2023年江苏省常州市中考一模数学试题
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．点关于原点的对称点是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
3．若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．32cm
4．的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
5．九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ）
人数（人） | 5 | 19 | 15 | 6 |
时间（小时） | 6 | 7 | 9 | 10 |
A．7，7 B．19，8 C．10，7 D．7，8
6．如图，在中，弦，相交于点P，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”．已知二次函数的图像上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．4
二、填空题
9．在函数中，自变量x的取值范围是___．
10．若，则 _____．
11．若关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，则______．
12．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2．
13．在一个不透明的盒子中装有10个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到红球的频数是400，估计盒子中的红球的个数是______．
14．中，，，，则的长是________．
15．下表中两个变量y与x的数据满足我们初中学过的二次函数关系：
… | 0 | 1 | 3 | … | ||
… | 0 | 3 | 4 | 0 | … |
则这个二次函数图像的对称轴为______．
16．如图，在边长为的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为______．
17．如图，是等边三角形，边在轴上，反比例函数的图象经过点，若，点的坐标为，则k的值为___________．
18．图1是一个正方形网格，两条网格线的交点叫做格点．甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
游戏规则 a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点； b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其它公共点； c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上； d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜． |
如图2，甲先画出线段，乙随后画出线段．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是________．（填“甲”，“乙”或“不确定”）．
三、解答题
19．计算：．
20．解方程：
(1)；
(2)．
21．某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调直，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项），根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
运动项目 | 频数（人数） | 频率 |
篮球 | 30 | 0.25 |
羽毛球 | m | 0.20 |
乒乓球 | 36 | n |
跳绳 | 18 | 0.15 |
其它 | 12 | 0.10 |
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)频数分布表中的m＝ ，n＝ ，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为 ；
(2)若该校有1000名学生，请估计最喜爱乒乓球这项运动的学生人数．
22．进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有A、B两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温，
(1)甲同学通过A通道进入校园的概率是 ；
(2)请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O；（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
24．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长6米，长2米，点距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．如图②，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为米，求点到的距离的长；
25．已知直线过点．点为直线上一点，其横坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点．
(1)求的值；
(2)①求点的坐标（用含的式子表示）；
②若的面积等于3，求出点的横坐标的值．
26．如图，点是中边上一点，以为直径的与相切于点，连接．
(1)判断与是否相似？并说明理由。
(2)若的半径为3，，求的长度．
四、未知
27．在平面直角坐标系中，、为平面内不重合的两个点，若到、两点的距离相等，则称点是线段的“似中点”．
(1)已知，，在点、、中，线段的“似中点”是点______；
(2)直线与轴交于点，与轴交于点．
①求在坐标轴上的线段的“似中点”；
②若的半径为2，圆心在轴上，坐标为，上存在线段的“似中点”，请直接写出的取值范围．
五、解答题
28．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
(3)抛物线上存在一点，使，请直接写出点的坐标；
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