对称，则D错误；

故选: ACD

11．记函数与的定义域的交集为I．若存在I，使得对任意I，不等式恒成立，则称(，)构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】AC

【分析】两个函数图像有交点，交点两侧图像一侧满足，另一侧满足即可.

【详解】选项A：在单调递增，在单调递减，所以与在有交点，符合新定义，

选项B：满足，故不成立；

选项C：在区间 ；在区间满足，所以存在符合题意.

选项D，存在两个非零的零点，故不成立．

故选：

12．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列说法不一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】通过空间直线、平面的位置关系作出相应角，结合解直角三角形得出对应三个角的正余弦值一一判定即可.

【详解】  

如图所示，连接EF、BE、BF，过B作BD∥AC，交圆于D点，

∵E、F分别为PA、PC的中点，∴EF∥AC∥BD，BD即面EFB与面ABC的交线l，

由题意易知：BC⊥BD，PC⊥BD，面PBC，则BD⊥面PBC，而面PBC，则BD⊥BF，即二面角的大小，

∴；

由Q满足，过D作DQ∥PC，使DQ=CF即可，则DQ⊥面ABC，

结合题意此时四边形CDQF为矩形，则直线与平面所成的角，

即；

过Q作QG∥BD，且QG=BD，连接BG、FG、PG，显然EF∥QG，此时四边形BFPG为平行四边形，PG=FB，

则异面直线与所成的角，结合上面说明得QG⊥面PBC，

而面PBC，则QG⊥PG，即.

∴，即A正确；

及，即B、C错误；

即D错误；

故选：BCD

三、填空题

13．若两个锐角，满足，则______.

【答案】

【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角，的关系，代入即可求解.

【详解】因为，

所以

所以，

因为，为锐角，所以有，

所以，即，

所以，即，

因为，为锐角，所以有，即，

所以

故答案为：

14．已知随机变量服从，则当______时，概率最大.

【答案】5或6

【分析】依题意可得，则，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围，再结合的取值特征，即可得解.

【详解】在次射击中击中目标的次数为，

当时对应的概率，

因为取值最大，所以，即，

即，解得，

因为且，所以或时概率最大．

故答案为： 5或6

15．椭圆与抛物线有公共点，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】由椭圆的性质结合判别式计算即可.

【详解】，

联立椭圆与抛物线方程，

则由题意可知：.

如图所示，可知为椭圆向左或右平移个单位，

若要符合题意，还需.

故答案为：.

16．我校为了支援山区教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，新闻记者采访其中某位队员时询问了本团队的人员构成情况.该队员回答问题的结果如下：①支教团队有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教团队中教师的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上五个条件都成立.据此，我们可以推测该队员的职称是______.（从下列四个选项中选出正确的数字代号填空：（1）小学中级；（2）小学高级；（3）中学中级；（4）中学高级）

【答案】（1）

【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级的人数，根据条件建立不等式组，再分别就该队员的学段及职称是否满足不等式组即可作答.

【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为,,,，

则，

于是，即，，

若，则，而，从而，

若，则，而，有，又，因此，矛盾，

该队员为小学中级时，去掉该队员，有，

满足；

该队员为小学高级时，去掉该队员，有，不满足；

该队员为中学中级时，去掉该队员，有，不满足；

该队员为中学高级时，去掉该队员，有，不满足，

所以该队员为小学中级.

故答案为：（1）

【点睛】关键点睛：推理应用问题，根据给定条件建立关系式，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键.

四、解答题

17．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；

(2)利用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.

【详解】（1）

如图，∵面，连，则，

又，∴，

又，面，面，于是面，

又面，，所以面面.

（2）由(1)可得，以为轴，建系如图，

，，则

因为,所以,则,

因为,

所以,

设平面的一个法向量为，

因为,

所以，令，则，

所以，

设平面的一个法向量为，

因为,

所以，令，则，

所以，

设平面与平面夹角为，

则，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

18．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

(1)求角的大小；

(2)若的外接圆半径为1，且的外心满足，，求的最大值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化化简，再由三角恒等变换公式即可得到结果；

（2）由题意可得，再结合平面向量的模长计算公式，将式子两边平方，再结合基本不等式即可得到结果.

【详解】（1）由及正弦定理，

得

即，

,

因为

所以，

即.

由于，

所以，.

（2）∵，∴.

由，得

平方，得，

∴

解得（当且仅当时取“”，此时为正三角形）

故为正三角形时，取最大值2.

19．已知数列满足，且的前100项和

(1)求的首项；

(2)记，数列的前项和为，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分为奇数和为偶数两种情况进而讨论即可求解；

（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.

【详解】（1）当为奇数时，；

则偶数项构成以为公差的等差数列，

所以当为偶数时，；

当为偶数时，，

则奇数项构成以1为公差的等差数列，

所以当为奇数时，，

则，又，

所以，

解得，.

（2）由（1）得，，，，

当时，，

∴，

综上，知.

20．已知椭圆的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为、.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于，两点，连接，并延长交椭圆于、两点，连接，试探索直线与直线的斜率之比是否为定值，并说明理由.

【答案】(1)

(2)是，理由见解析

【分析】（1）由在椭圆上，得到，再根据和，求得的值，即可求解；

（2）设，得到直线，联立方程组，结合，求得，，同理求得，，结合斜率公式，化简，即可求解.

【详解】（1）由在椭圆上，可得，

又由离心率，可得，且，

解得，，，所以椭圆的方程为.

（2）  

设，则，直线：，

代入：，得，

因为，代入化简得，

设，，则，

所以，，

直线：，同理可得，

化简得，

故，即，，

所以直线DE的斜率

又，

所以.

21．为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为.

(1)现从三个班中随机抽取一位同学：

（i）求该同学有购买意向的概率；

（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；

(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.

【答案】(1)（i）；（ii）

(2)0.75.

【分析】（1）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”.根据全概率公式即可求解，根据条件概率公式即可求解；

（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.于是得到，构造等比数列，结合累加法可求解.

【详解】（1）（i）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”.

由题意可知，

，

所以，由全概率公式可得：

.

（ii）由条件概率可得.

（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.

设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：

①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；

②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.

于是得到，易得，

由于，

于是当时，数列是以首项为，公比为的等比数列，

故.

于是

于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.

【点睛】关键点睛：

第二问中关键是设叫价为元的概率为，利用叫价为元是在叫价为元的基础上再叫价1元或在叫价为元的基础上再叫价2元，从而确定与的关系，再结合数列中的构造法和累加法即可求解.

22．已知：函数，且，.

(1)求证：；

(2)设，试比较，，，的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）比值代换构造单元函数证明；

（2）结合函数的单调性分与的大小情况讨论证明.

【详解】（1）由对称性，不妨设，，

则

由于，欲证，即证：

，.

设，，由切线不等式

得，

故，单调递增，，得证.

（2）证法一：由，得在上单调递减，且，

在上单调递增且；

由（1）知

当时，在上单调递增，

故，即.

当时，

由上面的结论，得时，

有，即

由在上单调递增，

故，

即.综上，得

∵，∴，

∵，关于单调递减，

∴，.

综上，得.

证法二：∵，∴，

∵，在上是减函数，

∴，即；

，在上是减函数，

∴，即

下面证明：当时，.（1）

设，则，

∴，即；

设，则，

∴即，

∴（1）式成立

下面证明：

（2）

∵，∴，

∴（2）式成立.

【点睛】注意掌握用导数证明不等式的常用方法技巧，如比值代换、切线不等式、指数（对数）均值不等式飘带函数等.