2022-2023学年江西省赣州中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年江西省赣州中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．用弧度制表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据弧度与角度互化方法直接求解即可.

【详解】.

故选：C．

2．若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】借助三角函数的定义直接求解即可.

【详解】,

故选：B.

3．cos15° sin 105°=（    ）

A．+ B．-

C．+1 D．-1

【答案】A

【分析】利用积化和差公式直接求解．

【详解】

.

故选：A．

4．在东方设计中，存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观，折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）．设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面较为美观．那么按“白银比例”制作折扇时，原扇形半径与剪下小扇形半径之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设原扇形半径为x，剪下小扇形半径为y，，由已知利用扇形的面积公式即可求解原扇形半径与剪下小扇形半径之比．

【详解】由题意，如图所示，设原扇形半径为x，剪下小扇形半径为y，，

则小扇形纸面面积,折扇纸面面积，

 由于 ，

 所以，

 即得，

解得，即原扇形半径与剪下小扇形半径之比为，

故选：B．

5．函数在区间上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性，排除两个选项，再利用得解.

【详解】，令

，

则是偶函数，选项A，B是不正确的；

又因为，所以C不正确.

故选：D

6．（）

A．2 B． C．－2 D．－5

【答案】B

【分析】利用两角差正切公式，即可得到结果.

【详解】.

故选：B.

7．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为 ，其中心到水面的距离为 ，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为 ，当水车上的一个水筒从水中（处）浮现时开始计时经过（单位：s）后水筒距离水面的高度为（在水面下高度为负数），则（    ）

A．3m B．4m C．5m D．6m

【答案】B

【分析】设经过（单位：s）后水筒距离水面的高度为，由题意求得参数，可得解析式，即可求得答案.

【详解】由题设，水车的角速度为 ,

又水车的半径为 ，中心O到水面的距离 ，

设经过（单位：s）后水筒距离水面的高度为，

由题意可知,

由于时，水筒在处，即，

即，由于，故取，

故t（单位：s）后水筒A距离水面的高度可表示为 ，

，

故选︰B﹑

8．已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先求，再根据,求的范围，结合正切函数的图象，列不等式，即可求的取值范围.

【详解】由条件可知，，所以，

，当时，，

若函数在区间上恰有2个零点，则，

解得.

故选：D

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．与的终边相同

B．若为第三象限角，则

C．若，则为第一象限角

D．若为第一象限角，则不可能为第二象限角

【答案】ABD

【分析】根据终边相同的角的表示判断A，利用象限角的定义判断B、D，利用特殊值判断C.

【详解】对于A：因为与终边相同的角表示为，，

当时，即与的终边相同，故A正确；

对于B：为第三象限角，则，，

则，，即位于第二象限或第四象限，所以，故B正确；

对于C：当时，但是不属于任何一象限，故C错误；

对于D：为第一象限角，则，，

则，，所以不可能为第二象限角，故D正确；

故选：ABD

10．为了得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度

B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来

【答案】AC

【分析】化为同名函数后，根据图象变换判断．

【详解】对于AB：因为，

所以将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，

得到，

再将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，

故A正确，B错误；

对于CD：将的图象向左平移个单位长度，得到，

然后将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.

故C正确，D错误；

故选：AC．

11．对于函数，下列结论正确的是（    ）

A．

B．的单调递减区间为

C．的最大值为1

D．若关于x的方程在上有四个实数解，则

【答案】AD

【分析】根据绝对值的性质化简不等式，判断A，根据正弦函数和余弦函数的单调性判断BC，结合函数图象判断D.

【详解】因为，

所以当，即，时，，

当，即，时，，

所以，A正确；

因为函数在，上单调递减，

函数在，上单调递增，

函数在，上单调递增，

函数在，上单调递减，

又当，时，，

当，时，，

所以函数的单调递减区间为和，B错误；

当，时，，

当，时，，

当且仅当，时取等号；

所以的最大值为，C错误；

因为方程在上有四个实数解，

所以函数的图象与函数的图象有四个交点，

作函数在上的图象如下，

观察可得，D正确；

故选：AD.

12．已知函数（其中，，），，恒成立，且在区间上单调，则下列说法正确的是（    ）

A．存在，使得是偶函数 B．

C．是奇数 D．的最大值为

【答案】BCD

【分析】根据题意得为对称中心，为对称轴，列出方程组进而可得为奇数，根据在区间上单调得，进而对逐一分析即可.

【详解】由已知得 是图像的一个对称中心，

直线是图像的一条对称轴，所以

  ，

则，于是，即为奇数，故C正确；

因为在区间上单调，

所以 得，

当时，由于 ，

所以，即，

在上单调，但不是偶函数，满足 ；

当时，由于，

所以，即 ，

在上单调，但不是偶函数，满足 ；

当时，由于，

所以，即 ，

此时在上不单调，故不合题意；

当时，由于，

所以 ，即 ，

此时在上不单调，故不合题意；

综上，选项A错误，选项B和D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．函数的定义域是____________．

【答案】

【分析】由可得答案.

【详解】，则，.

故答案为：

14．=__________．

【答案】##0.5

【分析】先用诱导公式进行化简，进而通过两角和的余弦公式即可求得答案.

【详解】=.

故答案为：.

15．已知，则的值为__________.

【答案】

【分析】根据角与互补，角与的关系，再结合诱导公式即可求解.

【详解】由题意可知：，

则，

又因为，所以，

所以，

故答案为：.

16．已知函数，方程在上有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围为___．

【答案】．

【分析】先应用换元法设，把问题转化为一元二次方程根的问题，根据的范围求参数范围.

【详解】因为,所以,

所以在上的图像如下：

因为有4个不相等的实数根,

设结合图像可知至多有2个根，

而至多有2个不相等的实数根,

所以与的图像有2个交点，易得，

所以有两不等实根，

故，解得.

故答案为：

四、解答题

17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）；

(2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象；

(3)求函数在区间上的值域．

【答案】(1)表格见解析，；

(2)作图见解析；

(3).

【分析】（1）利用最大值求；由表格中数据先求周期,再求；再由求得,进而得到解析式,由解析式补全表格即可；

（2）由表格数据描点连线作图即可；

（3）令,则,利用正弦函数的性质求解即可.

【详解】（1）由题表知，，所以，

，，

，

则数据补全如下表：

；

（2）由（1），在一个周期内的图象如图所示，

；

（3）令,则,

所以在上的值域可转化为在上的值域,

因为正弦函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,

所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,

故的最小值为,最大值为,

当时,；当时,,

故当时,；当时,，

所以函数在区间上的值域为.

18．已知．

(1)的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式化简原式，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解；

（2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.

【详解】（1）因为，

因为，所以，解得，

所以.

（2），

又，

原式．

19．（1）已知，，求的值；

（2）已知，且，求角的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用与的关系求解即可，注意角的范围和符号；

（2）利用同角三角函数的基本关系及两角和差公式求解即可.

【详解】（1），两边平方得，

，又，

，，

；

（2），,

，

，，又，

，

，

，．

20．已知函数（其中）的图象与x轴交于A，B两点，A，B两点间的最短距离为，且直线是函数图象的一条对称轴．

(1)求的增区间；

(2)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】（1）利用辅助角公式结合条件可得，然后根据三角函数的性质即得；

（2）在时只有一个实根，然后根据三角函数的图象和性质结合条件即得.

【详解】（1）由题知，

A，B两点间的最短距离为，所以，所以，

直线是函数图象的一条对称轴，

所以，，

又因为，所以，

所以，

令，得，

所以函数的增区间是；

（2）因为函数在内有且只有一个零点，

所以在时只有一个实根，

即函数在的图象与直线只有一个交点，

因为，所以，

令，则

函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，函数y有最大值，最大值为．

当，函数，当，函数．

所以要使函数在的图象在与直线只有一个交点，

则或，

所以或．

21．体育馆计划用运动场的边角地建造一个矩形健身室，如图，是边长为50米的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，半径为40米，矩形就是计划的健身室，、分别在、上，在弧上，设矩形面积为，

(1)若，将表示为的函数；

(2)求出的最大值．

【答案】(1)

(2)的最大面积为平方米

【分析】（1）延长交于，求得，，从而求得面积的函数；

（2）利用换元转化为一元二次函数在区间上的最值，从而求得的最大值.

【详解】（1）延长交于，则，

，

故

，

（2）令，则，且，

，

又，

当时，，此时，即，

或，

∴或，

∴当点在的端点或处时，该健身室的面积最大，最大面积是500平方米；

22．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析式，即可得出，即可得出答案；

（2）设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.

【详解】（1）由图像可知，周期，

，

因为点在函数图像上，

所以，即，

又，

，

则，即，

因为点在函数图像上，所以，即，

故函数的解析式为.

（2）由题意可得，

设

，当时，恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

在区间上单调递减，

令，解得，

因为，所以，则，

故，解得，

所以最大值为.