山西省三晋名校2023届高三下学期毕业班阶段性测试（五）数学试卷（含答案）

山西省三晋名校2023届高三下学期毕业班阶段性测试（五）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，则(   )

A.     B.     C.     D.

2、复数在复平面内对应的点在(   )

A.第一象限     B.第二象限 C.第三象限     D.第四象限

3、已知向量,满足，且，则(   )

A.     B.5     C.     D.

4、净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则PP棉滤芯层数最少为(   )

（参考数据：）

A.5     B.6     C.7     D.8

5、已知,是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，若，则C的离心率为(   )

A.     B.     C.     D.

6、若的展开式中的系数为25，则实数(   )

A.-11     B.-8     C.-5     D.3

7、永定土楼是我国东南沿海地区特有的山区民居建筑，如图所示，土楼的顶部可视为上下开口的圆台，底部可视为上底面与顶部圆台的下底面重合的圆柱.若上午时某条太阳光线通过圆台上底面的边缘照射到圆台下底面中心，此时太阳光线与水平地面所成角为，下午时某条太阳光线通过圆台上底面的边缘照射到圆台内部下底面另一侧边缘，此时太阳光线与水平地面所成角为，且这两条光线与圆台下底面中心看成在同一坚直平面内，土楼顶部对应的圆台的体积为，则该土楼的占地面积为(   )

A.     B.     C.     D.

8、在中，角A,B,C所对的边分别为，则面积的最大值是(   )

A.     B.     C.     D.

二、多项选择题

9、有一组从小到大排列的样本数据，,,若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据，,,则下列统计量中，相比原来的数据变大的有(   )

A.极差     B.中位数     C.平均数     D.方差

10、已知函数则(   )

A.的最小值为-1

B.在区间上单调递增

C.若在区间上单调递增，则m的最大值为2

D.有三个零点

11、已知圆，下列说法正确的是(   )

A.若圆C的半径为1，则

B.若圆C不经过第二象限，则

C.若直线恒经过的定点A在圆内，则当被圆截得的弦最短时，其方程为

D.若，过点作圆的两条切线，切点分别为M,N，则直线MN的方程为

12、定义：若数列满足，则称为“Titus双指数迭代数列”.已知在“Titus双指数迭代数列”中，首项，则(   )

A.当时，

B.当时，为递增数列

C.当时，有最小值

D.当m取任意非零实数时，一定有最大值或最小值

三、填空题

13、已知，则__________.

14、已知函数的图象在原点处的切线与直线垂直，则实数__________.

15、已知正方体的棱长为2,M为棱AD的中点，点P为正方体表面及其内部的一个动点且，则线段AP的长度的最大值为__________.

16、已知斜率为的直线l过抛物线的焦点F，且与该抛物线交于A,B两点，若,P为该抛物线上一点，Q为圆上一点，则的最小值为__________.

四、解答题

17、已知等比数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

18、已知函数.

（1）求的图象的对称中心坐标；

（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.

19、某工厂对员工技能进行A,B两项考核.A项考核合格得3分，否则得0分；B项考核合格得7分，否则得0分.现将员工分为两组，一组先进行项考核，另一组先进行B项考核.若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知甲员工A项考核合格的概率为0.6,B项考核合格的概率为0.5，且每个项目考核合格的概率与考核的顺序无关.

（1）若甲先进行A项考核，记X为甲的累计得分，求X的分布列.

（2）为使累计得分的期望最大，甲应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.

20、如图，在三棱锥中，D为棱AB的中点，,,平分.

（1）求证：平面平面CDE；

（2）若，求当三棱锥的体积最大时平面ABE与平面BCE的夹角的余弦值.

21、已知动点P到点的距离与到直线的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）若直线与曲线C交于A,B两点，且直线OA,OB（O为坐标原点）的斜率,满足，证明：直线l过定点.

22、已知函数,

（1））讨论的单调性；

（3）设函数，若有三个不同的零点，求m的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：由，得，所以.

2、答案： A

解析：，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.

3、答案： C

解析：由题意知，

所以-20，即，

所以，即.

4、答案：C

解析：由题意得，经n层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为，则，得，

所以，即，

所以，得，所以n的最小值为7.

5、答案：B

解析：设，由余弦定理可得，

解得，则，根据椭圆的定义，离心率为.

6、答案：A

解析：分三种情况：①当因式中取2时，项为，

其系数为30；②当因式中取时，项为，

其系数为6③当因式中取时，项为，其系数为.

因为，所以.

7、答案：C

解析：设下午阳光从上底面边缘的射人点为A,O为圆台下底面圆心，

上底面圆心为，被下午太阳光线照射到内部的下底面边缘点为C，

延长CO交于B，过A作于H.

作出上午那条光线关于对称的光线，则对称光线经过点A,O，

如图设圆台下底面半径为，即，,为等腰三角形，,,.易知四边形为矩形，

,,.

8、答案：B

解析：由题意知，所以由正弦定理得.

由余弦定理得，所以，

所以，因为，所以，

所以，

则当时，，

所以.

9、答案：ACD

解析：极差比原数据大3，中位数不变，平均数变大，

又因为最小的数据变小，最大的数据变大，其余数据不变，

显然新数据较原数据相对于各自的平均值波动变大，

由方差的意义易知方差也变大了.

10、答案：BD

解析：当时，单调递增，则，

当时，，则在上单调递减，

在上单调递增，，

故的最小值为-3，的单调递增区间为和，故A错误，

B正确；若在上单调递增，根据分段函数不难判断出，故m的最大值为1，故C错误；

根据题意，函数在上有一个零点，函数在上有两个零点1和3，故D正确.

11、答案：AD

解析：圆的标准方程为.

对于A，若圆C的半径为1，则，即，故A正确；

对于，因为圆心在第四象限，所以若圆不经过第二象限，

则原点不在圆内，

则，故B错误；

对于C，直线恒经过定点，

当l被圆截得的弦最短时，，因为AC的斜率为1，

所以l的斜率为-1，

其方程为，故C错误；

对于D，当时，圆的方程为，

其半径，

设切点，则直线PM,PN的方程分别为，

因为点在切线上，

所以，

即，

所以直线MN的方程为，故D正确.

12、答案：ABD

解析：A项，,A正确.

下面分析B，C，D项：构造函数，

则，构造函数，则，所以在上单调递减，

在上单调递增，所以，即，

所以，所以单调递增.再通过取点与单调性确定的图象与直线的位置关系.

当时，，，

当时，，

当时，.

根据位置关系作出大致图象如图1：

分析B项：如图2，

以为起始点，作垂直于轴的直线与的图象相交，

确定交点，从点作平行于轴的直线与的图象相交，

确定交点，从点作垂直于x轴的直线与的图象相交，

确定交点，依此类推，

由图可知，为递增数列，B正确.

分析C项：如图3，以为起始点，

作垂直于轴的直线与的图象相交，确定交点，从点作平行于x轴的直线与的图象相交，确定交点，

从点作垂直于轴的直线与的图象相交，确定交点，

依此类推，由图可知，为递减数列，无限趋近于0，无最小值，C错误.

分析D项：如图4，当时，以为起始点，作垂直于x轴的直线与的图象相交，确定交点，从点作平行于轴的直线与的图象相交，确定交点，从点作垂直于x轴的直线与的图象相交，确定交点，依此类推.由图可知，当时，为递增数列，设与的图象在第一象限的交点为N，结合B，C项可知：当或时，为递增数列，当时，为递减数列，当时，为常数列，显然，一定有最小值或最大值，D正确.

13、答案：

解析：因为，所以，

所以.

14、答案：2

解析：，

因为在原点处的切线与直线垂直，

所以，即，所以，得.

15、答案：3

解析：如图，取的中点,的中点N，

连接，易知，

由可得，

平面平面，.

又，平面ABNQ，则平面内任一点P（不与A重合）均满足，易知.

16、答案：

解析：由题可知直线AB的方程为.由

整理得，则，则，

解得，所以.因为，

又，所以的最小值为.

17、答案：(1)

(2)

解析：（1）设的公比为q，

由，可得，

整理得，解得，

.

（2），

，①

，②.

令①-②，得

，

18、答案：(1) ，

(2)

解析：（1）

.

令，得，

所以的图象的对称中心的坐标为，.

（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象...

令，

则，

所以当或，即或时，，

当，即时，，

所以在上的值域为.

19、答案：(1)见解析

(2)甲应选择先进行B项考核

解析：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0,3,10，

，

，

，

所以X的分布列为：

（2）甲应选择先进行B项考核，理由如下：

由（1）可知甲先进行A项考核，累计得分的期望为.

若甲先进行B项考核，记Y为甲的累计得分，

则Y的所有可能取值为0,7,10，

，

，

，

则Y的期望为.

因为，

所以为使累计得分的期望最大，甲应选择先进行B项考核.

20、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1），CD平分,

,,

又,平面CDE.

平面,平面平面CDE.

（3）设点E到平面ABC的距离为h.

由题可知为定值，.

又,当最大时，，即平面ABC..

如图，以C为原点，直线CB,CE分别为x,y轴建立空间直角坐标系，

则,,,E

,

设为平面ABE的法向量，

则令，得.

易知为平面BCE的一个法向量.

，

平面ABE与平面BCE的夹角的余弦值为.

21、答案：(1)

(2)

解析：（1）设.

依题意，.

整理得，即为曲线C的方程..

（2）设，将代入

，整理得，

由题意知且,.

则，.

因为

所以，得，因为，所以

代入可得且，此时l的方程为，

可知l过定点.

22、答案：(1) 当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增；

当时，在上单调递增

(2)

解析：（1）由题意知，

令，得，

此时，所以在上单调递增.

当时，令，得,.

当时，，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

当时，，令，得，令，得或，

所以在上单调递减，在和上单调递增.

综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；

当时，在上单调递增.

（2），.

设，则，显然在内单调递增且，

所以当时，单调递减，当时，单调递增，

所以有极小值，又，

①当时，在时恒成立，即，

所以在区间内单调递增，最多有一个零点，不符合题意.

②当时，，

所以存在，使得，

则在内，单调递增，在内，单调递减，在内，，单调递增，

又，所以在上有一个零点0，

又，且当时，，

所以在和上各有一个零点，

所以函数有三个不同的零点.

③当时，在上小于零，又当时，，结合的单调性可知，存在，使得，且在内单调递减，在内单调递增，所以最多有两个零点，不合题意.

综上所述，实数m的取值范围是.