2022-2023学年浙江省杭州市观成教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市观成教育集团七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，和是同位角的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  用科学记数法表示，得(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各组数是方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中，结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  对于方程组，把代入得(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列分解因式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列各式可直接用完全平方公式分解因式的有(    )
；
；
；
．

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若小长方形的面积为，长为，宽为，则(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

10.  如图，，点在，之间，，连结，若，，下列说法中错误的是(    )

A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算： ______ ， ______ ．

12.  已知，用的代数式表示，则 ______ ．

13.  已知，则          ．

14.  对于方程，当时，；当时，，则 ______ ．

15.  如图，已知直线，被所截，是的角平分线，若，，则          ．

16.  下列说法正确的有______ 选序号
若，则满足条件的值有个．
若，，则用含的代数式表示为．
已知，则的值是．
，，，，这个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有个．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算
；
．

18.  本小题分
解方程组：

．

19.  本小题分
因式分解：

．

20.  本小题分
如图，已知，，请判断与是否平行，并说明理由．
如图所示，若将周长为的沿边向右平移得到，求四边形的周长简要说明理由．
 

21.  本小题分
某厂接到任务需完成台空调的安装．由于时间要求高，该厂没有足够的熟练工人，故决定招聘一批新工人，生产开始后发现：名熟练工人和名新工人每天共安装台空调；名熟练工人每天装的空调数与名新工人每天安装空调数一样多．
求名熟练工人和名新工人天一共可以安装多少台空调；
若公司原有熟练工人，现招聘名新工人均不为，为了刚好天完成安装任务，你有哪几种方案？

22.  本小题分
如图，，连接、、，且．
若，求的度数．
若，求证：．
若与互补，求与的数量关系，并证明．

23.  本小题分
如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，，，分别表示对应阴影部分的面积．
______，______，______结果用含或的代数式表示．
若，求长方形的周长．
若，且比长，求长方形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、和是同旁内角，故A不符合题意；
B、和是内错角，故B不符合题意；
C、和是对顶角，故C不符合题意；
D、和是同位角，故D符合题意．
故选：．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选B．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：把，，，的数据代入，
只有成立．
故选：．
把各选项的数据代入方程看是否成立．
本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：

，故本选项不符合题意；
B.

，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，多项式乘多项式，完全平方公式分别求出每个式子的值，再逐个判断即可．
本题考查了整式的运算法则和乘法公式，能正确根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，多项式乘多项式，完全平方公式进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入得：，即，
故选：．
把代入消去得到关于的方程，即可做出判断．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

6.【答案】 

【解析】解：不能因式分解，故选项A不符合题意；
B.，故选项B符合题意；
C.，故C符合题意；
D.，故D不符合题意，
故选：．
根据提公因式法，公式法以及十字相乘法进行因式分解，分别判断即可．
本题考查了提公因式法，公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
，
，
．
故选：．
由折叠的性质得到，由邻补角的性质即可求出的度数．
本题考查折叠的性质，邻补角的性质，关键是掌握折叠的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：

，
故能直接用完全平方公式分解因式；
不能用完全平方公式分解因式；


，
故能直接用完全平方公式分解因式；


，
故能直接用完全平方公式分解因式；
故选：．
根据完全平方公式：；结合所给的多项式，分别进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可得，大长方形的长为，宽为．
大长方形的周长为．
．
A.当，则，此时，那么A错误，故A不符合题意．
B.当，则，此时，那么B错误，故B不符合题意．
C.当，则，，此时，那么C正确，故C符合题意．
D.当，则，，此时，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
由图可得，大长方形的长为，宽为，得大长方形的周长为，进而解决此题．
本题主要考查代数式求值，熟练掌握代数式求值是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作交于点．

，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
当时，，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
当时，，
，故C错误，符合题意；
当时，，故D正确，符合题意．
故选：．
过点作交于点，根据平行线的判定与性质对各个选项进行分析即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

11.【答案】   

【解析】解：

，


．
故答案为：，．
利用幂的乘方的法则，负整数指数幂的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解得：．
故答案为：．
将看作已知数，求出即可．
本题考查了解二元一次方程，掌握解二元一次方程的步骤是关键．
 

13.【答案】 

【解析】

解：因为，
所以
．
故答案为：．
【分析】此题主要考查了整式的运算，正确运用多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．  

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得：．
故答案是：．
把时，；当时，代入可以得到一个二元一次方程组，解方程组即可求解．
本题考查了二元一次方程组的解法，正确代入数据得到方程组是关键．
 

15.【答案】 

【解析】

解：，
，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
由，判定，得到，，再由角平分线的定义得到，可求出，即可得解．  

16.【答案】 

【解析】解：若，
，则，
，则，
，则，不合题意，
满足条件的值有个，
不符合题意；
，
，
，
，
，
即用含的代数式表示为，
符合题意；
，
，
，
，
，
符合题意；
设两个自然数的平方差，
与同奇同偶，
这个数是奇数或是的倍数，
在，，，，这个数中奇数有个，能被整数的有个，
不能表示成某两个自然数的平方差的数共有：个，
不符合题意；
故答案为：．
分三种情况讨论，，，，计算后看符合题意的有几个；
根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算，然后等量代换；
先把化为的形式，然后计算，求出最后结果；
设两个自然数的平方差求出的取值范围，分析与同奇同偶，进而得到这个数是奇数或是的倍数，求出表示成某两个自然数的平方差的数的个数，再求出不能表示成某两个自然数的平方差的个数．
本题考查了同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算、二元一次方程的解，掌握法则的应用，的拆项法是解题关键．
 

17.【答案】解：；



． 

【解析】根据单项式的除法法则计算即可；
根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后去括号，再合并同类项即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
根据题意得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
方程整理后，求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】原式提取公因式即可；
原式利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：与平行，
理由：，
，
，

；
将沿边向右平移得到，
，，
四边形的周长，
的周长为，
四边形的周长． 

【解析】根据，得到，根据三角形内角和为得到，由平行线的判定即可得到结论；
由平移的性质得到，，即可得到结论．
本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设名熟练工人天可以安装台空调，名新工人天可以安装台空调，
由题意可得：，
解得：，
台，
答：名熟练工人和名新工人天一共可以安装台空调；
由题意可得：，
，
，为正整数，
，或，，
答：两种方案：公司有名熟练工人，需招聘名新工人；公司有名熟练工人，需招聘名新工人． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
设名熟练工人天可以安装台空调，名新工人天可以安装台空调，由题意列出方程组，即可求解；
由题意列出方程，即可求解．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
，
的度数为；
证明：，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
理由：与互补，
，
，，
，
． 

【解析】利用平行线的性质可得，再根垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答；
根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据已知和三角形内角和定理可得，从而进行计算即可解答；
根据已知可得，然后再利用等量代换可得，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，余角和补角，垂线，熟练掌握平行线的性质，以及余角和补角的意义是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：，
，
，
故答案为：；；；

，
，
，
长方形的周长；

，且比长，
，
解得，，
长方形的面积．
根据图形中各线段的关系，用、的代数式表示各线段便可；
根据，由矩形面积公式列出、的方程，求得便可；
设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，且比长，可求得、的值，再长方形的面积．
本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，矩形的性质，正方形的性质，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的边长和面积，是解题的关键．