2023届湘豫名校联考高三5月三模数学（文）试题含解析

这是一份2023届湘豫名校联考高三5月三模数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湘豫名校联考高三5月三模数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得集合B，根据集合的交集运算可得答案.【详解】因为集合，，所以，故选：B.2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据复数的运算法则求复数的代数形式，结合复数的几何意义求其对应点的坐标及其象限.【详解】因为复数，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C.3．已知向量，满足，，则（    ）A． B．29 C． D．13【答案】A【分析】分别求得，，进而根据数量积的坐标公式即可求解.【详解】因为向量，所以①.又②，①②两式相减得，所以，.所以.故选：A.4．已知x，y满足约束条件则的最大值为（    ）A．4 B．9 C．11 D．12【答案】C【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出可行域，如图中阴影部分所示，由可得，平移直线，当直线经过点时，取最大值.由解得所以.故.故选：C.5．某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（    ）A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数【答案】D【分析】根据平均数，众数和中位数的定义求出答案，判断ABC选项，利用方差的概念得到方差小于，从而选出正确答案.【详解】经计算，这10位同学一周课外体育运动总时长的平均数为，8.3出现了两次，其他数均出现了一次，故众数为8.3，从小到大排列，选择第5和第6个数的平均数作为中位数，故中位数为，由于平均数为8，而最小数为6.3，与平均数相差为1.7，最大数为8.8，与平均数相差为1.8，故方差小于，故最大值为8.3，为众数.故选：D.6．若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】利用待定系数法，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再利用条件建立方程，即可求出结果.【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，若将点代入，得①，又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，综上所述，双曲线的标准方程为或.故选：C.7．函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算即可判断.【详解】因为，易知的定义域为.因为，所以为奇函数，图象关的原点对称.排除A，D选项；又，，所以排除C选项.故选：B.8．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，m分别为1，1，4，则输出的（    ）A．4 B．5 C．18 D．272【答案】C【分析】按流程图顺序运算可得结果.【详解】执行程序框图，第一次循环：，，，，；第二次循环：，，，，；第三次循环：，，，，；第四次循环：，，，，，此时，退出循环，输出.故选：C.9．已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.【详解】因为，，且，由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；由基本不等式知，则，即（当且仅当时取等号），B正确；由题得，由已知，故，所以，故，C正确；由基本不等式可得，即（当且仅当时取等号），D错误.故选：D.10．已知等差数列中，，，则数列的前2022项的和为（    ）A．1010 B．1011 C．2021 D．2022【答案】D【分析】设等差数列的公差为，由与联立可得关于的方程组，求解可得根据等差数列的通项公式可得，再由分组求和法即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则由,得，化简得,解得所以.设数列的前n项和为，当时，；当时，.所以.故选:D.11．已知非钝角中，，，是边上的动点.若平面，，且周长的最小值为，则三棱锥外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理及三角形的周长公式，利用线面垂直的性质及判定定理，结合球的体积公式即可求解.【详解】由题意可知，作出图形如图所示在中，设，则.所以的周长为.所以，不等式两边平方，得，解得，即的最小值是1.所以点A到边BC的距离为1.当AQ取最小值时，因为在中，，所以.又，所以C，Q两点重合，所以，即.又平面，平面，所以.又，平面，所以平面.因为平面，所以.因为PB是和的公共斜边，所以PB为三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为R，则，所以三棱锥的外接球的体积.故选：A.12．已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得当时，可得恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求的取值范围【详解】因为，函数在上的最小值为，所以对，恒成立，所以恒成立，即恒成立，当时，，当时，可得恒成立.当或时，不等式显然成立；当时，，因为，所以，，，所以；当时，，因为，所以，，，所以.综上可得，实数b的取值范围是.故选：D.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立⇔；(2)恒成立⇔. 二、填空题13．若数列是公比为的等比数列，，写出一个满足题意的通项公式______.【答案】（答案不唯一）【分析】由已知条件求出的取值范围，即可得出数列的一个通项公式.【详解】由，得，即，即，所以.令，所以，所以可取（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）.14．已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为______.【答案】【分析】求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可求得点到直线距离的最大值.【详解】由题可得，圆心，半径，圆心到直线的距离等于，所以点到直线的距离的最大值为.故答案为：.15．已知是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______.【答案】【分析】先根据题意可得的一个周期为8，再化简，而，得到，从而得到，代入解析式即可求解.【详解】因为为奇函数，所以.因为，所以，所以，所以.所以的一个周期为8..因为，所以，所以.因为当时，，是周期为8的奇函数，所以.故答案为：16．将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是______.【答案】【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据无零点列出不等式组，解出取值范围即可.【详解】将函数的图像先向右平移个单位长度，得到函数的图像，再把所得函数图像的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，当时，.由在上没有零点，得，即，解得或.故答案为：. 三、解答题17．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若，求的值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）使用三角恒等变换及余弦定理化简得；（2）结合及正余弦定理可求的值.【详解】（1）因为，所以. 所以. 根据余弦定理，得， 所以. 所以. 所以a，b，c成等比数列.（2）由余弦定理，得. 因为，所以由正弦定理，得. 所以.所以.18．随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数（单位：人）与该初级私人健身教练价格（单位：元/小时）的情况，如下表所示.月份12345初级私人健身教练价格（元/小时）210200190170150初级私人健身教练课程的月报名人数（人）587911(1)求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）(2)请建立关于的线性回归方程；（精确到0.001）(3)当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）参考公式：对于一组数据（，2，3，⋯，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.【答案】(1)，与有很强的线性相关性(2)(3)4人 【分析】（1）根据题意将数据代入公式中计算出然后分析即可；（2）计算因为即可；（3）将代入计算即可.【详解】（1）由已知数据可得：，， ， ， ， 所以相关系数. 因为，所以与有很强的线性相关性.（2）因为， ， 所以关于的线性回归方程为.（3）当时，，故当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为4人.19．如图，直三棱柱中，，，，为上一点，且.(1)证明：平面平面；(2)若直三棱柱的表面积为，求五面体的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）作于点E，交于点F，连接DF，由条件证明，根据面面垂直判定定理证明平面，由线面垂直性质可得平面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面；（2）先证明平面，由条件求线段，结合锥体体积公式求五面体的体积.【详解】（1）如图，作于点E，交于点F，连接DF.因为，，，所以.所以. 所以.由勾股定理得.所以，所以. 又，，所以.所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面 平面，平面 平面，，所以平面. 所以平面.又平面，所以平面 平面. （2）由题易得五面体即四棱锥由（1）知，又，，平面，所以平面. 所以四棱锥的高为.因为直三棱柱的表面积为，所以，解得，即.所以.又，所以.故五面体的体积为.20．已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由条件结合椭圆的定义和离心率的定义列方程求，由此可得椭圆方程；（2）由已知设的方程为，联立方程组利用设而不求法求，由此证明结论.【详解】（1）依题意，的周长为，解得.设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，即，解得. 因为，所以.所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，，.易知直线的方程为.由消去得，.设，，则，.所以，. 所以..所以. 所以，为定值.【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，. 因为，所以. 又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）当时，易得，，所以，恒成立. 当时，，即.不等式两边同时除以，且，得. 令，其中，则. 因为，则，令，则，可得，则，当时，则，可得，则；当时，则，可得，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.因为在上恒成立，所以，即.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若点P的极坐标为，直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）将点P的极坐标化为直角坐标判断得P在直线l上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l代入曲线C的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.【详解】（1）因为直线的参数方程为（t为参数），所以消去参数t可得直线的普通方程为. 因为曲线的极坐标方程为，即，所以.由得.所以曲线C的直角坐标方程为（2）因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为.易得，点P在直线上，将直线的参数方程（t为参数）代入， 化简得，.设A，B两点所对应的参数分别为，，则，，所以，.所以.23．已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）把代入，将函数化为分段函数的形式，然后列出不等式组求解即可得到结果．（2）利用绝对值三角不等式可得，即可转化为，解出即可．【详解】（1）当时，， 不等式，可化为则或或， 解得或或. 故不等式的解集为.（2）（当且仅当时等号成立）. 因为恒成立，所以. 又，所以. 解得. 故实数a的取值范围是.