2022-2023学年湖南省益阳市南县立达中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖南省益阳市南县立达中学高一下学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省益阳市南县立达中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知向量满足，，则A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘： 2．若，则A． B． C． D．【答案】D【解析】根据复数运算法则求解即可.【详解】．故选D．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．3．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（    ）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据向量数量积的定义及运算性质即得．【详解】∵，，且与的夹角为，∴，∴，∴．故选：A.4．已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（    ）A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】利用圆柱的轴截面信息求出圆柱的底面半径与高的关系，再结合圆柱与外接球的关系求得对应的比例关系.【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为，其高，其外接球的半径，则圆柱的表面积，球的表面积，则圆柱的表面积与球的表面积之比为，故选：.5．已知△是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，点E在边AC上，且，设AD与BE交于点P，则（    ）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】由向量数量积的几何意义，结合线段间的几何关系易得，即可求值.【详解】由题意，如下图示：∵，而，∴，又△是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，∴.故选：C6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．7．已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设球的半径为，外接圆的半径为，根据题意求出，再根据球心到的距离，即三棱锥的高，从而可得出答案.【详解】解：设球的半径为，外接圆的半径为，在中，由，，则得，所以，因为球O的表面积为，则，解得，所以球心到的距离，即三棱锥的高为，，所以三棱锥的体积.故选：C.8．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：． 二、多选题9．已知与是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】设出复数，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由题意，复数与是共轭虚数，设、，且，则，当时，由于复数不能比较大小，∴A选项不一定正确，又由、，∴，∴B选项一定正确；由，∴C选项一定正确，由不一定是实数，∴D选项不一定正确.故选：BC.10．如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且，又轴，那么原的、、三条线段中（    ）A．最长的是B．最长的是C．最短的是D．最短的是【答案】AD【分析】通过斜二测画法将直观图还原，利用题干所给出的限制条件进行判断.【详解】由题意得到原的平面图为：其中，，，∴，∴的、、三条线段中最长的是，最短的是，故选：AD. 三、单选题11．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（    ）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】A【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB，举特例判断C，由余弦定理及锐角三角形的定义判断D．【详解】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；若，由正弦定理得，即，，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．故选：A．【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B，在由得结论时不能直接得出，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点． 四、多选题12．如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（　　）A．直线AM与是相交直线B．直线BN与是异面直线C．AM与BN平行D．直线与BN共面【答案】BD【分析】根据异面直线的定义，结合三角形中位线定理、正方体的性质、共面的判定方法逐一进行判断即可【详解】解：A选项，∵四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线AM与是异面直线，故选项A错误；B选项，∵四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线BN与是异面直线，故选项B正确；C选项，取的中点E，连接AE、EN，则有，所以四边形是平行四边形，所以，∵AM与AE交于点A，∴AM与AE 不平行，则AM与BN不平行，故选项C错误；D选项，连接，因为，分别为棱，的中点，所以，由正方体的性质可知：，所以，∴四点共面，∴直线与BN共面，故选项D正确．故选：BD． 五、填空题13．化简______.【答案】【解析】根据向量加减法法则计算化简．【详解】．故答案为：．14．已知向量，，．若，则________．【答案】【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．【详解】由题可得 ,即故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．15．设复数满足，则的最大值是_______.【答案】6【详解】分析：先找到复数z对应的点的轨迹，再求的最大值.详解：设复数，则，所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，所以的最大值是.故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)表示以点(a,b)为圆心r为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然.16．直三棱柱所有顶点都在球的表面上，且，，，则球的表面积为________． 【答案】【分析】直接利用三棱柱和外接球的关系求出球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果．【详解】解：直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，且，，，∴，设为外接圆的圆心为，，所以，设外接球的球心为，设球的半径为，所以，故．故答案为：． 六、解答题17．实数取怎样的值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】（1）或；（2）且；（3）.【分析】根据实部和虚部的不同取值决定何时是实数、虚数和纯虚数.【详解】（1）若，则为实数，此时或者.（2）若，则为虚数，此时且.（3）若 ，则为纯虚数，此时.【点睛】对于复数，（1）若，则为实数；（2）若，则为虚数，特别地，如果，则为纯虚数，解题中注意合理分类．18．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥的高.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出三棱锥的体积，再用正方体的体积减去三棱锥的体积，即可求得剩余部分的体积，（2）利用等体积法求解即可【详解】（1）因为所以剩余部分的体积，（2）由（1）知，设三棱锥的高为，由正方体的性质可知为等边三角形，且边长为，则，所以，解得.所以三棱锥的高为19．已知非零向量、，满足，，且．(1)求向量、的夹角；(2)求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）对化简结合可得，然后利用结合数量积的定义可求得答案，（2）先求出，然后平方可得结果【详解】（1）∵，∴，即，                        又，∴，设向量、的夹角为，∵，∴，∴，∵，∴，即向量、的夹角为；（2）∵∴．20．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosC－b－=0.(1)求A；(2)若a=求b+2c的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用余弦定理得到，进而即得；（2）利用正弦定理可得，再利用三角函数的性质即得.【详解】（1）由余弦定理可得：，即所以，又，所以；（2）由题意，则，则，由，得，则，故b+2c的取值范围为.21．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.22．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，D为边上一点，.（1）若，求；（2）若的面积为，求的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接由正弦定理求得；（2）利用面积公式求出，利用向量中线公式求出，用数量积求出模长即可.【详解】解：（1）依题意得，则，在中，由正弦定理得：，即，所以.（2）因为，所以，由可得，，则，所以.【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．