2023届高考数学二轮复习专题九瓶颈题突破_第2讲解析几何中的“瓶颈题”作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题九瓶颈题突破_第2讲解析几何中的“瓶颈题”作业含答案，共18页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题（共19小题）
1. 如图，已知圆 C:x+22+y2=36，P 是圆 C 上的任意一动点，点 A 的坐标为 2,0，线段 PA 的垂直平分线 l 与半径 CP 交于点 Q．求点 Q 的轨迹 G 的方程．
2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两焦点分别为 F1-3,0，F23,0，且经过点 3,12．
（1）求椭圆的方程及离心率．
（2）设点 B，C，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点 D 关于原点 O 对称．设直 CD，CB，OB，OC 的斜率分别为 k1，k2，k3，k4，且 k1k2=k3k4．
①求 k1k2 的值；
②求 OB2+OC2 的值．
3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22，且经过点 1,62，过椭圆的左顶点 A 作直线 l⊥x 轴，点 M 为直线 l 上的动点（点 M 与点 A 不重合），点 B 为椭圆的右顶点，直线 BM 交椭圆 C 于点 P．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）求证：AP⊥OM；
（3）试问 OP⋅OM 是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．
4. 过椭圆 x216+y24=1 内一点 M2,1 引一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在直线的方程．
5. 如图，已知点 P 是圆 O：x2+y2=1 上第一象限内的任意一点，过点 P 作圆 O 的切线交椭圆 C：x24+y2=1 于 Qx1,y1，Rx2,y2y1>y2 两点，椭圆 C 的右焦点为 F3,0．
（1）求证：PQ+FQ=2；
（2）求 QR 的最大值．
6. 设直线 l:3x+4y+m=0 与圆 C:x2+y2+x-2y=0 相交于 P，Q 两点，则当 m 为何值时，OP⊥OQ?
7. 如图，已知点 P1,32 在椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上，且离心率为 12．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 A，B 是椭圆 C 上两点，且 kPA+kPB=0，求直线 AB 的斜率 kAB．
8. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 过点 D1,32，且右焦点为 F1,0，右顶点为 A．过点 F 的弦为 BC，直线 BA 、直线 CA 分别交直线 l:x=mm>2 于 P，Q 两点．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若 FP⊥FQ，求 m 的值．
9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 为椭圆 x29+2y29=1 的右顶点，点 D1,0，点 P，B 在椭圆上，BP=DA．
（1）求直线 BD 的方程．
（2）求直线 BD 被过 P，A，B 三点的圆 C 截得的弦长．
（3）是否存在分别以 PB，PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．
10. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1:x-32+y+22=4，圆 C2:x+m2+y+m+52=2m2+8m+10（m∈R，且 m≠-3）．
（1）设 P 为坐标轴上的点，满足过点 P 分别作圆 C1 与圆 C2 的一条切线，切点分别为 T1，T2，使得 PT1=PT2，试求出所有满足条件的点 P 的坐标；
（2）若斜率为正数的直线 l 平分圆 C1，求证：直线 l 与圆 C2 总相交．
11. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，且经过点 M2,1，平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 mm≠0，直线 l 交椭圆于 A，B 两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 m 的取值范围；
（3）求证：直线 MA，MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形．
12. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左、右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
13. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 x+y+1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 P 为椭圆 C 上一点，若过点 M2,0 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T，满足 OS+OT=tOP（O 为坐标原点），求实数 t 的取值范围．
14. 如图，已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0，其离心率为 32，两条准线之间的距离为 833．B，C 分别为椭圆 M 的上、下顶点，过点 Tt,2t≠0 的直线 TB，TC 分别与椭圆 M 交于 E，F 两点．
（1）求椭圆 M 的标准方程；
（2）若 △TBC 的面积是 △TEF 的面积的 k 倍，求 k 的最大值．
15. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率是 53，定点 M2,0，椭圆短轴的端点是 B1,B2，且 MB1⊥MB2．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设过点 M 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点，试问 x 轴上是否存在定点 P，使 PM 平分 ∠APB?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 分别是椭圆 G：x24+y2=1 的左、右顶点，P2,t（t∈R，且 t≠0）为直线 x=2 上的一个动点，过点 P 任意作一条直线 l 与椭圆 G 交于 C，D 两点，直线 PO 分别与直线 AC，AD 交于点 E，F．
（1）当直线 l 恰好经过椭圆 G 的右焦点和上顶点时，求 t 的值；
（2）记直线 AC，AD 的斜率分别为 k1，k2，
①若 t=-1，求证：1k1+1k2 为定值；
②求证：四边形 AFBE 为平行四边形．
17. 已知椭圆 C：x24+y22=1 的焦点分别为 F1,F2．
（1）求以线段 F1F2 为直径的圆的方程；
（2）过点 P4,0 任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N .在 x 轴上是否存在点 Q，使得 ∠PQM+∠PQN=180∘?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22，点 2,1 在椭圆 C 上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l 与圆 O:x2+y2=2 相切，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点．
① 若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，求 △OPQ 的面积；
② 求证：OP⊥OQ．
19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63，直线 l 与 x 轴交于点 E，与椭圆 C 交于 A,B 两点．当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦 AB 的长为 263．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若点 E 的坐标为 32,0，点 A 在第一象限且横坐标为 3，连接点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P，求 △PAB 的面积；
（3）是否存在点 E，使得 1EA2+1EB2 为定值?若存在，请指出点 E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
答案
1. 圆 C 的圆心为 C-2,0，半径 r=6，CA=4，连接 QA，
由已知得 QA=QP，
所以 QC+QA=QC+QP=CP=r=6>CA，
根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹 G 是中心在原点，以 C，A 为焦点，长轴长等于 6 的椭圆，
即 a=3，c=2，b2=a2-c2=9-4=5，
所以点 Q 的轨迹 G 的方程为 x29+y25=1．
2. （1） 椭圆方程为 x24+y2=1，离心率 e=32．
（2） ①k1k2=-14；
②OB2+OC2=5．
3. （1） 因为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22，
所以 a2=2c2，
又 c2=a2-b2，
所以 a2=2b2，
又椭圆 C 过点 1,62，
所以 12b2+32b2=1，
所以 a2=4，b2=2，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y22=1．
（2） 方法一：
设直线 BM 的斜率为 k，则直线 BM 的方程为 y=kx-2，
设 Px1,y1，将 y=kx-2 代入椭圆 C 的方程 x24+y22=1 中，化简得 2k2+1x2-8k2x+8k2-4=0，
解得 x1=4k2-22k2+1，x2=2，
所以 y1=kx1-2=-4k2k2+1，
从而 P4k2-22k2+1,-4k2k2+1，
令 x=-2，得 y=-4k，
所以 M-2,-4k，OM=-2,-4k，
又 AP=4k2-22k2+1+2,-4k2k2+1=8k22k2+1,-4k2k2+1，
所以 AP⋅OM=-16k22k2+1+16k22k2+1=0，
所以 AP⊥OM．
方法二：
设 Px0,y0，
因为 A-2,0，B2,0，
所以 kPA⋅kPB=y0x0+2⋅y0x0-2=y02x02-4，
又因为点 P 在椭圆上，
所以 x024+y022=1，
所以 y02=21-x024，
所以 kPA⋅kPB=124-x02x02-4=-12，
因为 kPB=kMB=-tan∠MBA=-MAMB，kMO=-tan∠MOA=-MAAO，
所以 2kPB=kMO，
因为 kPA=-12kPB，
所以 kMO⋅kPA=-1，即 AP⊥MO．
（3） 设 Px0,y0，M-2,t，
由（2）得 AP⊥MO，
所以 kAP=y0x0+2，kOM=t-2，
所以 kAP⋅kOM=ty0-2x0+2=-1，
所以 t=2x0+2y0，
所以 OP⋅OM=x0,y0⋅-2,2x0+2y0=-2x0+y0⋅2x0+4y0=4，
所以 OP⋅OM 为定值 4．
4. x+2y-4=0．
5. （1） 由点 Qx1,y1 在椭圆上，得 x124+y12=1，
则 QF=x1-32+y12=2-32x12=2-32x1，
PQ=OQ2-OP2=x12+y12-1=x12+1-x124-1=32x1．
所以 PQ+FQ=2．
（2） 由（1）同理得 PR+FR=2，则 QR+QF+FR=4．
又 QR≤QF+FR⇒2QR≤4，即 QR≤2，
所以当 QR 过点 F 时取得最大值 2．
6. m=-52．
7. （1） 由 ca=12，得 c2=14a2=a2-b2，有 b2=34a2，
所以椭圆 C:x2a2+y234a2=1，
又点 P1,32 在椭圆 C 上，代入解得 a2=4，b2=3，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） 设 Ax1,y1，Bx2,y2，
由题意知直线 PA，PB 的斜率存在，
设直线 PA:y-32=kx-1，则直线 PB:y-32=-kx-1，
由 y-32=kx-1,x24+y23=1 消去 y，得 4k2+3x2+8k32-kx+432-k2-12=0，
由 1⋅x1=432-k2-124k2+3=4k2-12k-34k2+3，即 x1=4k2-12k-34k2+3，y1=k4k2-12k-34k2+3-1+32=-12k2-12k+924k2+3，
所以 A4k2-12k-34k2+3,-12k2-12k+924k2+3，
同理可得 B4k2+12k-34k2+3,-12k2+12k+924k2+3，
所以 kAB=12，即直线 AB 的斜率 kAB=12．
8. （1） x24+y23=1．
（2） m=4．
9. （1） x+y-1=0．
（2） 42．
（3） 存在这样的两个圆，且方程分别为 x2+y-32=2，x-22+y-12=2，理由略．
10. （1） P0,-1 或 P-1,0．
（2） 略．
11. （1） x28+y22=1．
（2） -2,0∪0,2．
（3） 略．
12. （1） x24+y23=1．
（2） 定点坐标为 27,0，证明略．
13. （1） 由题意，以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为 x-c2+y2=a2，
所以圆心到直线的距离 d=∣c+1∣2=a．
因为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
则 b=c，a=2b=2c，
代入上式得 b=c=1，则 a=2b=2，
故所求的椭圆方程为 x22+y2=1．
（2） 由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 y=kx-2，设 Px0,y0，
由 y=kx-2,x22+y2=1 得 1+2k2x2-8k2x+8k2-2=0，
由 Δ=64k4-41+2k28k2-2=-16k2+8>0，
所以 0