2022-2023学年广西玉林市高二下学期期中检测数学试题含解析

这是一份2022-2023学年广西玉林市高二下学期期中检测数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西玉林市高二下学期期中检测数学试题 一、单选题1．已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（    ）A．2 B．3 C．5 D．10【答案】A【分析】由两平行线距离公式求解即可.【详解】这两条直线之间的距离为.故选：A2．函数的单调递减区间是（    ）A． B．C． D．和【答案】C【分析】根据给定的函数，利用导数求出单调减区间作答.【详解】函数的定义域为，求导得，由得，所以函数的单调递减区间是.故选：C3．设等差数列的前项和为若是方程的两根，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由根与系数的关系求出，再根据等差数列的性质即可求出．【详解】由题可得，，所以，即．故选：A．4．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圆心到切线的距离等于半径，求出圆的半径，即可得到本题答案.【详解】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以该圆的标准方程是． 故选：A5．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（　　）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8【答案】C【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是，利用条件概率公式能求出结果．【详解】一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选C．【点睛】本题考查条件概率，属于基础题．6．设随机变量，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得到结果．【详解】随机变量，∴， 解得， ∴ ，则. 故选：D．7．已知直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM与抛物线C交于O，N，若，则p=（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】联立直线与抛物线方程，求出点M的坐标，再表示出点N的坐标，借助点N在抛物线上即可求解作答.【详解】由消去x并整理得：，设，则有，，因此线段的中点，依题意，，于是，而点N在抛物线C上，则，又，所以.故选：C8．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a，b，c的大小.【详解】令，则，所以时，，单调递减，时，，单调递增， ，，，因为，所以.故选：D. 二、多选题9．点在圆上，点在圆上，则（    ）A．的最小值为3 B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】ABC【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.【详解】圆的圆心坐标，半径圆 ，即的圆心坐标，半径∴圆心距又在圆上，在圆上则的最小值为，最大值为．故A、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.故答案为：ABC10．已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（    ）A．B．展开式中各项系数的和为C．展开式中第项的系数为D．展开式中含项的系数为【答案】ABD【分析】由展开式的二项式系数和为求出，即可判断A，令即可得到展开式各项系数和，从而判断B，利用展开式的通项判断C、D.【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确；对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为1，故B正确；对于C，因为的展开式通项为，令可得第4项的系数为，故C不正确；对于D，在选项C中的通项公式中，令，得，则，所以含项的系数为，故D正确.故选：ABD.11．（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（    ）A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列C． D．【答案】BD【分析】根据已知条件判断的关系，结合等比数列的知识求得，从而确定正确选项.【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列，，即.所以BD选项正确.故选：BD12．函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】设，，对求导，将问题转化为存在唯一的整数使得在直线的上方，求导数可得函数的极值，解，求得的取值范围．【详解】解：设，，则，，，单调递增，，，，单调递减，时，取得最大值为，，，又直线恒过定点且斜率为，，，又，的取值范围，对照选项可知只有C、D符合要求．故选：CD． 三、填空题13．已知直线x-y-1=0和圆（x-1）2+y2=1交于A，B两点，则|AB|=________．【答案】2【分析】首先确定圆心到直线的距离，然后求解弦长即可．【详解】圆（x-1）2+y2=1的半径r=1，圆心（1,0）圆心到直线的距离，则直线经过圆的圆心，所以弦长|AB|=2r=2．故答案为：2．14．已知随机变量X服从正态分布，若，，则______．【答案】【分析】先求出的概率，然后根据正态分布的特征求解即可.【详解】解：由题意得：∵∴与关于对称∴．故答案为：15．将4个不同的小球a，b，c，d全部放入甲、乙、丙3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球，则小球a不放入甲盒子的放法种数为______.【答案】【分析】分小球a单独放入乙或丙盒子、小球a不单独放入乙或丙盒子两种情况计算，先安排小球a，再结合分组分配的方法即可求解.【详解】分两种情况：（1）当小球a单独放入乙或丙盒子时：先放小球a，有种方法；再放其余3个小球，分两步：第一步，3个球分两组有种分法；第二步，把这两组放在其余两个盒子有种方法.所以.（2）当小球a不单独放入乙或丙盒子时：先放小球a，有种方法；再把其余3个球放到3个盒子中，每盒放1个球，有种方法.所以.故小球a不放入甲盒子的放法种数为.故答案为：16．已知双曲线C：的右焦点为F，直线l：与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率是__________．【答案】/【分析】不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，利用直角三角形的性质和双曲线的对称性列出方程，计算即可求解.【详解】不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，则，．设双曲线C的左焦点为F＇，由双曲线的对称性可知，则，即，整理得，从而，解得．因为，所以．故答案为：. 四、解答题17．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答.【详解】（1）等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，所以.（2）由（1）知，，所以.18．在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.19．已知数列满足，且，.(1)求证：数列是等差数列；(2)若数列满足，求的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意化简可得证明即可；（2）由（1）可得，进而得到，再根据错位相减法求的前n项和即可.【详解】（1）由，得，所以，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）可知，，所以.记的前n项和为，则①，②，由①-②得，所以.【点睛】等差数列的判定与证明的方法定义法对于数列，（，）为同一常数为等差数列等差中项法（，）为等差数列通项公式法（p，q为常数）对任意的正整数n都成立为等差数列前n项和公式法（A，B为常数）对任意的正整数n都成立为等差数列20．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）.每天下午6点前的销售量/千克250300350400450天数10105(1)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望；(2)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值.【答案】(1)分布列见解析，；(2)17. 【分析】（1）求出1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）求出分别购进350千克和400千克时利润的期望值，列出不等式即可求解作答.【详解】（1）依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，随机变量的可能值为0，1，2，，，，所以的分布列为：012的数学期望.（2）购进350千克时利润的期望值：，购进400千克时利润的期望值：，由解得，，因，，因此，所以的最小值是17.21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点作斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于两点A，B试问：在x轴上是否存在一定点M，使得直线AM和BM关于x轴对称？若存在，求出这个定点坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在；定点 【分析】（1）将点代入椭圆的方程，结合椭圆的关系即可;（2）将直线AM和BM关于x轴对称转化为斜率和等于0，然后设点计算即可.【详解】（1）依题意得，即椭圆C的方程为．（2）设直线，，，，则即，可得，，假设在x轴上存在定点，满足题意，则，即，化简得，即，解得，此时，∴在x轴上存在定点，使得直线AM和BM关于x轴对称．22．已知函数．(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求得答案；（2）将所要证明的不等式变形为，从而构造函数，利用导数判断其单调性，求得其最小值，即可证明原不等式.【详解】（1）因为，所以，所以，又因为．所以函数的图象在点处的切线方程为，即．（2）证明：要证，即证，即证，即证．令，则．由，可得，（舍去）因为当时，，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以，所以，结论得证．另解：证明：因为，所以要证，即证，即证．设，则．令，则，而函数在上单调递减，又，，故存在唯一的，使得，即，即，等式两边同时取对数得，即．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以，即，所以在上单调递减．因为当时，，，所以函数，所以成立．【点睛】：方法点睛：利用导数证明不等式，一般方法是将不等式进行变形，进而构造恰当的函数，从而将不等式的证明问题转化为函数的单调性或最值问题,